Consider any nonempty collection of

Consider any nonempty collection of columns of A denoted by C . Take C 1 = Cand C 2 = ∅ . Then the sum of the columns in C 1 minus the sum of the columns in C 2 will be a vector with entries 0, 1 and −1 , because in A there cannot exist more than one row corresponding to an arc between two nodes of the constraint graph and each such row has exactly two nonzero entries, a +1 and a −1 . So, by Theorem 1 the polyhedron { x ∈ R | ¯N | : l Ax u, 0 x m 1 } has only integral vertices and optimizing the linear objective in problem (14) over this polyhedron will result in an integral solution. After solving the linear programming problem (13) , we obtain an integral timetable, which we will call the energy mini- mizing timetable ( EMT ). We denote the optimal decision vector of this timetable by ¯x in the constraint graph notation and ( ¯a t i , ¯d t i ) i ∈N t∈T in the original notation. 5.
Second optimization model
In this section we modify the trip time constraints such that the total energy consumption of the final timetable is kept at the same minimum as the EMT. Then, we describe our optimization strategy aimed to maximize the utilization of regenerative energy of braking trains, and we present the second optimization model.
5.1. Keeping the total energy consumption at minimum
In any feasible timetable, if the trip times are kept to be the same as the ones obtained from the EMT, then the energy optimal speed profiles for all trains will be the same. As a result, the energy consumption associated with that timetable will remain at the same minimum as found in the EMT. So, in the second optimization problem, instead of using the trip time constraint, for every trip we fix the trip time to the value in the EMT, i.e., ∀ t ∈ T , ∀ (i, j) ∈ A t , a t j −d t i = ¯a t j −¯d t i , (15) and ∀ (i, j) ∈ ϕ, ∀ (t , t  ) ∈ B ij , a t  j −d t i = ¯a t  j −¯d t i . (16) For all other constraints, bounds are allowed to vary as described by Eqs. (3) –(8) . As a consequence of fixing all trip times, the power graph of every trip made by any train becomes known to us, since it depends on the corresponding optimal speed profile calculated in real-time by existing software ( Vlad and Tatarnikov, 2011 ), ( Howlett and Pudney, 1995 , page 285).
5.2. Maximizing the utilization of regenerative energy of braking trains
In this subsection we describe our strategy to maximize the utilization of the regenerative energy produced by the braking trains. Strategies based on transfer of regenerative braking energy back to the electrical grid requires specialized technology such as reversible electrical substations ( González-Gil et al., 2013 ). A strategy based on storing is not feasible with present technology, because storage options such as super-capacitors, fly-wheels, e.t.c. , have drastic discharge rates besides being too expensive ( Avinash Balakrishnan, 2014 , page 66), ( Droste-Franke et al., 2012 , page 92). A better strategy that can be used with existing technology ( Ciccarelli et al., 2014 ) is to transfer the regenerative energy of a braking train to a nearby and simultaneously accelerating train, if both of them operate under the same electrical substation. We call such pairs of trains suitable train pairs . So our objective is to maximize the total overlapped area between the graphs of power consumption and regeneration of all suitable train pairs. To model this mathematically, we are faced with the following tasks: i) define suitable train pairs, ii) provide a tractable description of the overlapped area between power graphs of such a pair. We describe them as follows. 5.2.1. Defining suitable train pairs We consider platform pairs who are opposite to each other and are powered by the same electrical substations. Thus, the transmission loss in transferring electrical energy between them is negligible. In our work we The set containing all such platform pairs is denoted by . Consider any such platform pair ( i, j ) ∈ , and let T i ⊆T be the set of all trains which arrive at, dwell and then depart from platform i . Suppose, t ∈ T i . Now, we are interested in finding another train ˜ t on platform j, i.e. , ˜ t ∈ T j , which along with t would form a suitable pair for the transfer of regenerative braking energy. To achieve this, we use the EMT. Among all trains going through platform j , the one which is temporally closest to t in the energy-minimizing timetable is be the best candidate to form a pair with t . The temporal proximity can be of two types with respect to t , which results in the following definitions. Definition 1. Consider any ( i, j ) ∈ . For every train t ∈ T i , the train  t ∈ T j is called the temporally closest train to the right of t if  t = argmin t  ∈{ x ∈T j :0 ≤¯a x j + ¯d x j 2 −¯a t i + ¯d t i 2 ≤r}  ¯a t i + ¯d t i 2 −¯a t  j + ¯d t  j 2  , (17

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พิจารณาใด ๆ ชุด nonempty ของคอลัมน์ที่เขียนแทนด้วย C ใช้ C 1 = Cand C 2 =∅ ผลรวมของคอลัมน์ใน 1 C ลบด้วยผลรวมของคอลัมน์ในซี 2 จะ ได้ เวกเตอร์ด้วย 0, 1 และ-1 เพราะใน A ไม่สามารถมีมากกว่าหนึ่งแถวส่วนโค้งระหว่างสองโหนของกราฟจำกัด และแต่ละแถวดังกล่าวมีรายการค่าที่สอง, + 1 และ-1 เป็น เช่นนั้น โดยทฤษฎีบท 1 การขาด { x ∈ R | ¯N |: l Ax u, 0 x m 1 } มีจุดหนึ่งเท่านั้น และวัตถุประสงค์เชิงเส้นในปัญหา (14) การเพิ่มประสิทธิภาพมากกว่านี้ขาดจะส่งผลในหนึ่ง หลังจากแก้ปัญหาโปรแกรมเชิงเส้น (13), เราขอเป็นหนึ่งตารางเวลา ซึ่งเราจะเรียกตารางมินิ mizing พลังงาน (EMT) เราแทนเวกเตอร์ตัดสินใจที่ดีที่สุดของตารางนี้ โดย ¯x ในสัญลักษณ์กราฟจำกัด และ (¯a t i, ¯d t ผม) ผม ∈N t∈T ในสัญกรณ์เดิม 5เพิ่มประสิทธิภาพรุ่นที่สองในส่วนนี้ เราแก้ไขข้อจำกัดของเวลาเดินทางดังกล่าวว่าการใช้พลังงานรวมของตารางเวลาขั้นสุดท้ายจะอยู่ที่ขั้นต่ำเดียวกันเป็นการ EMT จากนั้น เราอธิบายกลยุทธ์การเพิ่มประสิทธิภาพของเรามีวัตถุประสงค์เพื่อเพิ่มการใช้พลังงานสำหรับสินค้าทั้งหมดของเบรกรถไฟ และเรานำเสนอรุ่นที่สองเพิ่มประสิทธิภาพ5.1. ทำให้การใช้พลังงานรวมน้อยในตารางเวลาใด ๆ เป็นไปได้ ถ้าเวลาเดินทางจะถูกเก็บไว้เหมือนกับคนที่ได้รับจาก EMT แล้วพลังงานส่วนกำหนดค่าความเร็วที่เหมาะสมสำหรับรถไฟทั้งหมดจะเหมือนกัน เป็นผล การใช้พลังงานที่เกี่ยวข้องกับตารางเวลาที่จะยังคงอยู่ที่ต่ำสุดเป็น EMT เดียวกัน ดังนั้น ใน ปัญหาเพิ่มประสิทธิภาพสอง แทนการใช้ข้อจำกัดเวลาเดิน ทุกครั้งที่เราแก้ไขเวลาเดินทางไปยังค่าใน EMT เช่น ∀ t ∈ T, t ∀ (i, j) ∈ A, t j −d t ผม = ¯a t j −¯d t i, (15) และ∀ (i, j) ∈ϕ ∀ (t, t) ∈ B ij , t j −d t ผม = ¯a t j −¯d t ฉัน (16) สำหรับข้อจำกัดอื่น ๆ ขอบเขตที่อนุญาตให้แตกต่างกันตามที่อธิบายไว้ โดย Eqs (3) –(8) . เป็นผลมาจากการแก้ไข ทั้งหมดเดินทางเวลา กราฟพลังงานทุกการเดินทางโดยรถไฟใด ๆ กลายเป็นที่รู้จักเรา เนื่องจากขึ้นอยู่สอดคล้องเหมาะสมกับ โปรไฟล์ของความเร็วที่คำนวณได้ในแบบเรียลไทม์ โดยซอฟต์แวร์ที่มีอยู่ (Vlad และ Tatarnikov, 2011), (กมลเลิศกุลวาณิชย์และ Pudney, 1995 หน้า 285)5.2 การเพิ่มการใช้พลังงานสำหรับสินค้าทั้งหมดของรถไฟเบรกในส่วนย่อยนี้ เราอธิบายกลยุทธ์ของเราเพื่อเพิ่มการใช้พลังงานสำหรับสินค้าทั้งหมดที่ผลิต โดยรถไฟเบรก กลยุทธ์ที่อิงโอนซ้ำเบรกพลังงานกลับไปใช้ไฟฟ้าต้องใช้เทคโนโลยีเฉพาะเช่นสถานีไฟฟ้าย้อนกลับ (กิล González et al. 2013) กลยุทธ์ที่ใช้ในการเก็บไม่กระทำ ด้วยเทคโนโลยีปัจจุบัน เนื่องจากตัวเลือกที่เก็บเช่นซุปเปอร์ตัวเก็บประจุ ล้อบิน โต้ มีอัตราปล่อยรุนแรงนอกจากจะแพงเกินไป (Avinash คอร์นิ 2014 หน้า 66) , (Droste Franke et al. 2012 หน้า 92) กลยุทธ์ดีที่สามารถใช้ได้กับเทคโนโลยีที่มีอยู่ (Ciccarelli et al. 2014) คือการ โอน regenerative พลังงานของรถไฟเบรกการรถไฟบริเวณใกล้เคียง และเร่งพร้อมกัน ถ้าพวกเขาทั้งสองดำเนินงานภายใต้สถานีย่อยไฟฟ้าที่เดียวกัน เราเรียกคู่เช่นรถไฟรถไฟเหมาะคู่ ดังนั้น วัตถุประสงค์ของเราคือการ เพิ่มพื้นที่คาบเกี่ยวกันระหว่างกราฟของพลังงานและฟื้นฟูรถไฟเหมาะทั้งคู่ แบบนี้ทางคณิตศาสตร์ เรากำลังเผชิญกับต่อไปนี้: i) กำหนดเหมาะสมรถไฟคู่ ii) ให้คำอธิบาย tractable ของพื้นที่คาบเกี่ยวกันระหว่างกราฟพลังงานคู่ดังกล่าว เราอธิบายได้ดังนี้ 5.2.1. กำหนดรถไฟเหมาะคู่เราพิจารณาคู่แพลตฟอร์มที่อยู่ตรงข้ามกัน และจะใช้พลังงานจากไฟฟ้าไฟฟ้าที่เดียวกัน ดังนั้น การสูญเสียการส่งในการส่งพลังงานไฟฟ้าระหว่างพวกเขาเป็นเล็กน้อย ในการทำงานของเรา เราชุดที่ประกอบด้วยแพลตฟอร์มคู่ดังกล่าวเป็น denoted โดย พิจารณาใด ๆ แพลตฟอร์มคู่ (i, j) ∈ดังกล่าว และ T ให้ฉัน ⊆T เป็นชุดของรถไฟทั้งหมดซึ่งมาถึงที่ อาศัยอยู่ และจากนั้น ออกเดินทางจากแพลตฟอร์มฉัน สมมติ t ∈ T ฉัน ตอนนี้ เราจะสนใจในการหา t ว่ารถไฟอื่นบนแพลตฟอร์ม j เช่น ว่า t ∈ T j ซึ่งพร้อมทีจะฟอร์มคู่เหมาะสำหรับการโอนย้ายของพลังงานเบรกซ้ำ เพื่อให้บรรลุนี้ เราใช้การ EMT ระหว่างขบวนทั้งหมดจะผ่านแพลตฟอร์ม j หนึ่งที่ชั่วที่ใกล้เคียงกับ t ในตารางเวลาลดพลังงาน คือ เป็นผู้สมัครที่ดีที่สุดในรูปแบบคู่กับ t ใกล้ขมับสองประเภทเกี่ยวกับ t ซึ่งผลลัพธ์ในคำนิยามต่อไปนี้ได้ นิยามที่ 1 พิจารณาใด ๆ (i, j) ∈ สำหรับทุกรถไฟ t ∈ T, j ∈ T t ของรถไฟจะเรียกว่ารถไฟชั่วใกล้ทางด้านขวาของ t ถ้า t = argmin t ∈ { x ∈T j: 0 ≤¯a x ¯d x j 2 −¯a t + j ฉัน + ¯d t ≤r i 2 } ¯a t ผม + ¯d t i 2 −¯a t j + j t ¯d 2, (17

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พิจารณาเซตของคอลัมน์ของคอลเลกชันใด ๆแทน โดย C . ใช้ C = C = C และ∅ 1 2 . แล้วผลรวมของคอลัมน์ C 1 ลบด้วยผลรวมของคอลัมน์ใน C ที่ 2 จะเป็นเวกเตอร์ด้วยรายการที่ 0 , 1 และ− 1 เพราะในนั้นไม่สามารถอยู่ได้มากกว่าหนึ่งแถวที่ตรงกับอาร์คระหว่างสองจุดของกราฟ และแต่ละอย่างมีข้อจำกัดตรงแถวสอง + 0 รายการ 1 และ− 1 ดังนั้นโดยทฤษฎีบท 1 ทรงหลายหน้า { x ∈ R | ¯ N : L | ขวาน u , 0 x 1 } มีเพียงจุดหนึ่งและการเพิ่มวัตถุประสงค์เชิงเส้นปัญหา ( 14 ) มากกว่าทรงหลายหน้านี้จะส่งผลให้โซลูชั่นที่เป็นหนึ่ง หลังจากที่แก้ไขปัญหาโปรแกรมเชิงเส้น ( 13 ) , เราได้รับตารางเรียนครบถ้วนซึ่งเราเรียกพลังงานมินิ - mizing ตารางเวลา ( EMT ) เราหมายถึงการตัดสินใจที่ดีที่สุดเวกเตอร์ของตารางเวลานี้โดย¯ x ในข้อจำกัดและกราฟสัญกรณ์ ( ¯ T ฉัน ¯ D t ฉัน ) ฉัน∈ N T T ∈ในเอกสารต้นฉบับ 5 .เหมาะสมแบบที่สองในส่วนนี้เราปรับเปลี่ยนเที่ยวเวลาจำกัดเช่นการบริโภคพลังงานทั้งหมดของตารางสุดท้ายอยู่ที่ขั้นต่ำเดียวกันเป็น EMT แล้วเราอธิบายถึงกลยุทธ์การเพิ่มประสิทธิภาพของเรามีวัตถุประสงค์เพื่อเพิ่มการใช้พลังงาน Regenerative เบรกของรถไฟ และที่เรานำเสนอที่เหมาะสมแบบที่สอง5.1 การใช้พลังงานรวมที่น้อยที่สุดในเวลาใด ๆที่เป็นไปได้ ถ้าการเดินทางครั้งจะถูกเก็บไว้เป็นเช่นเดียวกับที่ได้รับจากหน่วยกู้ภัยแล้ว พลังงานที่เหมาะสมสำหรับรถไฟความเร็ว รูปแบบจะเหมือนกัน ผล การใช้พลังงานที่เกี่ยวข้องกับตารางเวลาจะยังคงอยู่ในขั้นเดียวกับที่พบใน EMT ดังนั้น ในปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพที่สอง แทนที่จะใช้เวลาเดินทางไม่มาก เพราะทุกครั้งที่เดินทาง เราแก้ไขการเดินทางเวลาค่าในหน่วยกู้ภัย เช่น ∀∈ T T ∀ ( i , j ) ∈ T T J − D T = T J ¯−¯ D T ฉัน ( 15 ) และ∀ ( i , j ) ∈ϕ∀ , ( T T ) ∈ B ij , T J − D T = T J ¯−¯ D t ฉัน . ( 16 ) ข้อจำกัดอื่น ๆทั้งหมด ขอบเขตที่ได้รับอนุญาตให้เปลี่ยนตามที่อธิบายไว้โดย EQS . ( 3 ) - ( 8 ) ผลที่ตามมาของการแก้ไขเวลาเดินทางทั้งหมด พลังของกราฟทุกการเดินทางโดยรถไฟใด ๆกลายเป็นที่รู้จักเรา เพราะมันขึ้นอยู่กับความเร็วที่เหมาะสมโปรไฟล์คำนวณในเรียลไทม์โดยซอฟต์แวร์ที่มีอยู่ ( วลาด และ tatarnikov , 2011 ) , ( ฮาวลิต และ pudney , 2538 , หน้า 285 )5.2 . การเพิ่มการใช้พลังงานที่เกิดใหม่จากการเบรกรถไฟในส่วนนี้เราจะอธิบายกลยุทธ์ของเราเพื่อขยายตลาดการใช้ประโยชน์ของพลังงานที่ผลิตโดยเบรกรถไฟ กลยุทธ์บนพื้นฐานของการเปลี่ยนแปลงพลังงานจากการเบรกกลับมากริดไฟฟ้าต้องใช้เทคโนโลยีเฉพาะเช่นสถานีย่อยไฟฟ้าผันกลับได้ ( gonz . kgm เลสกิล et al . , 2013 ) กลยุทธ์พื้นฐานในการจัดเก็บที่ไม่ได้เป็นไปได้ด้วยเทคโนโลยีปัจจุบันเพราะกระเป๋าตัวเลือกเช่นซูเปอร์คาปาซิเตอร์ บินล้อ ฯลฯ มีอัตราการไหลที่รุนแรงนอกจากจะแพงมาก ( avinash Balakrishnan , 2014 , หน้า 66 ) , ( โดรสต์ Franke et al . , 2012 , หน้า 92 ) วิธีการที่ดีที่สามารถใช้กับเทคโนโลยีที่มีอยู่ ( ciccarelli et al . , 2010 ) คือการถ่ายโอนพลังงาน Regenerative เบรกของรถไฟและรถไฟเร่งใกล้เคียงกัน ถ้าทั้งสองของพวกเขาทำงานภายใต้สถานีไฟฟ้าเหมือนกัน เราเรียกเช่นคู่ของรถไฟเหมาะรถไฟคู่ ดังนั้น วัตถุประสงค์ของเราคือการ เพิ่มจำนวนรวมพื้นที่ระหว่างกราฟของการใช้พลังงานและสร้างทั้งหมดเหมาะรถไฟคู่ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้เราจะเผชิญกับงานต่อไปนี้ : ฉัน ) กำหนดคู่ฝึกที่เหมาะสม 2 ) ให้ควบคุมได้ง่ายอธิบายซ้อนพื้นที่ระหว่างกราฟพลังเช่นคู่ เราอธิบายได้ดังนี้ 5.2.1 . การกำหนดที่เหมาะสมฝึกคู่เราพิจารณาแพลตฟอร์มที่เป็นคู่ตรงข้ามกับแต่ละอื่น ๆและจะขับเคลื่อนโดยเดียวกันไฟฟ้า substations ดังนั้น การสูญเสียในการถ่ายโอนพลังงานไฟฟ้าระหว่างพวกเขาเป็นเล็กน้อย ในงานของเรา เราตั้งค่าที่มีทั้งหมดเช่นแพลตฟอร์มคู่ที่เขียนโดย พิจารณาแพลตฟอร์มใด ๆ เช่น คู่ ( I , J ) ∈และปล่อยให้ฉัน⊆ t เป็นชุดรถไฟซึ่งมาถึงอาศัย แล้วออกเดินทางจากแพลตฟอร์ม . สมมติว่า∈ T T ฉัน . ตอนนี้ เรามีความสนใจในการหาอีก T ˜รถไฟบนแพลตฟอร์ม J , I , ˜∈ T T J ซึ่งพร้อมกับ T จะฟอร์มคู่เหมาะสำหรับการเปลี่ยนแปลงพลังงานจากการเบรก เพื่อให้บรรลุนี้เราใช้ EMT ระหว่างรถไฟจะผ่านแพลตฟอร์ม J , หนึ่งซึ่งเป็นชั่วคราวใกล้ T ในพลังงาน ลดเวลา เป็นผู้สมัครที่ดีที่สุดในรูปแบบคู่กับ T ความใกล้ชิดชั่วคราวได้สองชนิดด้วยความเคารพ ซึ่งผลลัพธ์ในความหมายดังต่อไปนี้ ความละเอียด 1 พิจารณาใด ๆ ( i , j ) ∈ . สำหรับขบวนรถไฟ T T ∈ , รถไฟ∈ T T J เรียกว่ารถไฟชั่วคราวใกล้ด้านขวาของ T = T T ถ้า argmin ∈ { x ∈ T J : 0 ≤¯เป็น X J + ¯ D x J 2 −¯ T + ¯ D t ฉัน 2 ≤ R } ¯ T ผม + ¯ D t ฉัน 2 −¯ T J + ¯ D T J 2 ( 17