FIG. 3 (color online). (a) Particle

FIG. 3 (color online). (a) Particle trajectories followed over five periods of the shaker oscillations at a ¼ 1:6 g and f0 ¼ 60 Hz in a
8 8 cm2 field of view. (b) Wave number spectra of the horizontal kinetic energy at different levels of the vertical acceleration
(a ¼ 0:7, 1.2, and 1.6 g) and f0 ¼ 60 Hz. (c) Kinetic energy of the flow Eo versus vertical acceleration a. The gray bar indicates the
threshold of parametric instability.

Kolmogorov-Kraichnan theory power law of EðkÞ /
k
5=3 at wave numbers k  1500 m
1. At higher wave
numbers, k  1500 m
1, spectra are somewhat steeper
than expected from the direct enstrophy cascade fit of
k
3, probably due to higher damping at large wave numbers.
If we define the turbulence forcing wave number from
the position of the kink on the turbulence spectrum, e.g.,
kf 1550 m
1 at 60 Hz [Fig. 3(b)], it appears that the
turbulence forcing wave number is roughly twice that of
the surface elevation wave number [Fig. 2(c)]. The energy
injection scale for the horizontal particle transport is thus
related to the oscillon size, which is about half of a period
of the Faraday wave.
The kinetic energy of the horizontal flow can be estimated
as E0 ¼ Rkf
klow EðkÞdk. Here, klow is the lowest wave
number determined by the field of view. In Fig. 3(c), E0 is
shown as a function of the vertical acceleration a. By
changing the vertical acceleration from 0.7 to 2.4 g, we
can vary the kinetic energy in the flow by over 2 orders of
magnitude.
Similar measurements were performed at several frequencies
of the vertical vibrations: 30, 45, and 60 Hz
[Fig. 4(a)]. A k
5=3 power law is consistently observed in
the energy spectra at lower wave numbers. A distinct kink
is present in all spectra, and it is associated with the forcing
wave number. The turbulence forcing wave number kf
decreases with the decrease in frequency, in accordance
with the capillary-gravity wave dispersion relation. A
k
5=3 range in the horizontal velocity spectra is consistent
with the Kolmogorov-Kraichnan theory.
An important feature of 2D turbulence is the presence of
the inverse energy cascade, or the transfer of energy from
smaller to larger scales in the inertial range rf

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

3 FIG. (ออนไลน์สี) (ก) อนุภาค trajectories ตามห้าระยะแกว่งเชคเกอร์ที่เป็น g 1:6 และ f0 ¼¼ 60 Hz ในการ8 8 cm2 มุม (ข) แรมสเป็คตราเลขคลื่นพลังงานจลน์แนวนอนในระดับต่าง ๆ ของความเร่งในแนวตั้ง(¼ 0:7, 1.2 และ 1.6 g) และ f0 ¼ 60 Hz. (c) พลังงานจลน์ของกระแสอีโอเมื่อเทียบกับความเร่งแนวตั้ง แสดงแถบสีเทาขีดจำกัดของความไม่แน่นอนพาราเมตริกกฎหมายพลังงานทฤษฎีน่าเป็น Kraichnan E ðkÞ /k 5 = 3 ที่เลขคลื่น k 1500 m 1 ที่คลื่นสูงหมายเลข k 1500 m 1 แรมสเป็คตราจะค่อนข้างชันกว่าที่คาดไว้จากการ enstrophy โดยตรงทั้งหมดพอดีk 3 ท่องสูง damping คลื่นจำนวนมากถ้าเรากำหนดบังคับเลขคลื่นจากเหตุการณ์ความวุ่นวายตำแหน่งของ kink บนความวุ่นวายสเปกตรัม เช่นkf 1550 m 1 ที่ 60 Hz [Fig. 3(b)], จะปรากฏขึ้นความปั่นป่วนที่บังคับคลื่นจำนวนเป็นประมาณสองเท่าของการยกผิวคลื่นเลข [Fig. 2(c)] พลังงานขนาดฉีดสำหรับการขนส่งอนุภาคแนวนอนจึงที่เกี่ยวข้องกับการ oscillon มีขนาดประมาณครึ่งหนึ่งของระยะเวลาของคลื่นที่ฟาราเดย์พลังงานจลน์ของกระแสแนวความเป็น E0 ¼ Rkfklow E ðkÞdk ที่นี่ klow เป็นคลื่นต่ำสุดหมายเลขที่ถูกกำหนด โดยฟิลด์มุมมอง Fig. 3(c), E0 เป็นแสดงเป็นฟังก์ชันของอ.เร่งแนวตั้งโดยเปลี่ยนความเร่งแนวตั้งจาก 0.7 2.4 g เราสามารถเปลี่ยนพลังงานจลน์ในการไหลตามสั่งกว่า 2ขนาดดำเนินคล้ายวัดที่ความถี่ต่าง ๆของการสั่นสะเทือนตามแนวตั้ง: 30, 45 และ 60 Hz[Fig. 4(a)] อย่างสม่ำเสมอมีสังเกตกฎหมายพลังงาน k 5 = 3 ในแรมสเป็คตราพลังงานที่เลขคลื่นต่ำ Kink หมดนำเสนอในแรมสเป็คตราทั้งหมด และเชื่อมโยงกับการบังคับหมายเลขคลื่น ความวุ่นวายที่บังคับ kf เลขคลื่นลดลง ด้วยการลดลงของความถี่ ในมีความสัมพันธ์ทางแพร่กระจายคลื่นแรงโน้มถ่วง Ak 5 = 3 ช่วงในแรมสเป็คตราความเร็วแนวนอนมีความสอดคล้องมีทฤษฎีที่น่าเป็น Kraichnanคุณลักษณะสำคัญของความวุ่นวาย 2D เป็นของทั้งหมดพลังงานผกผัน หรือโอนย้ายของพลังงานจากเล็กลงเพื่อปรับขนาดใหญ่ในการ inertial ช่วง rf วิธีการพิสูจน์การมีอยู่ของพลังงานผกผันโดยตรงทั้งหมดคือการ คำนวณความเร็วเวลา 3ทีผ่าน r ระยะในขั้นตอนการ: vðrÞ ¼vðl þ rÞ vðlÞ ขณะที่สามสั่ง S3L ¼3i vLðrÞ h½ (ที่ดัชนี L อ้างถึงในระยะยาวความเร็วประกอบกับ r และวงเล็บแองกูลาร์แสดงการหาค่าเฉลี่ยผ่าน l ตำแหน่งได้ทั้งหมดภายในการเกี่ยวข้องกับกระแสฟิลด์ และ ใน เวลา realizations มาก)ฟลักซ์สเปกตรัมพลังงาน "ผ่านความสัมพันธ์ทางไหลน่าเป็นในช่วงของความวุ่นวาย 2D inertial อ่านความสัมพันธ์นี้เป็น [17,21]10-910-810-710-610-5102 103Ev(k) (m3s-2)k (m-1)1.6g1.2g0.7gkfk-5/3(b)10-610-510-410-30.5 1 1.5 2E0 (m2.s-2)(g)(c)(a)3 FIG. (ออนไลน์สี) (ก) อนุภาค trajectories ตามห้าระยะแกว่งเชคเกอร์ที่เป็น g 1:6 และ f0 ¼¼ 60 Hz ในการ8 8 cm2 มุม (ข) แรมสเป็คตราเลขคลื่นพลังงานจลน์แนวนอนในระดับต่าง ๆ ของความเร่งในแนวตั้ง(¼ 0:7, 1.2 และ 1.6 g) และ f0 ¼ 60 Hz. (c) พลังงานจลน์ของกระแสอีโอเมื่อเทียบกับความเร่งแนวตั้ง แสดงแถบสีเทาขีดจำกัดของความไม่แน่นอนพาราเมตริก010-52.10 -50 0.02 0.04 0.06S3L (m3 s-3)r (m)10-810-710-610-5100 1000เอก (m3/s2)k (m-1)k-5/3 (a)(b)4 FIG. (ออนไลน์สี) (ก) พลังงานคลื่นในคลื่นพื้นผิวขับเคลื่อนความปั่นป่วนที่ความถี่ต่าง ๆ (30, 45 และ 60 Hz)และ ที่ supercriticalities เหมือนกัน สีแถบแนวตั้งแสดงการบังคับช่วง (ข) สามเวลาความเร็วระยะยาวไปทางวัด f0 ¼ 30 Hz ที่แตกต่างกัน supercriticalities ¼ 1ða ¼ 0:4 gÞ และ¼ 2ða ¼ 0:6 gÞประชาสัมพันธ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

มะเดื่อ. 3 (สีออนไลน์) (ก) ตามวิถีของอนุภาคกว่าห้ารอบระยะเวลาของการสั่นเขย่าที่¼ 1: 6 กรัมและ F0 ¼ 60 เฮิร์ตซ์ใน
8 8 cm2 มุมมอง (ข) จำนวนสเปกตรัมคลื่นลูกใหม่ของพลังงานจลน์ในแนวนอนในระดับที่แตกต่างกันของการเร่งความเร็วในแนวตั้ง
(ก¼ 0: 7, 1.2 และ 1.6 กรัม) และ F0 ¼ 60 เฮิร์ตซ์ (ค) พลังงานจลน์ของการไหล Eo เมื่อเทียบกับการเร่งความเร็วแนวตั้ง
แถบสีเทาหมายถึงเกณฑ์ของความไม่แน่นอนพารา. Kolmogorov-Kraichnan ทฤษฎีอำนาจกฎหมายของอีðkÞ / k? 5 = 3 ที่ตัวเลขคลื่น K? 1500 เมตร 1 คลื่นที่สูงกว่าตัวเลข K? 1500 เมตร? 1, สเปกตรัมที่ค่อนข้างสูงชันกว่าที่คาดไว้จากน้ำตกenstrophy ตรงพอดีของk? 3 อาจเป็นเพราะการทำให้หมาด ๆ ที่สูงขึ้นที่ตัวเลขคลื่นขนาดใหญ่. ถ้าเรากำหนดความวุ่นวายบังคับจำนวนคลื่นจากตำแหน่งของหงิกงอบนคลื่นความถี่ความวุ่นวายที่เช่นkf 1550 ม. 1 ที่ 60 เฮิร์ตซ์ [รูป 3 (ข)] ปรากฏว่าความวุ่นวายบังคับจำนวนคลื่นคือประมาณสองเท่าของจำนวนคลื่นสูงพื้นผิว[รูป 2 (c)] พลังงานขนาดฉีดสำหรับการขนส่งอนุภาคแนวนอนจึงเป็นที่เกี่ยวข้องกับขนาดoscillon ซึ่งเป็นประมาณครึ่งหนึ่งของระยะเวลาของคลื่นลูกเดย์. พลังงานจลน์ของการไหลในแนวนอนสามารถประมาณเป็น E0 ¼ RKF klow อีðkÞdk นี่ klow เป็นคลื่นต่ำสุดจำนวนที่กำหนดโดยด้านการดู ในรูป 3 (ค) E0 จะแสดงให้เห็นว่าการทำงานของการเร่งความเร็วในแนวตั้งได้ โดยการเปลี่ยนอัตราเร่งในแนวตั้ง 0.7-2.4 กรัมเราสามารถแตกต่างกันพลังงานจลน์ในการไหลโดยกว่า2 คำสั่งของขนาด. วัดที่คล้ายกันดำเนินการในหลายความถี่ของการสั่นสะเทือนในแนวตั้ง: 30, 45, และ 60 เฮิร์ตซ์ [รูป 4 (ก)] เค? 5 = 3 อำนาจกฎหมายเป็นที่สังเกตอย่างต่อเนื่องในสเปกตรัมพลังงานคลื่นที่ตัวเลขที่ต่ำกว่า หงิกงอที่แตกต่างกันอยู่ในสเปกตรัมทั้งหมดและมีความเกี่ยวข้องกับการบังคับให้จำนวนคลื่น ความวุ่นวายบังคับ kf จำนวนคลื่นจะลดลงตามการลดลงของความถี่ตามที่มีความสัมพันธ์กับการกระจายตัวของเส้นเลือดฝอยคลื่นแรงโน้มถ่วง k? 5 = 3 ช่วงในสเปกตรัมความเร็วในแนวนอนมีความสอดคล้องกับทฤษฎีKolmogorov-Kraichnan. คุณลักษณะที่สำคัญของความวุ่นวาย 2D คือการปรากฏตัวของน้ำตกพลังงานผกผันหรือการโอนพลังงานจากเล็กเกล็ดขนาดใหญ่ในช่วงเฉื่อยRF


































วิธีโดยตรงที่จะพิสูจน์การดำรงอยู่ของพลังงานผกผันที่น้ำตกคือการคำนวณช่วงเวลาที่สามของความเร็วเพิ่มขึ้นทั่วระยะทางr ในการไหล: vðrÞ¼ VDL þ RTH? vðlÞ ขณะที่สามเพื่อ S3L ¼h½? vLðrÞ? 3i (ที่ดัชนี L หมายถึงยาวส่วนประกอบความเร็วที่เกี่ยวกับอาร์และวงเล็บมุมแสดงค่าเฉลี่ยมากกว่าตำแหน่งที่เป็นไปได้ทั้งหมดลิตรภายในสนามการไหลและในเวลากว่าความเข้าใจอีกมากมาย) คือ ที่เกี่ยวข้องกับฟลักซ์พลังงานผี"ผ่านทางความสัมพันธ์ของฟลักซ์ Kolmogorov. ในช่วงเฉื่อยของความวุ่นวาย 2D ความสัมพันธ์นี้อ่านเป็น [17,21] 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 102 103 Ev (k) (m3 s -2) k (m-1) 1.6G 1.2G 0.7g k ฉk -5/3 (ข) 10-6 10-5 10-4 10-3 0.5 1 1.5 2 E0 (m2 .s- 2) (ที่ช) (ค) (ก).. มะเดื่อ 3 (สีออนไลน์) (ก) ลูกทีมของอนุภาคตามกว่าห้ารอบระยะเวลาของการสั่นเขย่าที่¼ 1: 6 กรัมและ F0 ¼ 60 เฮิร์ตซ์ใน 8 8 cm2 มุมมอง (ข) สเปกตรัมจำนวนคลื่นลูกใหม่ของพลังงานจลน์ในแนวนอนในระดับที่แตกต่างกันของการเร่งความเร็วในแนวตั้ง. (ก¼ 0: 7, 1.2 และ 1.6 กรัม) และ F0 ¼ 60 เฮิร์ตซ์ (c) พลังงานจลน์ของการไหล Eo ได้. เมื่อเทียบกับการเร่งความเร็วแนวตั้ง. แถบสีเทาหมายถึงเกณฑ์ของความไม่แน่นอนพารา. 0 10-5 2.10 -5 0 0.02 0.04 0.06 S3L (m3 s -3) อาร์ (เมตร) 10-8 10-7 10-6 10-5 100 1000 เอก (m3 / s2) k (m-1) k-3/5 (ก) (ข) มะเดื่อ 4 (สีออนไลน์) (ก) สเปกตรัมพลังงานคลื่นในพื้นผิวที่ขับเคลื่อนด้วยความวุ่นวายที่ความถี่ที่แตกต่างกัน(30, 45, และ 60 เฮิร์ตซ์) และ supercriticalities ที่คล้ายกัน สีแถบแนวตั้งแสดงช่วงที่บังคับให้ (ข) ขณะที่สามของความเร็วยาวเพิ่มขึ้นทีละวัดF0 ¼ 30 เฮิร์ตซ์ที่แตกต่างกัน supercriticalities ¼1ða¼ 0: 4 GTH และ¼ 2DA ¼ 0: 6 GTH. ประชาสัมพันธ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

รูปที่ 3 ออนไลน์ ( สี ) ( 1 ) อนุภาคตามวิถีมากกว่าห้ารอบระยะเวลาของการเขย่าการสั่นที่¼ 1 : 6 กรัมละ¼ 60 Hz ใน
8 CM2 ฟิลด์ของมุมมอง ( ข ) เลขคลื่นอินฟราเรดสเปกตรัมของพลังงานจลน์แนวนอนในระดับที่แตกต่างกันของ
เร่งแนวตั้ง ( ¼ 0:7 , 1.2 และ 1.6 กรัม และ¼ละ 60 เฮิรตซ์ ( c ) พลังงานจลน์ของการไหลในแนวตั้งออเมื่อเทียบกับความเร่ง aแถบสีเทา พบว่าเกณฑ์ของพารามิเตอร์ความ


แอนเดอร์สัน kraichnan ทฤษฎีอำนาจกฎหมายของ E  ð K Þ /
5 K
= 3 ที่คลื่นหมายเลข K  1500 เมตร
1 สูงกว่าตัวเลขที่คลื่น
, K  1500 เมตร
1 นี้จะค่อนข้างชัน
กว่าที่คาดไว้จาก enstrophy ตรงน้ำตกพอดี
3 K
คงเนื่องจากความหน่วงที่ตัวเลขสูงกว่าคลื่นขนาดใหญ่ .
ถ้าเรานิยามความบังคับเลขคลื่นจาก
ตำแหน่งของตำหนิในความคลื่นความถี่ เช่น
KF 1550 m
1 ที่ 60 Hz [ รูปที่ 3 ( B ) ] พบว่า การบังคับให้เลขคลื่น

เป็นประมาณสองเท่าของผิวสูง เลขคลื่น [ รูปที่ 2 ( c ) ] แบบฉีดสำหรับการขนส่งอนุภาคพลังงาน

แนวนอนจึงเกี่ยวข้องกับ oscillon ขนาดซึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของระยะเวลา

ของคลื่น ฟาราเดย์พลังงานจลน์ของการไหลในแนวนอน สามารถประเมินเป็น¼ rkf E0

klow E  ð K Þ DK ที่นี่มีคลื่น klow สุด
เลขที่กำหนดเขตของมุมมอง ในรูปที่ 3 ( C ) , E0 คือ
แสดงเป็นฟังก์ชันของความเร่งในแนวตั้งก. โดย
เปลี่ยนความเร่งในแนวดิ่งจาก 0.7 2.4 G เรา
สามารถเปลี่ยนพลังงานจลน์ในการไหลโดยมากกว่า 2

สั่งขนาดการวัดที่คล้ายกันมีการปฏิบัติที่หลายความถี่ของการสั่นในแนวดิ่ง
: 30 , 45 และ 60 Hz
[ รูปที่ 4 ( a ) ] K
5 = 3 อำนาจกฎหมายอย่างต่อเนื่อง พบในช่วงที่คลื่นพลังงาน
เลขล่าง เล่นเป็น
แตกต่างมีอยู่ในทุกสเปกตรัม และมันเกี่ยวข้องกับการบังคับให้
คลื่นหมายเลข ความวุ่นวายให้เลขคลื่น KF
ลดกับลดความถี่สอดคล้อง
ด้วยแรงโน้มถ่วงฝอยคลื่นกระจายความสัมพันธ์ a
K
5 = 3 ช่วงในช่วงความเร็วแนวนอน สอดคล้องกับทฤษฎีเปลี่ยนแปลง kraichnan
.
คุณสมบัติที่สำคัญของ 2D ความวุ่นวายคือการปรากฏตัวของ
น้ำตกพลังงานผกผันหรือการถ่ายเทพลังงานจาก
เล็กเกล็ดขนาดใหญ่ในช่วงแบบ RF < r < rlow .
วิธีตรง เพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของ
พลังงานผกผันน้ำตกจะคำนวณช่วงเวลาที่สามของความเร็ว
เพิ่มขึ้นเป็นระยะทาง r ในการ  V ð R Þ¼
v ðผมþ R Þ
V ðผมÞ . ในช่วงเวลา 2 s3l ¼
H ½  VL ð R Þ  3I ( ซึ่งดัชนีผมหมายถึงความเร็วส่วนประกอบตามยาว
ด้วยความเคารพ r และเชิงมุมวงเล็บ
แสดงเฉลี่ยกว่าเป็นไปได้ทั้งหมดภายในตำแหน่ง L
สนามการไหล และ ในเวลากว่าหลาย realizations ) เกี่ยวข้องกับ
สเปกตรัมพลังงานไหล " ผ่านการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ .
ในช่วงแบบ 2D ความวุ่นวายความสัมพันธ์นี้อ่าน
[ ]

เป็น 17,21 10-9 10-8



10-7 สามารถ 10-5 102 103 EV

( k ) ( M3
s
2 )
k ( M - 1 )


1.2g 1.6 G 0.7g
k
f
k
- 5 / 3
( B )



10-3 สามารถ 10-5 10-4 0.5 1 1.5 2 E0

( M2
. S - 2 )
( g )
( C )
( )
รูปที่ 3 ออนไลน์ ( สี ) ( 1 ) อนุภาคตามวิถีมากกว่าห้ารอบระยะเวลาของการสั่นการเขย่าที่¼ 16 กรัมละ¼ 60 Hz ใน
8 CM2 ฟิลด์ของมุมมอง ( ข ) เลขคลื่นอินฟราเรดสเปกตรัมของพลังงานจลน์แนวนอนในระดับที่แตกต่างกันของ
เร่งแนวตั้ง ( ¼ 0:7 , 1.2 และ 1.6 กรัม และ¼ละ 60 เฮิรตซ์ ( c ) พลังงานจลน์ของการไหลออ กับ แนวตั้ง เร่ง . แถบสีเทา พบว่าเกณฑ์ของพารามิเตอร์ความ
.
0
10-5
2.10 - 5
0
s3l 0.02 0.04 0.06 ( m3 S
3
) r ( M )
10-8



10-7 สามารถ 10-5100 1000
EK ( M3
/ S2
)
k ( M - 1 / 3 k-5 )
( )
( B )
4 ออนไลน์ ( ภาพสี ) ( ก ) สเปกตรัมพลังงานในคลื่นพื้นผิว
ขับเคลื่อนความวุ่นวายที่ความถี่ที่แตกต่างกัน ( 30 , 45 และ 60 Hz ) supercriticalities
และที่คล้ายกัน สีแถบแนวตั้งแสดง
บังคับช่วง ( ข ) ช่วงเวลาที่สามของความเร็วที่เพิ่มขึ้นที่ละวัดตามยาว
¼ 30 Hz ที่แตกต่างกัน supercriticalities
¼ 1 ðเป็น¼ 0:4 กรัมÞและ¼ðเป็น¼ 0 : 26 g Þ .
พีอาร์