Let a, b, c be fixed relatively pri

Let a, b, c be fixed relatively prime positive integers greater than one. The
exponential Diophantine equation
ax + by = cz (1)
in positive integers x, y, z has been studied by a number of authors. In 1956,
Sierpi´nski[12] showed that the equation 3x + 4y = 5z has only the positive
integer solution (x, y, z) = (2, 2, 2). Je´smanowicz[7] conjectured that if a, b, c
are Pythagorean numbers, i.e., positive integers satisfying a2 + b2 = c2, then
(1) has only the positive integer solution (x, y, z) = (2, 2, 2). As an analogue of
Je´smanowicz’ conjecture, the author proposed that if a, b, c, p, q, r are fixed
positive integers satisfying ap+bq = cr with a, b, c, p, q, r ≥ 2 and gcd(a, b) = 1,
then (1) has only the positive integer solution (x, y, z) = (p, q, r) except for
(a, b, c) = (2, 7, 3) and (a, b, c) = (2, 2k−1, 2k+1), where k is a positive integer
with k ≥ 2. This conjecture has been proved to be true in many special cases
(cf. Terai[13], Cao[2] and Le[9].) This conjecture, however, is still unsolved
See also He-Togbe[4], [5] and Miyazaki-Togbe[11] for papers on some families
of other exponential Diophantine equation (1), where a, b, c are expressed in
terms of m.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ให้, B, C ได้รับการแก้ไขค่อนข้าง integers บวกมากกว่าหนึ่ง
สม Diophantine ชี้แจง
ขวาน + โดย = CZ (1)
ในจำนวนเต็มบวก x, y, z ได้รับการศึกษาจากจำนวนของผู้เขียน ในปี 1956
Sierpi'nski [12] แสดงให้เห็นว่าสมการ 3x + 4Y = 5z มีเพียงบวก
การแก้ปัญหาจำนวนเต็ม (x, y, z) = (2, 2, 2) Je'smanowicz [7] สันนิษฐานว่าถ้า b, c
เป็นตัวเลขพีทาโกรัสคือจำนวนเต็มบวกพอใจ a2 + b2 = c2 แล้ว
(1) มีเพียงการแก้ปัญหาจำนวนเต็มบวก (x, y, z) = (2, 2, 2) ในฐานะที่เป็นอะนาล็อกของ
การคาดเดา Je'smanowicz 'ผู้เขียนเสนอว่าถ้า b, c, p, q, อาร์ได้รับการแก้ไข
จำนวนเต็มบวกพอใจ AP + BQ = CR กับ b, c, p, q, อา≥ 2 และ GCD (b) = 1
แล้ว (1) มีเพียงการแก้ปัญหาจำนวนเต็มบวก (x, y, z) = (p, q, R) ยกเว้น
(b, c) = (2, 7, 3) และ (b, c) = (2, 2k-1 2k + 1) ที่ k เป็นจำนวนเต็มบวก
กับ k ≥ 2. การคาดเดานี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริงในกรณีพิเศษมากมาย
(cf Terai [13] เฉา [2] และเลอ [9].) การคาดเดานี้ แต่ยังคงเป็นปริศนา
ดูเพิ่มเติมเขา-Togbe [4] [5] และมิยาซากิ-Togbe [11] สำหรับเอกสารในบางครอบครัว
ของชี้แจงอื่น ๆ สม Diophantine (1) ที่ b, c จะแสดงใน
แง่ของม.

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ให้ A , B , C เป็นนายกรัฐมนตรีค่อนข้างคงที่บวกจำนวนเต็มที่มากกว่าหนึ่ง สมการไดโอแฟนไทน์

( ขวานโดย = CZ ( 1 )
ในบวกจำนวนเต็ม x , y , z ได้ถูกศึกษา โดยตัวเลขของผู้เขียน ในปี 1956 ,
sierpi ใหม่ nski [ 12 ] พบว่าสมการ 3x 4y = 5z มีแต่บวก
เต็มโซลูชั่น ( x , y , z ) = ( 2 , 2 , 2 ) เจ๊ใหม่ smanowicz [ 7 ] conjectured ถ้า A , B , C
เป็นพีทาโกรัส ตัวเลข เช่นเต็มบวกภิรมย์ A2 B2 = C2 แล้ว
( 1 ) มีเฉพาะจำนวนเต็มบวกแก้ปัญหา ( x , y , z ) = ( 2 , 2 , 2 ) เป็นอะนาล็อกของ
เจ๊ใหม่ smanowicz ' เดา ผู้เขียนได้เสนอว่า ถ้า A , B , C , P , Q , R จะคงที่
เต็มบวกภิรมย์ AP Bq = CR กับ A , B , C , P , Q , R ≥ 2 และ LCD ( a , b ) = 1
( 1 ) มีเฉพาะจำนวนเต็มบวกแก้ปัญหา ( x , y , z ) = ( p , q , r ) ยกเว้น
( A , B , C ) = ( 27 , 3 ) และ ( A , B , C ) = ( 2 , 2 K − 1 , 2 , 1 ) โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มบวกที่มี≥ k
2 ข้อความคาดการณ์นี้ถูกพิสูจน์ว่าเป็นจริงในกรณีพิเศษมากมาย
( CF . ทีไร [ 13 ] . [ 2 ] และ Le [ 9 ] ) การคาดเดานี้ อย่างไรก็ตาม ยังติดใจ
ยังเห็นเขา togbe [ 4 ] , [ 5 ] และ มิยาซากิ togbe [ 11 ] ในบางครอบครัว
ของเอกสาร สมการไดโอแฟนไทน์แบบอื่น ( 1 ) ที่ A , B , C )
แง่ของม.