Note that the only difference betwe

Note that the only difference between these two problems lies in the
specification of the production function. In the first case, it is convex
and invariant over time. In the second, it is concave but depends on
time through its dependence on the path K(t). I can now state the
theorem that guarantees the existence of solutions to each of these
problems.
THEOREM 1. Assume that each of U, f, and g is a continuous realvalued
function defined on a subset of the real line. Assume that U
and g are concave. Suppose that i(k) = f(k, Sk) satisfies a bound 9;(k)
c p. + k' and that g(z) satisfies the bounds 0 ? g(x) c at for real
numbers p., p, and a. Then if tp is less than the discount factor 8, PSC
has a finite-valued solution, and Pcx(K) has a finite-valued solution for
any path K(t) such that K(t) e K(O)eo'.
The proof, given in an appendix available on request, amounts to a
check that the conditions of theorem I in Romer (1986) are satisfied.
Note that if (x is less than 8 the inequality otp < 8 allows for p > 1. Thus
the socially feasible production function i can be globally convex in k,
with a marginal social product and an average social product of
knowled ge that increase without bound.
The analysis of the social planning problem PS3, in terms of a current-
valued Hamiltonian and a phase plane follows along familiar
lines (see, e.g., Arrow 1967; Cass and Shell 1976a, 1976b). Define H(k,
X) = max, U(c) + X{kg([ (k) - c]lk)}. For simplicity, assume that the
functions U, f, and g are twice continuously differentiable. The firstorder
necessary conditions for a path k(t) to be a maximum for PS,
are that there exists a path X(t) such that the system of first-order
differential equations k = D2H(k, K) and A = 8X - D IH(k, A) are
satisfied and that the paths satisfy two boundary conditions: the initial
condition on k and the transversality condition at infinity, lim,
X(t)k(t)e8- = Wt
X) Prosing the necessity of' the transversality condition for a maximization problem
that is not concave takes relatively sophisticated mathematical methods. Ekeland and

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

โปรดทราบว่าข้อแตกต่างระหว่างสองปัญหาเหล่านี้อยู่ใน การข้อมูลจำเพาะของฟังก์ชันการผลิต ในกรณีแรก มันเป็นนูนและไม่เปลี่ยนแปลงช่วงเวลา ในที่สอง เป็นเว้า แต่ขึ้นอยู่กับเวลาผ่านเส้นทาง K(t) ที่พึ่ง ฉันสามารถระบุการทฤษฎีบทที่รับประกันการมีอยู่ของโซลูชั่นเหล่านี้แต่ละปัญหาทฤษฎีบทที่ 1 สมมติว่า แต่ละ U, f และ g เป็น realvalued อย่างต่อเนื่องฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในชุดย่อยของรายการจริง สมมติว่า Uและ g มีเว้า สมมติว่า i(k) = f (k, Sk) ตรง 9;(k) ผูกซีพี + k' และ g(z) ที่เป็นไปตามขอบเขต 0 c g(x) ในตัวหมายเลข p., p และการ แล้วถ้า tp น้อยกว่าตัวส่วนลด 8, PSCมีมูลค่าจำกัด และ Pcx(K) มีค่าจำกัดสำหรับเส้นทางการ K(t) เช่นที่อี K(t) อีโอเค (โอ)'.หลักฐาน กำหนดในภาคผนวกต้อง ยอดเงินตรวจสอบเงื่อนไขทฤษฎีบทของฉันใน Romer (1986) พอใจหมายเหตุว่า ถ้า (x คือ น้อยกว่า 8 ปีทำให้ความไม่เท่าเทียมกันของ otp < 8 p > 1 ดังนั้นฟังก์ชันการผลิตเป็นไปได้สังคมได้ทั่วโลกนูนใน kกำไรสังคมผลิตภัณฑ์และผลิตภัณฑ์สังคมมีค่าเฉลี่ยของความรู้ผูก ge ที่เพิ่มไม่การวิเคราะห์สังคมวางแผนปัญหา PS3 ในปัจจุบันแบบบริษัท Hamiltonian และเครื่องบินระยะต่อไปคุ้นเคยรายการ (ดู เช่น ศร 1967 Cass และเปลือก 1976a, 1976b) กำหนด H (kX) =สูงสุด U(c) + X { kg([(k) - c] แอล) } ราย สมมุติว่าฟังก์ชัน U, f และ g ได้สอง differentiable อย่างต่อเนื่อง Firstorderเงื่อนไขจำเป็นสำหรับ k(t) เส้นทางให้ มากที่สุดสำหรับ PSว่า มีเส้นทาง X(t) ที่ระบบการสั่งครั้งแรกสมการเชิงอนุพันธ์ k = D2H (เค K) และ = 8 X - D IH(k, A) มีพอใจ และว่า เส้นทางที่ตอบสนองเงื่อนไขขอบเขตที่สอง: เริ่มต้นเงื่อนไขเงื่อนไข transversality ที่อินฟินิตี้ ริม และ kE8 k (t) (t) - x = WtX) Prosing ความจำเป็นของ ' เงื่อนไข transversality สำหรับปัญหา maximizationนั่นไม่ใช่วิธีทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างซับซ้อนจะเว้า Ekeland และ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โปรดทราบว่าแตกต่างระหว่างทั้งสองปัญหาอยู่ในคุณสมบัติของฟังก์ชั่นการผลิต
ในกรณีแรกก็เป็นที่นูนออกมาและคงที่เมื่อเวลาผ่านไป ในครั้งที่สองมันเป็นเว้า
แต่ขึ้นอยู่กับเวลาที่ผ่านการพึ่งพาเส้นทางเค(t) ตอนนี้ผมสามารถระบุทฤษฎีบทที่รับประกันการดำรงอยู่ของการแก้ปัญหาให้กับแต่ละเหล่านี้ปัญหา. ทฤษฎีบท 1. สมมติว่าแต่ละ U, F, และ g เป็น realvalued อย่างต่อเนื่องฟังก์ชั่นกำหนดไว้ในส่วนย่อยของสายจริง สมมติว่า U และ g เป็นเว้า สมมติว่าผม (k) = f (k, Sk) ตอบสนองความผูกพัน 9; (k) คพี + K 'และ g (ซี) ตอบสนองความขอบเขต 0? g (x) คที่จริงตัวเลขพี. พีและ แล้วถ้า TP น้อยกว่าปัจจัยส่วนลด 8, PSC มีทางออก จำกัด มูลค่าและ PCX (K) มีทางออก จำกัด มูลค่าสำหรับเส้นทางK ใด ๆ (t) ดังกล่าวที่ K (t) จ K (O) eo ' . หลักฐานที่กำหนดไว้ในภาคผนวกตามคำขอที่จะมีจำนวนการตรวจสอบว่าเงื่อนไขของทฤษฎีบทผมโรเมอร์ (1986) มีความพึงพอใจ. โปรดทราบว่าถ้า (x น้อยกว่า 8 OTP อสมการ <8 ช่วยให้ p> 1 ดังนั้นฟังก์ชั่นการผลิตที่เป็นไปได้ในทางสังคมที่ฉันสามารถจะนูนทั่วโลกในk, กับผลิตภัณฑ์ทางสังคมขอบและผลิตภัณฑ์เฉลี่ยทางสังคมของge knowled ที่เพิ่มโดยไม่ต้องถูกผูกไว้. การวิเคราะห์การวางแผนทางสังคมปัญหา PS3 ที่ในแง่ของรุ่นปัจจุบันมูลค่ามิลและเครื่องบินขั้นตอนดังต่อไปนี้พร้อมคุ้นเคยสาย (ดูเช่นลูกศร 1967; คาสและเชลล์ 1976a, 1976b) กำหนด H (k. X) = max, U (c) + X {กิโลกรัม ([(k) - ค] lk )}. สำหรับความเรียบง่ายคิดว่าฟังก์ชั่นU, F, และ g เป็นสองอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง. โดย firstorder เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับเส้นทาง k (t) จะเป็นสูงสุดของ PS ที่มีว่ามีเส้นทางX (t) ที่ดังกล่าว ว่าระบบของครั้งแรกที่สั่งซื้อสมการอนุพันธ์k = D2H (k, K) และ A = 8X - D IH (k, A) จะมีความพึงพอใจและว่าเส้นทางที่ตอบสนองสองเงื่อนไขขอบเขต: เริ่มต้นเงื่อนไขการ k และสภาพ transversality ที่ อินฟินิตี้ลิม X (t) k (t) = น้ำหนัก e8- X) Prosing ความจำเป็นของสภาพ transversality สำหรับปัญหาสูงสุดที่ไม่ได้เว้าใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างซับซ้อน Ekeland และ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทราบว่า ความแตกต่างระหว่างทั้งสองปัญหาอยู่ใน
สเปคของฟังก์ชันการผลิต ในกรณีแรก มันนูน และไม่เปลี่ยนแปลง
ตลอดเวลา ในประการที่สอง มันเว้าแต่ขึ้นอยู่กับ
เวลาผ่านการพึ่งพาเส้นทาง K ( t ) ตอนนี้ฉันสามารถรัฐ
ทฤษฎีบทที่รับประกันการแก้ไขแต่ละปัญหาเหล่านี้
.
ทฤษฎีบท 1 สมมติว่า แต่ละ U , F ,และ g เป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างต่อเนื่อง realvalued
ในส่วนย่อยของบรรทัดที่แท้จริง สมมติว่า U
และ G จะเว้า สมมติว่าผม ( k ) = f ( K , SK ) ตรงผูก 9 ; ( k )
c P . K ' G ( Z ) และตรงขอบเขต 0 ? g ( x ) C ที่จริง
หมายเลขหน้า , P , และ A . ถ้า TP น้อยกว่าปัจจัยส่วนลด 8 , PSC
มีมูลค่า โซลูชั่น จำกัด และ PCX ( k ) มีโซลูชั่นสำหรับ
จำกัดมูลค่าเส้นทางใด ๆเช่นที่ k ( t ) k ( t ) E K ( O ) EO ' .
หลักฐานที่ระบุในภาคผนวกตามสั่ง ยอดเงิน เพื่อตรวจสอบว่า เงื่อนไขของทฤษฎีบท
ในโรเมอร์ ( 1986 ) พอใจ .
หมายเหตุว่า ถ้า ( x น้อยกว่า 8 อสมการสนข. < P > 8 ช่วยให้ 1 . ดังนั้นสังคมเป็นไปได้
ฟังก์ชั่นการผลิตได้ทั่วโลกนูนใน K ,
กับผลิตภัณฑ์สังคมและสังคมโดยเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์
knowled GE ที่เพิ่มขึ้นโดยไม่ผูกพัน .
การวิเคราะห์การวางแผนทางสังคมปัญหา PS3 ในแง่ของปัจจุบัน -
มูลค่าแอมพลิจูดและเฟสเครื่องบินตามไปติดๆคุ้นเคย
เส้น ( ดู เช่น ลูกศร 1967 ; แคสและเปลือก 1976a 1976b , ) กําหนด H ( K ,
x ) = Max , U ( c ) x { กิโลกรัม ( [ ( K ) c - ] LK ) } สำหรับความเรียบง่าย สมมติว่าฟังก์ชัน
U , F และ G เป็นสองเท่าต่อเนื่อง Differentiable . การ firstorder
เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับเส้นทาง K ( t ) เป็นสูงสุดสำหรับ PS ,
คือว่ามีอยู่เส้นทาง x ( t ) ที่ระบบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
k = d2h ( K , K = 8 x - D ) และค่า ( K , A )
พอใจและเส้นทางการตอบสนองสองขอบ สภาพ : สภาพเริ่มต้น
บน K และขวางสภาพที่ อินฟินิตี้ ลิม
x ( t ) k ( t ) = น้ำหนัก
e8X ) prosing ความจำเป็นของ ' เงื่อนไขขวางสำหรับมีปัญหา
ที่ไม่เว้าใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างซับซ้อน ekeland และ