Telescoping seriesFrom Wikipedia, t

Telescoping series
From Wikipedia, the free encyclopedia
In mathematics, a telescoping series is a series whose partial sums eventually only have a fixed number of terms after cancellation.[1][2] The cancellation technique, with part of each term cancelling with part of the next term, is known as the method of differences.

For example, the series

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n(n+1)}}} sum _{{n=1}}^{infty }{frac {1}{n(n+1)}}
(the series of reciprocals of pronic numbers) simplifies as

{displaystyle {egin{aligned}sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n(n+1)}}&{}=sum _{n=1}^{infty }left({frac {1}{n}}-{frac {1}{n+1}}
ight)\{}&{}=lim _{N o infty }sum _{n=1}^{N}left({frac {1}{n}}-{frac {1}{n+1}}
ight)\{}&{}=lim _{N o infty }leftlbrack {left(1-{frac {1}{2}}
ight)+left({frac {1}{2}}-{frac {1}{3}}
ight)+cdots +left({frac {1}{N}}-{frac {1}{N+1}}
ight)}
ight
brack \{}&{}=lim _{N o infty }leftlbrack {1+left(-{frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}
ight)+left(-{frac {1}{3}}+{frac {1}{3}}
ight)+cdots +left(-{frac {1}{N}}+{frac {1}{N}}
ight)-{frac {1}{N+1}}}
ight
brack \{}&{}=lim _{N o infty }leftlbrack {1-{frac {1}{N+1}}}
ight
brack =1.end{aligned}}} egin{align}
sum_{n=1}^infty frac{1}{n(n+1)} & {} = sum_{n=1}^infty left( frac{1}{n} - frac{1}{n+1}
ight) \
{} & {} = lim_{N oinfty} sum_{n=1}^N left( frac{1}{n} - frac{1}{n+1}
ight) \
{} & {} = lim_{N oinfty} leftlbrack {left(1 - frac{1}{2}
ight) + left(frac{1}{2} - frac{1}{3}
ight) + cdots + left(frac{1}{N} - frac{1}{N+1}
ight) }
ight
brack \
{} & {} = lim_{N oinfty} leftlbrack { 1 + left( - frac{1}{2} + frac{1}{2}
ight) + left( - frac{1}{3} + frac{1}{3}
ight) + cdots + left( - frac{1}{N} + frac{1}{N}
ight) - frac{1}{N+1} }
ight
brack \
{} & {} = lim_{N oinfty} leftlbrack { 1 - frac{1}{N+1} }
ight
brack = 1.
end{align}

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ชุดเหลื่อมจากวิกิพีเดีย วิกิพีเดียในวิชาคณิตศาสตร์ ชุด telescoping เป็นชุดที่มีผลบวกในที่สุดมีจำนวนคงที่ของข้อตกลงหลังจากยกเลิก [1] [2] ยกเลิกเทคนิค ส่วนของแต่ละเทอมที่ตัดกับส่วนของเทอมถัดไป เป็นวิธีการของความแตกต่างตัวอย่างเช่น ชุด{ displaystyle sum _ { n = 1 } ^ {infty } {frac {1}{n(n+1) } } } sum _ { { n = 1 } } ^ {infty } {frac {1}{n(n+1) } }(ชุดคือเลข pronic) ทำให้เป็น{ displaystyle { egin{aligned}sum _ { n = 1 } ^ {infty } {frac {1}{n(n+1) } } & {} = sum _ { n = 1 } ^ left {infty } ({frac { 1 } {n } } -
ight {frac { 1 } {n + 1 } }) \ {}และ{} = lim _ {N o infty } sum _ { n = 1 } ^ left {N } ({frac { 1 } {n } } -
ight {frac { 1 } {n + 1 } }) \ {}และ{} = lim _ {N o infty } leftlbrack { left (1- { frac { 1 } { 2 } }
ight) + left ({ frac { 1 } { 2 } } - { frac { 1 } { 3 } }
ight) cdots + left ({frac { 1 } {N } } -
ight {frac { 1 } {N + 1 } }) }
ight
brack \ {}และ{} = lim _ {N การ infty } leftlbrack { left 1 + (- { frac { 1 } { 2 } } + { frac { 1 } { 2 } }
ight) + left (- { frac { 1 } { 3 } } + { frac { 1 } { 3 } }
ight) cdots + left(-{frac {1}{N}}+{frac {1}{N}}
ight)- {frac { 1 } {N + 1 } } }
ight
brack \ {}และ{} = lim _ {N o infty } leftlbrack {1- {frac { 1 } {N + 1 } } }
ight
brack = 1.end {ตำแหน่ง} } } egin{align }sum_{n=1}^infty frac{1}{n(n+1) } & {} = sum_{n=1}^infty left (frac{1}{n } -frac{1}{n+1 }
ight) \{} และ{} = lim_{N oinfty } sum_{n=1}^N left (frac{1}{n } -frac{1}{n+1 }
ight) \{} และ{} = lim_{N oinfty } leftlbrack { left (1 - frac{1}{2}
ight) + left (frac { 1 } { 2 } - frac{1}{3}
ight) cdots + left (frac { 1 } {N } - frac{1}{N+1}
ight) }
ight
brack \{} และ{} = lim_{N oinfty } leftlbrack { 1 + left (-frac{1}{2 } + frac{1}{2}
ight) + left (-frac{1}{3 } + frac{1}{3}
ight) + cdots + left (-frac{1}{N } + frac{1}{N}
ight) -frac{1}{N+1 } }
ight
brack \{} และ{} = lim_{N oinfty } leftlbrack {1 - frac{1}{N+1 } }
ight
brack = 1end{align }

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ชุดเหลื่อม
จากวิกิพีเดีย
ในคณิตศาสตร์ชุดเหลื่อมเป็นซีรีส์ที่มีผลรวมบางส่วนในที่สุดก็มีเพียงจำนวนคงที่ของข้อตกลงหลังจากการยกเลิก. [1] [2] เทคนิคการยกเลิกการเป็นส่วนหนึ่งของแต่ละระยะการยกเลิกการเป็นส่วนหนึ่งของระยะถัดไปเป็นที่รู้จักกันเป็นวิธีการที่แตกต่างกัน.

ตัวอย่างเช่นชุด

{ displaystyle รวม _ {n = 1} ^ { infty} { frac { 1} {n (n + 1)}}} รวม _ {{n = 1}} ^ { infty} { frac {1} {n (n + 1)}}
(ชุดของส่วนกลับของตัวเลข pronic ) ช่วยลดความยุ่งยากเป็น

{ displaystyle { begin {ชิด} รวม _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n (n + 1)}} และ {} = รวม _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {1} {n}} - { frac {1} {n + 1}} ขวา) \ {} และ {} = Lim _ {n จะ infty} รวม _ {n = 1} ^ {n} left ({ frac {1} {n}} - { frac {1} {n + 1}} ขวา) \ {} & {} = Lim _ {n to infty} left lbrack { left (1 - { frac {1} {2}} ขวา) + left ({ frac {1} {2}} - { frac {1} {3}} ขวา) + cdots + left ({ frac {1} {N}} - { frac {1} {N + 1}} ขวา)} ขวา rbrack \ {} และ {} = Lim _ {n to infty} left {lbrack 1+ left (- { frac {1} {2}} + { frac {1} {2 }} ขวา) + left (- { frac {1} {3}} + { frac {1} {3}} ขวา) + cdots + left (- { frac {1} {n }} + { frac {1} {N}} ขวา) - { frac {1} {N + 1}}} สิทธิ rbrack \ {} และ {} = Lim _ {n to infty} left lbrack {1 - { frac {1} {n + 1}}.} สิทธิ rbrack = 1 end {ชิด}}} begin {align}
sum_ {n = 1} ^ infty frac {1} {n (n + 1)} และ {} = sum_ {n = 1} ^ infty left ( frac {1} {n} - frac {1} {n + 1} ขวา) \
{} และ {} = lim_ {n to infty} sum_ {n = 1} ^ n left ( frac {1} {n} - frac {1} {1 + n } ขวา) \
{} และ {} = lim_ {n to infty} left lbrack { left (1 - frac {1} {2} ขวา) + left ( frac {1 } {2} - frac {1} {3} ขวา) + cdots + left ( frac {1} {N} - frac {1} {N + 1} ขวา)} สิทธิ rbrack \
{} และ {} = lim_ {n to infty} left lbrack {1 + left (- frac {1} {2} + frac {1} {2} ขวา) + ซ้าย (- frac {1} {3} + frac {1} {3} ขวา) + cdots + left (- frac {1} {N} + frac {1} {N} ขวา ) - frac {1} {N + 1}} สิทธิ rbrack \
{} และ {} = lim_ {n to infty} left {lbrack 1 - frac {1} {N + 1 }} สิทธิ rbrack = 1
end {} จัด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

กล้องโทรทรรศน์ชุดจากวิกิพีเดีย , สารานุกรมฟรีในคณิตศาสตร์ , telescoping ชุดเป็นชุดที่มีบางส่วนรวมในที่สุดมีจำนวนเงื่อนไขหลังจากการยกเลิก [ 1 ] [ 2 ] ยกเลิกโดยใช้ส่วนหนึ่งของแต่ละเงื่อนไขการยกเลิกกับส่วนหนึ่งของเทอมต่อไป จะเรียกว่าวิธีการของความแตกต่างตัวอย่างเช่น ชุด{ displaystyle ผลรวม _ { n } = 2 ^ { infty } { frac { 1 } { n ( n + 1 ) } } } { { ผลรวม _ n = 1 } } ^ { infty } { frac { 1 } { n ( n + 1 ) } }( ชุดของตัวเลข pronic reciprocals สามารถเป็น{ { { displaystyle egin ชิด } { n = ผลรวม _ 1 } ^ { infty } { frac { 1 } { n ( n + 1 ) } } & { } = ผลรวม _ { n = 1 } ^ { infty } { frac ซ้าย ( { 1 } { n } } - { 1 } { frac { n } + 1 }ight ) { } & { } = ลิม _ { o n infty } ผลรวม _ { N = 1 } ^ { n } { frac ซ้าย ( { 1 } { n } } - { frac { 1 } { n } + 1 }ight ) { } & { } = ลิม _ { o N leftlbrack infty } { ซ้าย ( 1 - { frac { 1 } { 2 } }ight ) + ซ้าย ( { frac { 1 } { 2 } } - { frac { 1 } { 3 } }ight ) + cdots + ซ้าย ( { frac { 1 } { n } } - { frac { 1 } { n } + 1 }ight ) }โคมไฟฟ้าอัด { } & { } = ลิม _ { o n infty } { 1 leftlbrack + ซ้าย ( - { frac { 1 } { 2 } } + { frac { 1 } { 2 } }ight ) + ซ้าย ( - { frac { 1 } { 3 } } + { frac { 1 } { 3 } }ight ) + cdots + ซ้าย ( - { frac { 1 } { n } } + { frac { 1 } { n } }ight ) - { frac { 1 } { n } + 1 } }โคมไฟฟ้าอัด { } & { } = ลิม _ { o N leftlbrack infty } { 1 { frac { 1 } { n } + 1 } }โคมไฟฟ้าอัด = 1 . จบชิด } } } { { จัด } eginsum_ { n = 1 } ^ infty frac { 1 } { n ( n + 1 ) } & { } = sum_ { n = 1 } ^ infty ซ้าย ( frac { 1 } { n } - frac { 1 } { n } + 1ight )& { } { } { n } = lim_ oinfty sum_ { n } = 1 ^ n ซ้าย ( frac { 1 } { n } - frac { 1 } { n } + 1ight )& { } { } { n } = lim_ oinfty leftlbrack { ซ้าย ( 1 - frac { 1 } { 2 }ight ) + ซ้าย ( frac { 1 } { 2 } - { 1 } { 3 } fracight ) + cdots + ซ้าย ( frac { 1 } { n } - frac { 1 } { n } + 1ight ) }โคมไฟฟ้าอัด & { } { } { n } = lim_ oinfty leftlbrack { 1 + ซ้าย ( - frac { 1 } { 2 } + { 1 } { 2 } fracight ) + ซ้าย ( - frac { 1 } { 3 } + { 1 } { 3 } fracight ) + cdots + ซ้าย ( - frac { 1 } { n } + frac { 1 } { n }ight ) - frac { 1 } { n } + 1 }โคมไฟฟ้าอัด & { } { } { n } = lim_ oinfty leftlbrack { 1 - frac { 1 } { n } + 1 }โคมไฟฟ้าอัด = 1จบ { จัด }