Proof #63This is another proof by F

Proof #63
This is another proof by Floor van Lamoen; Floor has been led to the proof via Bottema's theorem. However, the theorem is not actually needed to carry out the proof.



In the figure, M is the center of square ABA'B'. Triangle AB'C' is a rotation of triangle ABC. So we see that B' lies on C'B''. Similarly, A' lies on A''C''. Both AA'' and BB'' equal a + b. Thus the distance from M to A''C'' as well as to B'C' is equal to (a + b)/2. This gives

Area(AMB'C') = Area(MAC') + Area(MB'C')
= (a + b)/2 · b/2 + (a + b)/2 · a/2
= a²/4 + ab/2 + b²/4.
But also:

Area(AMB'C') = Area(AMB') + Area(AB'C')
= c²/4 + ab/2.
This yields a²/4 + b²/4 = c²/4 and the Pythagorean theorem.

The basic configuration has been exploited by B. F. Yanney and J. A. Calderhead (Am Math Monthly, v.4, n 10, (1987), 250-251) to produce several proofs based on the following diagrams



None of their proofs made use of the centrality of point M.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐาน #63นี่คือหลักฐานอื่นตามพื้นตู้ Lamoen นำชั้นเพื่อกันการผ่านของ Bottema ทฤษฎีบท อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทไม่จริงต้องดำเนินการพิสูจน์ในรูป M คือ ศูนย์กลางของตาราง ABA'B'. สามเหลี่ยม AB'C' เป็นการหมุนเวียนของสามเหลี่ยม ABC ดังนั้นเราเห็นของ B ที่อยู่บน C'B'' ในทำนองเดียวกัน A' อยู่บน ''ซี '' AA ทั้ง '' และ BB'' เท่ากับ + b ดังนั้นระยะทางจาก M ไปเป็น ''ซี '' เช่นกับ B'C' เท่ากับ (การ + b) / 2 ซึ่งทำให้Area(AMB'C') = Area(MAC') + Area(MB'C') = (เป็น + b) / 2 · b/2 + (เป็น + b) / 2 · a/2 = a²/4 ab/2 + b²/4แต่ยัง:Area(AMB'C') = Area(AMB') + Area(AB'C') = c²/4 + ab/2ทำให้ a²/4 + b²/4 = c²/4 และทฤษฎีบทพีทาโกรัสตั้งค่าคอนฟิกพื้นฐานได้รับประโยชน์ โดย B. F. Yanney และ J. A. Calderhead (น.คณิตศาสตร์เดือน v.4, n 10, (1987), 250-251) เพื่อจัดทำหลักฐานต่าง ๆ ตามไดอะแกรมต่อไปนี้ ไม่ใช้ทำปรู๊ฟของเอกภาพของจุด M

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลักฐาน # 63
นี้เป็นหลักฐานอื่นโดยชั้นของ Lamoen; ชั้นที่ได้รับนำไปสู่การพิสูจน์ทฤษฎีบทผ่าน Bottema ของ แต่ทฤษฎีบทไม่จำเป็นจริง ๆ ที่จะดำเนินการพิสูจน์. ในภาพ, M เป็นศูนย์กลางของตาราง ABA'B ' สามเหลี่ยม AB'C คือการหมุนของรูปสามเหลี่ยมเอบีซี ดังนั้นเราจะเห็นว่า B 'อยู่บน C'B' ' ในทำนองเดียวกัน A 'อยู่บน A''C' ' ทั้งสองเอเอ '' และบีบี '' เท่ากับ b + ดังนั้นระยะทางจาก M เพื่อ A''C '' เช่นเดียวกับการ B'C 'เท่ากับ (A + B) / 2 นี้จะช่วยให้พื้นที่ (AMB'C) = พื้นที่ (MAC) + พื้นที่ (MB'C) = (A + B) / 2 · b / 2 + (A + B) / 2 · A / 2 = รฒร / 4 + AB / 2 + b² / 4. แต่ยัง: พื้นที่ (AMB'C ') = พื้นที่ (AMB) + พื้นที่ (AB'C'). = c² / 4 + AB / 2 นี้ผลตอบแทนถัวเฉลี่ยรฒร / 4 + b² / 4 = c² / 4 และพีทาโกรัสทฤษฎีบท. การกำหนดค่าขั้นพื้นฐานได้รับประโยชน์โดย BF Yanney และ JA Calderhead (Am คณิตศาสตร์รายเดือน v.4, n ที่ 10 (1987), 250-251) ในการผลิตหลายพิสูจน์บนพื้นฐานของ แผนภาพต่อไปนี้ไม่มีการพิสูจน์ของพวกเขาใช้ประโยชน์จากศูนย์กลางของจุดเมตร

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หลักฐาน# 63
นี่คือหลักฐานอีกชั้น รถตู้ lamoen ; พื้นได้นำไปสู่หลักฐานทาง bottema ทฤษฎีบทของ อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีนี้ไม่ได้จริง ๆต้องมีหลักฐาน



ในรูปคือศูนย์ของตาราง aba'b ' สามเหลี่ยม ab'c ' คือการหมุนของรูปสามเหลี่ยม ABC . ดังนั้นเราจะเห็นว่า B ' อยู่ใน c'b ' ' เหมือนกับ , ' อยู่ใน ''c ' ' ทั้ง AA ' ' และ ' ' เท่ากับ BB Bดังนั้นระยะทางจาก M เป็น ''c ' ' รวมทั้ง b'c ' เท่ากับ ( B ) / 2 นี้จะช่วยให้พื้นที่ ( amb'c

' ) = พื้นที่ ( Mac ) พื้นที่ ( mb'c ' )
= ( b ) / 2 ด้วย b / 2 ( B ) / 2 ด้วย / พนักงานขาย / 4 = 2
2 B AB / พนักงานขาย / 4
:

พื้นที่ ( แต่ยัง amb'c ' ) = พื้นที่ ( ไทย ) พื้นที่ ( ab'c ' )
= c พนักงานขาย / 4 AB / 2
4 B นี้ทำให้พนักงานขาย / พนักงานขาย / 4 = c พนักงานขาย / 4 และทฤษฎีบทพีทาโกรัส .

การตั้งค่าพื้นฐานได้ถูกโจมตีโดย B . F . yanney และ J . A .calderhead ( เป็นเลขรายเดือน v.4 N 10 ( 1987 ) , 250-251 ) เพื่อผลิตหลายหลักฐานตามแผนภาพต่อไปนี้



ไม่มีของพวกเขาพิสูจน์ได้ใช้ความเป็นศูนย์กลางของจุด M