10. Algebraic closure09GP The “fund

10. Algebraic closure
09GP The “fundamental theorem of algebra” states that C is algebraically closed. A
beautiful proof of this result uses Liouville’s theorem in complex analysis, we shall
give another proof (see Lemma 22.1).
09GQ A field Definition 10.1. F is said to be algebraically closed if every algebraic
extension E/F is trivial, i.e., E = F .
This may not be the definition in every text. Here is the lemma comparing it with
the other one.
09GR Lemma 10.2. Let F be a field. The following are equivalent
(1) F is algebraically closed,
(2) every irreducible polynomial over F is linear,
(3) every nonconstant polynomial over F has a root,
(4) every nonconstant polynomial over F is a product of linear factors.
Proof. If F is algebraically closed, then every irreducible polynomial is linear.
Namely, if there exists an irreducible polynomial of degree > 1, then this generates a
nontrivial finite (hence algebraic) field extension, see Example 7.6. Thus (1) implies
(2). If every irreducible polynomial is linear, then every irreducible polynomial has
a root, whence every nonconstant polynomial has a root. Thus (2) implies (3).
Assume every nonconstant polynomial has a root. Let P ∈ F [x] be nonconstant.
If P (α) = 0 with α ∈ F , then we see that P = (x − α)Q for some Q ∈ F [x] (by
division with remainder). Thus we can argue by induction on the degree that any
nonconstant polynomial can be written as a product c Q(x − αi).
Finally, suppose that every nonconstant polynomial over F is a product of linear
factors. Let E/F be an algebraic extension. Then all the simple subextensions
F (α)/F of E are necessarily trivial (because the only irreducible polynomials are
linear by assumption). Thus E = F . We see that (4) implies (1) and we are
done. 
Now we want to define a “universal” algebraic extension of a field. Actually, we
should be careful: the algebraic closure is not a universal object. That is, the
algebraic closure is not unique up to unique isomorphism: it is only unique up to
isomorphism. But still, it will be very handy, if not functorial.
09GS Let Definition 10.3. F be a field. We say F is algebraically closed if every
algebraic extension E/F is trivial, i.e., E = F . An algebraic closure of F is a field
F containing F such that:
(1) F is algebraic over F .
(2) F is algebraically closed.
If F is algebraically closed, then F is its own algebraic closure. We now prove the
basic existence result.
09GT Theorem 10.4. Every field has an algebraic closure.
The proof will mostly be a red herring to the rest of the chapter. However, we will
want to know that it is possible to embed a field inside an algebraically closed field,
and we will often assume it done.
FIELDS 12
Proof. Let F be a field. By Lemma 8.9 the cardinality of an algebraic extension of
F is bounded by max(ℵ0, |F|). Choose a set S containing F with |S| > max(ℵ0, |F|).
Let’s consider triples (E, σE, µE) where
(1) E is a set with F ⊂ E ⊂ S, and
(2) σE : E×E → E and µE : E×E → E are maps of sets such that (E, σE, µE)
defines the structure of a field extension of F (in particular σE(a, b) = a+F b
for a, b ∈ F and similarly for µE), and
(3) F ⊂ E is an algebraic field extension.
The collection of all triples (E, σE, µE) forms a set I. For i ∈ I we will denote
Ei = (Ei, σi, µi) the corresponding field extension to F. We define a partial ordering
on I by declaring i ≤ i0 if and only if Ei ⊂ Ei0 (this makes sense as Ei and Ei0 are
subsets of the same set S) and we have σi = σi0|Ei×Ei and µi = µi0|Ei×Ei, in other
words, Ei0 is a field extension of Ei.
Let T ⊂ I be a totally ordered subset. Then it is clear that ET = Si∈T Ei with
induced maps σT = S σi and µT = S µi is another element of I. In other words
every totally order subset of I has a upper bound in I. By Zorn’s lemma there
exists a maximal element (E, σE, µE) in I. We claim that E is an algebraic closure.
Since by definition of I the extension E/F is algebraic, it suffices to show that E
is algebraically closed.
To see this we argue by contradiction. Namely, suppose that E is not algebraically
closed. Then there exists an irreducible polynomial P over E of degree > 1, see
Lemma 10.2. By Lemma 8.5 we obtain a nontrivial finite extension E0 = E[x]/(P).
Observe that E0/F is algebraic by Lemma 8.8. Thus the cardinality of E0 is ≤
max(ℵ0, |F|). By elementary set theory we can extend the given injection E ⊂ S to
an injection E0 → S. In other words, we may think of E0 as an element of our set
I contradicting the maximality of E. This contradiction completes the proof. 
09GU Lemma 10.5. Let F be a field. Let F be an algebraic closure of F. Let M/F be
an algebraic extension. Then there is a morphism of F-extensions M → F.
Proof. Consider the set I of pairs (E, ϕ) where F ⊂ E ⊂ M is a subextension and
ϕ : E → F is a morphism of F-extensions. We partially order the set I by declaring
(E, ϕ) ≤ (E0, ϕ0) if and only if E ⊂ E0 and ϕ0|E = ϕ. If T = {(Et, ϕt)} ⊂ I is a
totally ordered subset, then S ϕt : S Et → F is an element of I. Thus every totally
ordered subset of I has an upper bound. By Zorn’s lemma there exists a maximal
element (E, ϕ) in I. We claim that E = M, which will finish the proof. If not,
then pick α ∈ M, α 6∈ E. The α is algebraic over E, see Lemma 8.4. Let P be the
minimal polynomial of α over E. Let P ϕ be the image of P by ϕ in F[x]. Since
F is algebraically closed there is a root β of P ϕ in F. Then we can extend ϕ to
ϕ0 : E(α) = E[x]/(P) → F by mapping x to β. This contradicts the maximality of
(E, ϕ) as desired. 
09GV Lemma 10.6. Any two algebraic closures of a field are isomorphic.
Proof. Let F be a field. If M and F are algebraic closures of F, then there exists
a morphism of F-extensions ϕ : M → F by Lemma 10.5. Now the image ϕ(M) is
algebraically closed. On the other hand, the extension ϕ(M) ⊂ F is algebraic by
Lemma 8.4. Thus ϕ(M) = F. 

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

10. ปิดพีชคณิต09GP "ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต" ระบุว่า C ไว้ algebraically ปิด Aสวยพิสูจน์ผลนี้ใช้ทฤษฎีบทของ Liouville ในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน เราจะให้หลักฐานอื่น (ดู 22.1 จับมือ)09GQ A ฟิลด์นิยาม 10.1 F กล่าวไว้ algebraically ปิดถ้าทุกพีชคณิตนามสกุล E/F เป็นเรื่องขี้ปะติ๋ว เช่น E = Fนี้ไม่ได้กำหนดในข้อความทุก นี่คือ การเปรียบเทียบด้วยการจับมือคนอื่น ๆจับมือ 09GR 10.2 ให้ F เป็นเขต ต่อไปนี้จะเทียบเท่า(1) F ไว้ algebraically ปิด(2) พหุนามทุกอย่างต่ำกว่า F เป็นเส้น(3) nonconstant ทุกโพลิโนเมียมากกว่า F มีราก(4) nonconstant ทุกโพลิโนเมียมากกว่า F เป็นผลิตภัณฑ์ของปัจจัยเชิงหลักฐานการ ถ้า F ไว้ algebraically ปิด พหุนามทุกอย่างต่ำเป็นเส้นตรงคือ ถ้ามีพหุนามเป็นอย่างต่ำปริญญา > 1 แล้วมีสร้างเป็นnontrivial จำกัด (พีชคณิตดัง) ฟิลด์นามสกุล ดูตัวอย่าง 7.6 ดังนั้น (1) หมายถึง(2) . พหุนามทุกอย่างต่ำเป็นเส้นตรง ถ้าพหุนามทุกอย่างต่ำได้ราก ไหนทุก nonconstant ที่พหุนามมีราก ดังนั้น (2) (3) หมายถึงการสมมติว่า ทุก nonconstant ที่พหุนามมีราก ให้ P ∈ F [x] nonconstant ได้ถ้า P (ด้วยกองทัพ) = 0 พร้อมด้วยกองทัพ∈ F แล้วเราเห็นว่า P = (x −ด้วยกองทัพ) Q สำหรับบาง Q ∈ F [x] (หาร ด้วยส่วนที่เหลือ) ดังนั้น เราสามารถโต้แย้ง โดยการเหนี่ยวนำกับระดับให้พหุนาม nonconstant สามารถเขียนเป็น c ผลิตภัณฑ์ Q (x − αi)สุดท้าย สมมติว่า ทุก nonconstant ลกำลังผ่าน F เป็นผลิตภัณฑ์ของเส้นปัจจัย ให้ E/F เป็นส่วนขยายของพีชคณิต แล้วทุกตัวอย่าง subextensionsF (ด้วยกองทัพ) /F อีมีเล็กน้อยจำเป็นต้อง (เพราะ polynomials อย่างต่ำเท่านั้นเชิงเส้น โดยอัสสัมชัญ) ดังนั้น E = F เราเห็นว่า (4) หมายถึง (1) และเสร็จแล้ว ตอนนี้ เราต้องการกำหนดนามสกุลพีชคณิตเป็น "สากล" ของเขตข้อมูล จริง เราควรระมัดระวัง: ปิดพีชคณิตเป็นวัตถุสากลไม่ นั่นคือ การไม่เฉพาะเจาะจงถึง isomorphism เฉพาะปิดพีชคณิต: ได้เฉพาะเฉพาะถึงisomorphism แต่ยังคง จะมีประโยชน์มาก ถ้าไม่ functorial09GS ให้คำนิยามที่ 10.3 F เป็นเขต เรากล่าวว่า F ถูกปิดไว้ algebraically ถ้าทุกนามสกุลพีชคณิต E/F เป็นเรื่องขี้ปะติ๋ว เช่น E = F ปิดการพีชคณิตของ F เป็นฟิลด์F F ที่ประกอบด้วยให้:(1) F คือพีชคณิตมากกว่า F(2) F ไว้ algebraically ถูกปิดถ้าไว้ algebraically ปิด F แล้ว F ได้ปิดตัวเองพีชคณิต ตอนนี้เราพิสูจน์ผลพื้นฐานที่มีอยู่ทฤษฎีบท 09GT 10.4 ทุกเขตข้อมูลมีการปิดพีชคณิตหลักฐานจะส่วนใหญ่เป็นปลาแดงของบท อย่างไรก็ตาม เราจะต้องการทราบว่า จะสามารถฝังฟิลด์ในฟิลด์การปิดไว้ algebraicallyและเรามักจะคิดว่าทำเขต 12หลักฐานการ ให้ F เป็นเขต โดยจับมือ 8.9 นอกจำนวนนับของส่วนขยายของพีชคณิตของF ถูกล้อมรอบโดย max(ℵ0, | F|) เลือก S การตั้งค่าที่ประกอบด้วย F กับ | S| > max(ℵ0, | F|)ลองพิจารณา triples (E, σE, µE) ที่(1) เป็นชุดกับ F ⊂ E ⊂ S และ(2) σE: E × E → E และ µE: E × E → E มีแผนที่ชุดดังกล่าวนั้น (E, σE, µE)กำหนดโครงสร้างของฟิลด์ส่วนขยายของ F (ในเฉพาะ σE (a, b) = + F bสำหรับ a, b ∈ F และในทำนองเดียวกัน สำหรับ µE), และ(3) F ⊂ E เป็นส่วนขยายของฟิลด์พีชคณิตชุดฟอร์มต่าง ๆ ทั้งหมด triples (E, σE, µE) ฉัน หา∈ฉันเราจะแสดงEi = (Ei, σi, µi) นามสกุลฟิลด์สอดคล้องกับเอฟ เรากำหนดบางส่วนสั่งบนผมโดยประกาศฉัน≤ i0 ถ้ารับ Ei ⊂ Ei0 (นี้ทำให้รู้สึกเป็น Ei และ Ei0ชุดย่อยของชุดเดียวกัน S) และเรามี σi = σi0| Ei Ei ลอก และ µi = µi0| ซื้อ Ei Ei ในที่อื่น ๆคำ Ei0 เป็นส่วนขยายของฟิลด์ของ Ei⊂ T ให้ฉันสามารถย่อยสั่งทั้งหมด แล้วก็ล้างที่ ET = Si∈T Ei ด้วยทำให้เกิดแผนที่ σT = S σi และ µT = S µi เป็นองค์ประกอบอื่นของฉัน ในคำอื่น ๆทุกทั้งหมดใบสั่งย่อยของฉันมีผูกด้านบนในฉัน โดยจับมือของ Zorn มีมีองค์ประกอบสูงสุด (E, σE, µE) อยู่ในฉัน เราอ้างว่า เป็นการปิดพีชคณิตจากคำนิยามของผม นามสกุล E/F เป็นพีชคณิต มัน suffices แสดงว่า Eไว้ algebraically ปิดเมื่อต้องการดูนี้ เราโต้แย้ง โดยความขัดแย้ง สมมติว่า อีไม่ไว้ algebraically ได้แก่ปิด แล้ว มี P พหุนามตัวอย่างต่ำกว่า E ปริญญา > 1 ดูจับมือ 10.2 โดยจับมือ 8.5 เรารับขยายจำกัด nontrivial E0 = E[x]/(P)สังเกตว่า E0/F พีชคณิต โดยจับมือ 8.8 ดังนั้น จำนวนนับของ E0 เป็น≤max(ℵ0, | F|) โดยระดับประถมศึกษาชุดทฤษฎี เราสามารถขยาย⊂ E ฉีดกำหนด S ไปการฉีด E0 → s ได้ ในคำอื่น ๆ เราอาจคิดว่า E0 เป็นองค์ประกอบของชุดของเราฉัน contradicting maximality ของอี ความขัดแย้งนี้เสร็จหลักฐานการ จับมือ 09GU 10.5 ให้ F เป็นเขต ให้ F เป็นปิดการพีชคณิตของเอฟ ให้ M/F ได้นามสกุลพีชคณิต แล้ว มี morphism ของ→ M นามสกุล F เอฟหลักฐานการ พิจารณาชุดพระคู่ (E ϕ) F ⊂ E ⊂ M อยู่ที่ subextension และΦ: E → F เป็น morphism F ส่วนขยาย เราสั่งชุดบางส่วนผม โดยประกาศ(E ϕ) ≤ (E0, ϕ0) ถ้าและเฉพาะถ้า E ⊂ E0 และ ϕ0| E =Φ ถ้า T = {(Et, ϕt) } ⊂ฉันเป็นการทั้งหมดสั่งย่อย แล้ว S ϕt: → S และ F เป็นองค์ประกอบของฉัน ดังนั้นทุกอย่างสมบูรณ์สั่งชุดย่อยของผมมีเป็นขอบเขตบน โดยการจับมือของ Zorn มีคำสูงสุดองค์ประกอบที่ (E ϕ) ในฉัน เราอ้างว่า E = M ซึ่งจะเสร็จสิ้นพิสูจน์ ถ้าไม่ได้แล้ว รับด้วยกองทัพ∈ M ด้วยกองทัพอี 6∈ ด้วยกองทัพเป็นพีชคณิต E ดู 8.4 การจับมือ ให้ P เป็นการพหุนามน้อยของด้วยกองทัพเหนืออี ให้ P ϕเป็นภาพของ P โดยϕใน F [x] ตั้งแต่F ถูกปิดไว้ algebraically มีβเป็นรากของ P ϕในเอฟ จากนั้น เราสามารถขยายϕเพื่อΦ0: E(α) = E[x]/(P) → F โดยแม็ป x กับβ นี้ทุก maximality ของ(E ϕ) ตามต้องการ จับมือ 09GV 10.6 ปิดพีชคณิตใด ๆ สองฟิลด์ isomorphic ได้หลักฐานการ ให้ F เป็นเขต ถ้า M และ F ปิดพีชคณิตของ F แล้วมีmorphism ของϕนามสกุล F: M → F โดยการจับมือ 10.5 ตอนนี้ ภาพ ϕ(M) เป็นปิดไว้ algebraically บนมืออื่น ๆ การขยาย ϕ(M) ⊂ F เป็นพีชคณิตโดยจับมือ 8.4 ดังนั้น ϕ(M) =เอฟ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

10. ปิดพีชคณิต
09GP ว่า "ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต" ระบุว่าซีพีชคณิตปิด
หลักฐานที่สวยงามของผลนี้จะใช้ Liouville
ทฤษฎีบทในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนเราจะให้หลักฐานอื่น(ดูบทแทรก 22.1).
09GQ นิยามเขตข้อมูล 10.1 F
มีการกล่าวถึงถูกปิดพีชคณิตถ้าทุกพีชคณิตขยายE / F เป็นที่น่ารำคาญคือ E = F.
นี้อาจไม่ได้ความหมายในข้อความทุก นี่เป็นบทแทรกเปรียบเทียบกับคนอื่น ๆ . 09GR แทรก 10.2 F อนุญาตเป็นสนาม ต่อไปนี้เป็นเทียบเท่า(1) F จะปิดพีชคณิต(2) ทุกพหุนามลดลงมากกว่า F เป็นเชิงเส้น(3) ทุกพหุนาม nonconstant มากกว่า F มีราก(4) ทุกพหุนาม nonconstant มากกว่า F เป็นผลิตภัณฑ์ของปัจจัยเชิงเส้นหลักฐาน ถ้า F เป็นพีชคณิตปิดแล้วทุกพหุนามลดลงไม่ได้เป็นเส้นตรง. คือถ้ามีพหุนามลดลงการศึกษาระดับปริญญา> 1 แล้วนี้สร้างขี้ปะติ๋วจำกัด (พีชคณิตด้วยเหตุนี้) การขยายสาขาให้ดูตัวอย่าง 7.6 ดังนั้น (1) หมายถึง(2) ถ้าทุกพหุนามลดลงไม่ได้เป็นเส้นตรงแล้วทุกพหุนามลดลงไม่ได้มีรากมาจากไหนทุกพหุนาม nonconstant มีราก ดังนั้น (2) หมายถึง (3). สมมติทุกพหุนาม nonconstant มีราก ให้ P ∈ F [x] เป็น nonconstant. ถ้า P (α) = 0 กับα∈ F แล้วเราจะเห็นว่า P = (x - α) Q สำหรับบาง Q ∈ F [x] (โดยส่วนที่เหลือ) ดังนั้นเราจึงสามารถยืนยันโดยอุปนัยกับระดับที่ใดพหุนาม nonconstant สามารถเขียนเป็นผลิตภัณฑ์ค Q (x - αi). สุดท้ายคิดว่าทุกพหุนาม nonconstant มากกว่า F เป็นผลิตภัณฑ์ของเส้นปัจจัย ให้ E / F เป็นส่วนขยายพีชคณิต จากนั้นทั้งหมด subextensions ง่ายF (α) / F ของอีจำเป็นต้องเล็กน้อย (เพราะมีหลายชื่อลดลงไม่เพียง แต่เป็นเชิงเส้นโดยสมมติฐาน) ดังนั้น E = F เราจะเห็นว่า (4) หมายถึง (1) และเราจะทำ ? ตอนนี้เราต้องการที่จะกำหนดเป็น "สากล" ขยายเกี่ยวกับพีชคณิตของสนาม ที่จริงเราควรจะระมัดระวัง: ปิดพีชคณิตไม่ได้เป็นวัตถุสากล นั่นคือพีชคณิตปิดไม่ซ้ำกับมอร์ฟที่ไม่ซ้ำกัน: มันเป็นเพียงที่ไม่ซ้ำกันถึงมอร์ฟ แต่ยังคงมันจะมีประโยชน์มากหากไม่ได้ functorial. 09GS ให้ความละเอียด 10.3 F เป็นสนาม ที่เราบอกว่าจะปิด F พีชคณิตถ้าทุกนามสกุลพีชคณิตE / F เป็นที่น่ารำคาญคือ E = F พีชคณิตปิดของ F เป็นเขตF มี F ดังกล่าวว่า: (1). F คือพีชคณิตมากกว่า F (2) F จะปิดพีชคณิต. ถ้า F เป็นพีชคณิตปิดแล้ว F เป็นพีชคณิตปิดของตัวเอง ตอนนี้เราพิสูจน์ผลพื้นฐานการดำรงอยู่. 09GT ทฤษฎีบท 10.4 สนามทุกคนมีพีชคณิตปิด. หลักฐานส่วนใหญ่จะเป็นปลาชนิดหนึ่งสีแดงกับส่วนที่เหลือของบท แต่เราจะต้องการที่จะรู้ว่ามันเป็นไปได้ที่จะฝังอยู่ภายในสนามพีชคณิตปิดสนาม, และเรามักจะถือว่ามันทำ. สาขา 12 หลักฐาน F อนุญาตเป็นสนาม โดยบทแทรก 8.9 ภาวะเชิงการนับของการขยายเกี่ยวกับพีชคณิตของF มีขอบเขตโดย max (ℵ0, | F |) เลือกชุดที่มี S กับ F | S | .> max (ℵ0, | F |) ลองพิจารณาอเนกประสงค์ (E, σE, μE) ในกรณีที่(1) E เป็นชุด F ⊂ E ⊂ S และ(2) σE: E × E →อีและμE: E × E → E คือแผนที่ชุดดังกล่าวที่ (E, σE, μE) กำหนดโครงสร้างของการขยายสาขาของ F (ในโดยเฉพาะอย่างยิ่งσE (A, B) = + F ขสำหรับข∈ F และในทำนองเดียวกันสำหรับμE ) และ(3) F ⊂ E เป็นส่วนขยายสาขาเชิงพีชคณิต. คอลเลกชันของอเนกประสงค์ทั้งหมด (E, σE, μE) แบบฟอร์มชุดที่หนึ่งสำหรับฉันฉัน∈เราจะแสดงEi = (Ei, σi, μi) ที่สอดคล้องกัน การขยายสนามเอฟเรากำหนดสั่งซื้อบางส่วนผมด้วยการประกาศฉัน≤ i0 ถ้าหาก Ei ⊂ Ei0 (นี้ทำให้รู้สึกเป็น Ei และ Ei0 เป็นส่วนย่อยของชุดเดียวกันS) และเรามีσi = σi0 | Ei Ei × และμi = μi0 | Ei Ei ×ในอื่น ๆคำ Ei0 เป็นส่วนขยายของเขตของ Ei. ให้ T ⊂ฉันจะเป็นส่วนย่อยที่สั่งซื้อทั้งหมด จากนั้นก็เป็นที่ชัดเจนว่า ET = Si∈T Ei กับแผนที่เหนี่ยวนำσT = S σiและμT = S μiเป็นองค์ประกอบหนึ่งของฉันในคำอื่น ๆทุกชุดย่อยเพื่อทั้งหมดของฉันมีขอบเขตบนในครั้งที่หนึ่งโดยแทรก Zorn ของมีอยู่องค์ประกอบสูงสุด (E, σE, μE) ในครั้งที่เราอ้างว่า E เป็นพีชคณิตปิด. เนื่องจากโดยความหมายของผมนามสกุล E / F คือพีชคณิตก็พอเพียงที่จะแสดงให้เห็นว่าอีจะปิดพีชคณิต. เพื่อดูนี้เราเถียง โดยความขัดแย้ง คือคิดว่าจะไม่ได้รับ E พีชคณิตปิด จากนั้นก็มีอยู่พหุนาม P ลดลงมากกว่าการศึกษาระดับปริญญา E> 1 ให้ดูบทแทรก10.2 โดยบทแทรก 8.5 เราได้รับการขยายขอบเขตขี้ปะติ๋ว E0 E = [x] / (P). สังเกตว่า E0 / F คือพีชคณิตโดยบทแทรก 8.8 ดังนั้นภาวะเชิงการนับของ E0 เป็น≤ max (ℵ0, | F |) ตามทฤษฎีเซตประถมศึกษาเราสามารถขยายได้รับการฉีด E ⊂ S เพื่อฉีดE0 →เอสในคำอื่น ๆ ที่เราอาจคิดว่า E0 เป็นองค์ประกอบของการตั้งค่าของเราฉันขัดแย้งmaximality อีขัดแย้งเสร็จสมบูรณ์หลักฐาน ? 09GU แทรก 10.5 F อนุญาตเป็นสนาม ให้ F เป็นพีชคณิตปิดให้เอฟเอ็ม / เอฟเป็นส่วนขยายพีชคณิต แล้วมีซึ่มส์ F-นามสกุลเอ็มเอฟ→หลักฐาน พิจารณาชุดที่ฉันคู่ (E, φ) ที่ F ⊂ E ⊂ M เป็น subextension และφ: E → F ซึ่มส์เป็น F-นามสกุล เราสั่งซื้อบางส่วนชุดที่ผมด้วยการประกาศ(E, φ) ≤ (E0, φ0) ถ้าหาก E ⊂ E0 และφ0 | E = φ ถ้า T = {(Et, φt)} ⊂ฉันเป็นส่วนย่อยที่สั่งซื้อทั้งหมดแล้วφt S: S Et → F เป็นองค์ประกอบของฉันดังนั้นทุกสิ้นเชิงย่อยได้รับคำสั่งของฉันมีขอบเขตบน โดยมีแทรก Zorn ของที่มีอยู่สูงสุดองค์ประกอบ(E, φ) ในครั้งที่เราอ้างว่า E = M ซึ่งจะเสร็จสิ้นการพิสูจน์ ถ้าไม่แล้วเลือกα∈ M, α6∈อีαเป็นพีชคณิตมากกว่าอีเห็นบทแทรก 8.4 ให้ P เป็นพหุนามที่น้อยที่สุดของαมากกว่าอีเล็P อรเป็นภาพของ P โดยφในเอฟ [x] ตั้งแต่F เป็นพีชคณิตปิดมีรากβของพีเอฟในφแล้วเราสามารถที่จะขยายφφ0: E (α) = E [x] / (P) → F โดยการทำแผนที่ x เพื่อเบต้า นี้ขัดแย้ง maximality ของ(E, φ) ตามที่ต้องการ ? 09GV แทรก 10.6 สองปิดพีชคณิตของสนามเป็น isomorphic. หลักฐาน F อนุญาตเป็นสนาม ถ้า M และ F มีการปิดพีชคณิต F แล้วมีอยู่ซึ่มส์F-นามสกุลφ: M → F โดยแทรก 10.5 ตอนนี้ภาพφ (M) จะปิดพีชคณิต ในทางกลับกันการขยายφนี้ (M) ⊂ F คือพีชคณิตโดยบทแทรก8.4 ดังนั้นφ (M) = เอฟ?

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

10 . พีชคณิตปิด
09gp " ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต " ระบุว่า ซี คือพีชคณิตปิด . มีหลักฐานการใช้
สวยงามของทฤษฎีบท liouville ในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน จะให้พิสูจน์อีก ( เห็นฟาง

22.1 ) 09gq สนามความละเอียด 10.1 . F เป็นพีชคณิตปิดถ้าทุกพีชคณิต
E / F เป็นส่วนขยายเล็กน้อย ( E = f .
นี้ไม่อาจนิยาม ทุกข้อความ นี่คือรูปแบบการเปรียบเทียบกับอื่น ๆ
.
09gr บทตั้ง 10.2 . ให้ f เป็นสนาม ต่อไปนี้เป็นเทียบเท่า
( 1 ) F คือพีชคณิตปิด
( 2 ) ทุกพหุนามลดทอนไม่ได้มากกว่า F เป็นเชิงเส้น ,
( 3 ) ทุก nonconstant พหุนามกว่า F มีราก ,
( 4 ) ทุก nonconstant พหุนามกว่า F เป็นผลิตภัณฑ์ของปัจจัยเชิงเส้น .
พิสูจน์ถ้า f เป็นพีชคณิตปิดแล้วทุกพหุนามลดทอนไม่ได้เป็นเชิงเส้น .
( หากมีแบบลดระดับ 1 แล้วสร้าง
นอนทริเวียล จำกัด ( พีชคณิตฟิลด์นามสกุล ดังนั้น ) เห็นตัวอย่าง 7.6 . จึงหมายถึง ( 1 )
( 2 ) ถ้าทุกพหุนามลดทอนไม่ได้เป็นเส้นตรง แล้วทุกพหุนามลดทอนไม่ได้มีการราก ซึ่งทุก nonconstant พหุนามมีรากจึงหมายถึง ( 2 ) ( 3 ) .
ถือว่า ทุก nonconstant พหุนามมีราก ให้ P ∈ F [ x ] nonconstant .
ถ้า P ( α ) = 0 ด้วยα∈ F แล้วเราดูว่า P = ( −α X ) Q Q ∈บาง F [ x ] (
กองกับส่วนที่เหลือ ) ดังนั้นเราสามารถโต้แย้งโดยอุปนัยในระดับใด ๆ
nonconstant พหุนามสามารถเขียนเป็นผลิตภัณฑ์ C Q ( x α− i )
ในที่สุดสมมติว่าทุก nonconstant พหุนามกว่า F เป็นผลิตภัณฑ์ของปัจจัยเชิงเส้น

ให้ E / F เป็นส่วนขยายพีชคณิต แล้วทั้งหมดที่ง่าย subextensions
F ( α ) / F e จะต้องเล็กน้อย ( เพราะแค่ลดพหุนามเป็น
เชิงเส้นโดยสมมติฐาน ) ดังนั้น E = F . เราดูที่ ( 4 ) หมายถึง ( 1 ) และเรา
เสร็จแล้ว 
ตอนนี้เราต้องการกำหนดส่วนขยายพีชคณิตสากล " ของเขตข้อมูล จริงๆ แล้วเรา
ควรระวัง : พีชคณิตการปิดไม่ใช่วัตถุที่เป็นสากล นั่นคือ
ปิดพีชคณิตไม่เป็นเอกลักษณ์ขึ้นเฉพาะก้อน : มันเป็นเพียงเฉพาะขึ้น

ก้อน . แต่มันจะมีประโยชน์มาก ถ้าไม่ functorial .
09gs ให้ความละเอียด 10.3 . เอฟเป็นฟิลด์ เราว่า F คือพีชคณิตปิดถ้าทุก
พีชคณิตนามสกุล E / F เล็กน้อย ( E = F .การปิดพีชคณิต f เป็นเขต
F ที่มี F เช่นที่ :
( 1 ) F คือพีชคณิตมากกว่า F .
( 2 ) F คือพีชคณิตปิด .
ถ้า f คือพีชคณิตปิดแล้ว f เป็นพีชคณิตการปิดของมันเอง ตอนนี้เราพิสูจน์

" การดำรงอยู่ขั้นพื้นฐาน 09gt ทฤษฎีบท 10.4 . ทุกสาขามีการปิดพีชคณิต
หลักฐานส่วนใหญ่จะเป็นปลาชนิดหนึ่งสีแดง กับส่วนที่เหลือของบทที่ อย่างไรก็ตาม เราจะ
อยากทราบว่ามันเป็นไปได้ที่จะฝังสนามภายในสนามปิดพีชคณิต
, และเราจะมักจะถือว่าจบแล้ว เขต 12

หลักฐาน ให้ f เป็นสนาม โดยแทรก 8.9 มีภาวะเชิงการนับของส่วนขยายพีชคณิต
F เป็นที่สิ้นสุดโดยแม็กซ์ ( ℵ 0 | F | ) เลือกชุด S ที่มี F กับ | S | > แม็กซ์ ( ℵ 0 | F | )
ให้พิจารณาอเนกประสงค์ ( E , σ E , µ e )
( 1 ) E ที่เป็นชุดกับ F ⊂ E ⊂ S ,
( 2 ) σ E :E × e → keyboard - key - name E และµ E : E × e → keyboard - key - name e แผนที่ชุดดังกล่าว ( E , σ E , µ e )
นิยามโครงสร้างของเขตส่งเสริมของ f ( E σโดยเฉพาะ ( A , B ) = F B
สำหรับ A , B ∈ F และในทำนองเดียวกันสำหรับµและ E )
( 3 ) F ⊂ E เป็นฟิลด์พีชคณิตนามสกุล .
คอลเลกชันทั้งหมดของอเนกประสงค์ ( E , σ E , µ E ) รูปแบบชุดฉันฉันฉันจะแสดง∈
EI = ( Ei σผมµ ) เขตที่ส่งเสริมให้เรากำหนดบางส่วนสั่ง
ผมโดยผมได้ประกาศ≤ถ้าและเพียงถ้าคุณ⊂ ei0 ( มันสมเหตุสมผลและเป็น EI ei0 เป็น
ชุดย่อยของชุดเดียวกันด้วย ) และเราได้σ = σ i0 | EI × EI µและ = µ i0 | EI × ei กล่าวอีกนัยหนึ่ง
ei0 , เป็นสนามส่วนขยายของ EI .
t ⊂ให้ฉันเป็นเหมือนคำสั่งย่อย . แล้วมันเป็นที่ชัดเจนว่า ET = ศรี∈ T
T ) EI กับแผนที่σ = s และ t = S σµµผมเป็นองค์ประกอบอื่นของในคำอื่น ๆทั้งหมดเพื่อย่อยของ
ทุกฉันมีผูกไว้บนผม โดยมี ซอร์นเป็นบทตั้ง
มีอยู่องค์ประกอบสูงสุด ( E , σ E , µ E ) e . เราอ้างว่าเป็นปิดพีชคณิต .
เพราะคำนิยามของฉันขยาย E / F เป็นพีชคณิต มันพอเพียงเพื่อแสดง E
คือพีชคณิตปิด .
เห็นเราทะเลาะกันโดยความขัดแย้ง คือ สมมติว่า อี ไม่ใช่พีชคณิต
ปิดแล้วมีพหุนามลดทอนไม่ได้ P มากกว่า E ระดับ 1 , ดู
แทรก 10.2 . โดยแทรก 8.5 ได้นอนทริเวียล จำกัดนามสกุล E0 = e [ x ] / ( P )
/ E0 F คือสังเกตว่าพีชคณิตโดยแทรก 8.8 . ดังนั้นภาวะเชิงการนับของแม็กซ์ ( ℵ E0 คือ≤
0 | F | ) โดยทฤษฎีเบื้องต้นชุดเราสามารถขยายให้ฉีด E ⊂ S
ฉีด→ keyboard - key - name E0 S . ในคำอื่น ๆที่เราอาจคิดว่า เข้ามาเป็นองค์ประกอบของ
ชุดของเราผมขัดแย้งกับ maximality . ความขัดแย้งนี้ซึ่งต้องพิสูจน์ครับ 
09gu บทตั้ง 10.5 ให้ f เป็นสนาม ให้ f เป็นพีชคณิตการปิดของ เอฟ ให้ M / F จะ
นามสกุลพีชคณิต แล้วมีสัณฐานของ f-extensions → keyboard - key - name M F .
พิสูจน์ พิจารณาชุดของคู่ ( E , F ϕ ) ที่⊂ E ⊂ M เป็น subextension
: E F และϕ→ keyboard - key - name เป็นสัณฐานของ f-extensions .เราสั่งชุดบางส่วนโดยการประกาศ
( E , ϕ ) ≤ ( E0 ϕ , 0 ) ถ้าและเพียงถ้าϕ 0 E0 E ⊂และ | E = ϕ . ถ้า T = { ( ET , ϕ t ) } ⊂ผมเป็น
ทั้งหมดสั่งย่อย แล้ว S ϕ T : S ET → keyboard - key - name F เป็นองค์ประกอบของ ดังนั้นทุกเต็มเปา
สั่งย่อยของชั้นมีไว้บน ด้วย ซอร์นเป็นบทตั้งมีอยู่องค์ประกอบสูงสุด
( E , ϕ ) . เราเรียกร้องว่า E = M ซึ่งจะเสร็จสิ้นการพิสูจน์ ถ้าไม่ , แล้วเลือกα∈
Mα 6 ∈ e αคือพีชคณิตมากกว่า E เห็นฟาง 8.4 . ให้ p เป็นพหุนามของα
น้อยที่สุดกว่า E . ให้ p ϕเป็นภาพ P โดยϕ F [ x ] ตั้งแต่
F พีชคณิตปิดมีรากบีตาของ P ϕในต่างประเทศ เราก็สามารถขยายϕϕ 0

: E ( α ) = e [ x ] / F ( P ) → keyboard - key - name โดยการทำแผนที่ X บีตา . นี้ขัดแย้งกับ maximality ของ
( E , ϕ ) ตามที่ต้องการ 
09gv บทตั้ง 10.6 .2 พีชคณิตปิดสนามของพวกเรา .
พิสูจน์ ให้ f เป็นสนาม ถ้า M และ F เป็นพีชคณิตปิดของ f แล้วมีอยู่สัณฐานของการ f-extensions ϕ M → keyboard - key - name F โดยแทรก 10.5 ตอนนี้ภาพϕ ( M )
พีชคณิตปิด . บนมืออื่น ๆ , การส่งเสริมϕ ( M ) ⊂ F พีชคณิตโดย
แทรก 8.4 . ดังนั้นϕ ( m ) =  F