It was the wide and astonishing app

It was the wide and astonishing applicability of the discipline that attracted the bulk of the mathematical researchers of the day, with the result that peppers were turned out in great profusion with little concern regarding the very unsatisfactory foundations of the subject. The processes employed were justified largely on the ground that they worked, and it was in until the eighteenth century had almost elapsed, after a number of absurdities and contradictions had crept into mathematics, that mathematicians flit it was essential that the basis of their work be logically examined and rigorously established. The painstaking effort to place analysis on a logically rigor roust foundation was a natural reaction to the Pell, mell employment of intuition and formalism of the previous century. The task proved to be a dissect one, its various ramifications occupying the deter part of the next hundred years. A result of this careful work in the foundations of analysis was that it led to equally carful work in the foundations of all branches of mathematics and to the refinement of important concepts. Thus the function Idea itself had to be clarified, and such notions as limit, continuity , differentiability, and inerrability had to be very carefully and clearly defined. This task of refining the basic concepts of mathematics led, in intricate generalizations. Such concepts as space, dimension, and inerrability, to name only a few, underwent remarkable generalizations and abstraction A good part of the mathematics of the first half the twentieth century has been devoted to this sort of thing, until now generalizations and abstraction have become striking features of present-day mathematics. But some of these development have, in turn, brought about a fresh batch of paradoxical situations. The generalizations to transfinite numbers and the abstract study of sets have widened and deepened many branches of mathematics, but, at the same time, they have revealed some very disturbing paradoxes which appear to lie in the innermost depths of mathematics. Here is where we seem to be today, and it may be that the second half of the twentieth century will witness the resolution of these critical problems.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ที่หลากหลาย และทันสมัยความเกี่ยวข้องของวินัยที่ดึงดูดจำนวนมากของนักวิจัยทางคณิตศาสตร์ของวัน มีผลลัพธ์ที่ถูกเปิดออกพริกสลอนมากด้วยกังวลเล็กน้อยเกี่ยวกับมูลนิธิมากเฉย ๆ ของเรื่อง ได้ กระบวนการทำงานเป็นสิ่งที่สมควรส่วนใหญ่บนพื้นดินที่พวกเขาทำงาน และก็ในจนกระทั่งศตวรรษ eighteenth มีผ่านไปเกือบ หลังจากการไร้สาระกันก็มี crept ในคณิตศาสตร์ ที่ mathematicians flit ก็สำคัญว่า พื้นฐานของงานทางตรรกะการตรวจสอบ และทดสอบก่อตั้งขึ้น พยายามรอบคอบเพื่อวิเคราะห์การตรรกะ rigor roust มูลนิธิเป็นปฏิกิริยาธรรมชาติเพื่อ Pell จ้าง mell ของสัญชาตญาณและ formalism ศตวรรษก่อนหน้านั้น งานพิสูจน์ให้ dissect หนึ่งของ ramifications ต่าง ๆ มีภาค deter ถัดไปร้อยปี ผลของงานนี้ระวังในรากฐานของการวิเคราะห์ได้ว่า นำงานเท่าเทียมกัน carful ในรากฐานของทุกสาขาของคณิตศาสตร์ และละเอียดลออของแนวคิดที่สำคัญ ฟังก์ชันความคิดตัวเองมีเพื่อจะขึ้ และความเข้าใจดังกล่าวเป็นวงเงิน ความต่อเนื่อง differentiability และ inerrability มีการระมัดระวัง และชัดเจนกำหนด งานนี้ปรับแนวคิดพื้นฐานของวิชาคณิตศาสตร์นำ ใน generalizations ที่ซับซ้อน แนวคิดดังกล่าวเป็นพื้นที่ มิติ และ inerrability ชื่อเพียงไม่กี่ เปลี่ยน generalizations ที่โดดเด่น และส่วนคณิตศาสตร์ของครึ่งแรกในศตวรรษที่ยี่สิบที่ abstraction A ดีมีการทุ่มเทเพื่อจัดเรียงของสิ่ง จนถึงตอนนี้ generalizations abstraction ได้กลายเป็นโดดเด่นหลากหลายเหตุการณ์คณิตศาสตร์ แต่ของเหล่านี้พัฒนาได้ นำกลับ เกี่ยวกับสถานการณ์ paradoxical ชุดสด Generalizations transfinite เลขและศึกษานามธรรมชุด widened และรายสาขาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ กัน พร้อมกัน พวกเขาได้เปิดเผยบาง paradoxes รบกวนมากซึ่งปรากฏอยู่ในส่วนลึกสุดของคณิตศาสตร์ นี่คือที่เราดูเหมือนจะวันนี้ และอาจเป็นได้ว่าครึ่งหนึ่งของศตวรรษที่ยี่สิบจะเป็นพยานของปัญหาสำคัญเหล่านี้ที่สอง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

มันคือการบังคับใช้ที่กว้าง และที่น่าอัศจรรย์ของวินัยที่ดึงดูดกลุ่มของนักวิจัยทางคณิตศาสตร์ของวัน ด้วยผลที่ได้ออกมาดี พริกของเขาด้วยความกังวลเล็กน้อยเกี่ยวกับรากฐานที่ไม่น่าพอใจของเรื่อง กระบวนการที่ใช้เป็นผู้ชอบธรรมไปบนพื้นดินที่พวกเขาทำงานและมันอยู่จนถึงศตวรรษที่สิบแปดมีเกือบผ่านไปหลังจากที่จำนวนของความไร้สาระ และความขัดแย้งที่ได้พุ่งเข้าไปในคณิตศาสตร์ , นักคณิตศาสตร์ โผ มันเป็นสิ่งจำเป็นที่พื้นฐานของงานของพวกเขาจะสามารถตรวจสอบและตั้งขึ้นอย่างเข้มงวด ความพยายามอุตสาหะสถานที่การวิเคราะห์เหตุผลความรุนแรงขับไล่มูลนิธิเป็นปฏิกิริยาธรรมชาติกับเพลเมลการจ้างงานของสัญชาตญาณและแบบของศตวรรษที่ก่อนหน้านี้ งานพิสูจน์ว่าเป็นการผ่า , ramifications ของต่าง ๆมีห้ามปรามส่วนอีกร้อยปี ผลของงานนี้ระวังในรากฐานของการวิเคราะห์ที่เป็นเหตุให้ปริมาณเต็มคันรถกันทำงานในพื้นฐานของทุกสาขาของคณิตศาสตร์และการปรับแต่งของแนวคิดที่สำคัญดังนั้นความคิดการทำงานตัวเองต้องได้รับการชี้แจง และความคิด เช่น ลิมิตต่อเนื่อง differentiability และ inerrability ต้องรอบคอบ และชัดเจน . งานนี้ปรับแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ LED ในทั่วไปซับซ้อน แนวคิดดังกล่าวเป็นช่องว่าง มิติและ inerrability เพื่อชื่อเพียงไม่กี่ได้รับการทั่วไปที่น่าจับตาและนามธรรมเป็นส่วนหนึ่งที่ดีของคณิตศาสตร์ในครึ่งแรกของศตวรรษที่ยี่สิบได้รับการอุทิศเพื่อเรียงลำดับของสิ่งนี้ จนตอนนี้ ทั่วไปและนามธรรมได้กลายเป็นคุณสมบัติที่โดดเด่นของคณิตศาสตร์วันปัจจุบัน . แต่บางส่วนของเหล่านี้การพัฒนาได้ จะเอาชุดใหม่ของสถานการณ์ที่ขัดแย้ง .โดยทั่วไปตัวเลข transfinite และการศึกษาบทคัดย่อของชุดได้กว้างขึ้นมากขึ้นและหลายสาขาของคณิตศาสตร์ แต่ในเวลาเดียวกัน พวกเขาได้เปิดเผยบางอย่างรบกวนมาก ความขัดแย้งซึ่งปรากฏอยู่ในส่วนลึกสุดของคณิตศาสตร์ ที่นี่คือที่ที่เราดูเหมือนจะอยู่ในวันนี้และมันอาจเป็นได้ว่าครึ่งหลังของศตวรรษที่ยี่สิบจะเป็นพยานในความละเอียดของปัญหาที่สำคัญเหล่านี้ .