Abstract: Let Ir(Km,n) denote a r−

Abstract: Let Ir(Km,n) denote a r− crown of a complete bipartite graph Km,n
obtained by adding r hanged edges to each vertex of Km,n. Ma kejie conjectured
that 1-crown of complete bipartite graph Km,n (m ≤ n) is k− graceful graph
for k ≥ 2. The conjecture has been shown true when m = 1, 2, 3, 4 for arbitrary
n ≥ m and r ≥ 2. In this paper we discuss the k−gracefulness of r−crown
Ir(Km,n) (m ≤ n, r ≥ 2) for complete bipartite graph Km,n and prove the
conjecture when m = 5, for arbitrary n ≥ m and r ≥ 2.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทคัดย่อ: ให้แสดงมงกุฎ r− ของกราฟสองส่วนบริบูรณ์สมบูรณ์กม. Ir(Km,n) nได้ โดยการเพิ่ม r แขวนขอบจุดยอดแต่ละกม. n. Ma kejie conjecturedที่ 1 มงกุฎ ของกราฟสองส่วนบริบูรณ์สมบูรณ์กม. n (m ≤ n) คือ กราฟที่สง่างาม k−สำหรับ k ≥ 2 ข้อความคาดการณ์ได้รับการแสดงจริงเมื่อ m = 1, 2, 3, 4 โดยอำเภอใจn ≥ m และ r ≥ 2 ในเอกสารนี้ เรากล่าวถึง k−gracefulness ของ r−crownIr(Km,n) (m ≤ n, r ≥ 2) สำหรับกราฟสองส่วนบริบูรณ์สมบูรณ์กม. n และพิสูจน์การนึกเมื่อ m = 5, n ≥กำหนด m และ r ≥ 2

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทคัดย่อ: Let Ir (กม, n) หมายถึงพระมหากษัตริย์ของ ar- สมบูรณ์ฝ่ายกราฟ Km, N
ได้โดยการเพิ่มขอบ R แขวนคอจุดสุดยอดของแต่ละ Km, N Ma kejie คาดคะเนได้
ว่า 1 มงกุฎสมบูรณ์ฝ่ายกราฟ Km, N (m ≤ n) เป็นกราฟที่สง่างาม K-
สำหรับ k ≥ 2. การคาดเดาได้รับการแสดงจริงเมื่อ m = 1, 2, 3, 4 สำหรับพล
n ≥เมตร และ r ≥ 2. ในบทความนี้เราจะหารือ K-นุ่มนวลของ R-มงกุฎ
Ir (กม, n) (m ≤ n, R ≥ 2) สำหรับสมบูรณ์ฝ่ายกราฟ Km, n และพิสูจน์
การคาดเดาเมื่อ m = 5 สำหรับ พล n ≥ M และ R ≥ 2