ABSTRACT: The notion of (regular) -

ABSTRACT: The notion of (regular) -derivations of a BCI-algebra is introduced, some useful examples are discussed, and related properties are investigated. The condition for a -derivation to be regular is provided. The concepts of a -invariant -derivation and -ideal are introduced, and their relations are discussed. Finally, some results on regular -derivations are obtained. 1. Introduction BCK-algebras and BCI-algebras are two classes of nonclassical logic algebras which were introduced by Imai and Iséki in 1966 [1, 2]. They are algebraic formulation of BCK-system and BCI-system in combinatory logic. However, these algebras were not studied any further until 1980. Iséki published a series of notes in 1980 and presented a beautiful exposition of BCI-algebras in these notes (see [3–5]). The notion of a BCI-algebra generalizes the notion of a BCK-algebra in the sense that every BCK-algebra is a BCI-algebra but not vice versa (see [6]). Later on, the notion of BCI-algebras has been extensively investigated by many researchers (see [7–9] and references therein). Throughout our discussion, X will denote a BCI-algebra unless otherwise mentioned. In the year 2004, Jun and Xin [10] applied the notion of derivation in ring and near-ring theory to BCI-algebras, and as a result they introduced a new concept, called a (regular) derivation, in BCI-algebras. Using this concept as defined, they investigated some of its properties. Using the notion of a regular derivation, they also established characterizations of a -semisimple BCI-algebra. For a self map of a BCI-algebra, they defined a -invariant ideal and gave conditions for an ideal to be -invariant. According to Jun and Xin, a self-map is called a left-right derivation (briefly -derivation) of if holds for all . Similarly, a self-map is called a right-left derivation (briefly -derivation) of if holds for all . Moreover, if is both - and -derivation, it is a derivation on . After the work of Jun and Xin [10], many research articles have been appeared on the derivations of BCI-algebras and a greater interest has been devoted to the study of derivation in BCI-algebras on various aspects (see [11–15]). Several authors [16–19] have studied derivations in rings and near-rings. Inspired by the notions of -derivation [20], left derivation [21] and generalized derivation [19, 22] in rings and near rings theory, many authors have applied these notions in a similar way to the theory of BCI-algebras (see [11, 14, 15]). For instant, in 2005 [15], Zhan and Liu have given the notion of -derivation of BCI-algebras as follows: a self-map

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทคัดย่อ: ความคิดของ (ปกติ) -derivati​​ons ของ BCI พีชคณิตมีการนำตัวอย่างบางส่วนที่จะกล่าวถึงประโยชน์และคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับการตรวจสอบ เงื่อนไขสำหรับ -derivati​​on จะเป็นปกติท​​ี่มีให้ แนวความคิดของ -derivati​​on -invariant -ideal และได้ถูกนำเสนอและความสัมพันธ์ของพวกเขาที่จะกล่าวถึง ในที่สุดผลบางอย่างเกี่ยวกับ -derivati​​ons ปกติจะได้รับ 1. บทนำ BCK จีบและ BCI-จีบราส์สองชั้นเรียนของ algebras ตรรกะ nonclassical ซึ่งได้รับการแนะนำให้รู้จักกับ Iseki Imai และในปี 1966 [1​​, 2] พวกเขามีการกำหนดเกี่ยวกับพีชคณิตของ BCK ระบบและ BCI ระบบในตรรกะ combinatory แต่จีบเหล่านี้ไม่ได้มีการศึกษาเพิ่มเติมใด ๆ จนกว่าจะถึงปี 1980 ISEKI เผยแพร่ชุดของบันทึกในปี 1980 และนำเสนอนิทรรศการที่สวยงามของ BCI-จีบราส์ในบันทึกเหล่านี้ (ดู [3-5]) ความคิดของ BCI พีชคณิต generalizes ความคิดของ BCK พีชคณิตในความรู้สึกที่ทุก BCK พีชคณิตเป็น BCI พีชคณิต แต่ไม่ในทางกลับกัน (ดู [6]) ด้วย ต่อมาเมื่อความคิดของ BCI-จีบราส์ได้รับการตรวจสอบอย่างกว้างขวางโดยนักวิจัยหลายคน (ดู [7-9] และการอ้างอิงนั้น) ตลอดการสนทนาของเรา, X จะแสดงว่า BCI พีชคณิตเว้นแต่กล่าวถึงเป็นอย่างอื่น ในปี 2004, มิถุนายนและซิน [10] ใช้ความคิดของมาในแหวนและทฤษฎีที่อยู่ใกล้แหวน BCI-จีบและเป็นผลที่พวกเขานำมาเป็นแนวคิดใหม่ที่เรียกว่า (ปกติ) มาใน BCI-จีบ โดยใช้แนวคิดนี้ตามที่กำหนดไว้พวกเขาตรวจสอบบางส่วนของคุณสมบัติของมัน การใช้ความคิดของมาปกติท​​ี่พวกเขายังสร้างลักษณะเฉพาะของ -semisimple BCI พีชคณิต สำหรับแผนที่ตนเองของ BCI พีชคณิตที่พวกเขากำหนด -invariant เหมาะและให้เงื่อนไขที่เหมาะที่จะเป็น -invariant ตามมิถุนายนและซินตัวเองแผนที่เรียกว่ามาซ้ายขวา (สั้น ๆ -derivati​​on) หากถือหุ้นทั้งหมด ในทำนองเดียวกันตัวเองแผนที่เรียกว่ามาซ้ายขวา (สั้น ๆ -derivati​​on) หากถือหุ้นทั้งหมด นอกจากนี้หากเป็นทั้ง - และ -derivati​​on มันเป็นมาใน หลังจากการทำงานของมิถุนายนและซิน [10], บทความวิจัยจำนวนมากได้รับการพิสูจน์ปรากฏบนของ BCI-จีบและความสนใจมากขึ้นได้รับการอุทิศเพื่อการศึกษามาใน BCI-จีบราส์ในแง่มุมต่าง ๆ (ดู [11-15] ) ผู้เขียนหลาย [16-19] ได้ศึกษา derivati​​ons ในแหวนและใกล้แหวน แรงบันดาลใจจากความคิดของ -derivati​​on [20] ที่มาซ้าย [21] และรากศัพท์ทั่วไป [19, 22] ในแหวนและใกล้แหวนทฤษฎีผู้เขียนหลายคนได้ใช้ความคิดเหล่านี้ในลักษณะที่คล้ายกันกับทฤษฎีของ BCI-จีบราส์ (ดู [11, 14, 15]) สำหรับทันทีในปี 2005 [15], Zhan และหลิวได้ให้ความคิดของ -derivati​​on ของ BCI-จีบดังนี้ตัวเองแผนที่

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทคัดย่อ : ความคิดของ ( ปกติ ) - แหล่งที่มาของพีชคณิต BCI จะนำตัวอย่างที่มีประโยชน์บางอย่างมีการกล่าวถึงและที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของแบบจำลอง เงื่อนไขสำหรับมีเป็นปกติไว้ แนวคิดของ - ความ - รากศัพท์ - เหมาะจะแนะนำ และความสัมพันธ์ของพวกเขาจะกล่าวถึง ในที่สุด ผลบางอย่างในการหาปกติจะรับ 1 .เบื้องต้นพีชคณิตพีชคณิต BCI bck และมีสองชั้นเรียนของ nonclassical ตรรกะพีชคณิตซึ่งถูกแนะนำโดยอิมาอิ และเป็นผู้คิใน 1966 [ 1 , 2 ] พวกเขามีการกำหนดระบบและ bck พีชคณิต BCI ใน combinatory ตรรกศาสตร์ อย่างไรก็ตาม พีชคณิตเหล่านี้ไม่ได้เรียนจนกว่า 1980คือ . . . คิเผยแพร่ชุดของบันทึกในปี 1980 และแสดงนิทรรศการที่สวยงามของพีชคณิต BCI ในบันทึกนี้ ( ดู [ 3 – 5 ] ) ความคิดของพีชคณิต BCI เช่นนี้ได้ขยายแนวคิดของ bck พีชคณิตในความรู้สึกว่า ทุก bck พีชคณิตเป็นพีชคณิต BCI แต่ในทางกลับกันไม่ได้ ( ดู [ 6 ] ) ในภายหลังความคิดของพีชคณิต BCI ได้รับอย่างกว้างขวาง โดยนักวิจัยหลายคน ( ดู [ 7 – 9 ] อ้างอิง ) ตลอดการสนทนาของเรา X จะแสดงพีชคณิต BCI นอกจากที่กล่าวถึง ในปี 2004 , จุน และซิน [ 10 ] แนวคิดของการประยุกต์ในทฤษฎีแหวนแหวนและใกล้พีชคณิต BCI และเป็นผลให้พวกเขาแนะนำแนวคิดใหม่ที่เรียกว่า ( ปกติ ) รากศัพท์ในพีชคณิต BCI . ใช้หลักการตามที่พวกเขาตรวจสอบบางส่วนของคุณสมบัติของ ความคิดของการใช้ปกติ พวกเขายังยอมรับ characterizations ของปริมาณ BCI - พีชคณิต สำหรับตัวแผนที่ของพีชคณิต BCI พวกเขากำหนด - เหมาะค่าคงที่และให้เงื่อนไขที่เหมาะที่จะเป็นค่าคงที่ . ตามจุน กับ ซินแผนที่ของตนเองเรียกว่ารากศัพท์ ซ้าย - ขวา ( สั้น ๆมี ) ถ้าถือทั้งหมด ในทำนองเดียวกัน , ด้วยตนเองแผนที่เรียกว่ารากศัพท์ซ้ายขวา ( สั้น ๆมี ) ถ้าถือทั้งหมด นอกจากนี้ ถ้าเป็นทั้ง - และ - รากศัพท์มันมา . หลังจากการทำงานของจุนและซิน [ 10 ]บทความวิจัยมากมายได้ปรากฏตัวขึ้นบนแหล่งที่มาของพีชคณิต BCI และความสนใจมากขึ้นได้รับการอุทิศเพื่อการศึกษาของรากศัพท์ในพีชคณิต BCI ในด้านต่างๆ ( ดู 15 ) [ 11 ] ) ผู้เขียนหลาย [ 16 – 19 ] ได้ศึกษาในการหาแหวน และใกล้วงแหวน แรงบันดาลใจจากความคิดของ - รากศัพท์ [ 20 ] , [ 21 ] และโดยทั่วไปแล้วรากศัพท์รากศัพท์ [ 1922 ] ในแหวนและใกล้ทฤษฎีแหวนมากมาย ผู้เขียนได้ใช้ความคิดเหล่านี้ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีของพีชคณิต BCI ( ดู [ 11 , 14 , 15 ) สำหรับทันทีในปี 2005 [ 15 ] จ้านและหลิวได้รับความคิดของพีชคณิต BCI - รากศัพท์ของตนเอง ด้าน ดังนี้