But the arithmetic mean-geometric m

But the arithmetic mean-geometric mean inequality insures that the coefficients of p, q, and r are each at least 2, from which the desired result follows.
We conclude with several comments about the lemma and the Erdo ̋s-Mordell inequality and their relationships to other results.
1. The three inequalities in the lemma are equalities if and only if O is the
center of the circumscribed circle of ABC. This follows from the observation
that the trapezoid in Figure 2(b) is a rectangle if and only if β + α2 = π and π2
γ + α1 = 2 (and similarly in the other two cases), so that ∠AOQ = β = ∠COQ. Hence the right triangles AOQ and COQ are congruent, and x = z. Similarly one can show that x = y. Hence, x = y = z and O must be the circumcenter of ABC. The coefficients of p, q, and r in (1) are equal to 2 if and only if a = b = c. Consequently we have equality in the Erdo ̋s-Mordell inequality if and only if ABC is equilateral and O is its center.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แต่คณิตเรขาคณิตอสมการหมายถึงมั่นใจว่า สัมประสิทธิ์ของ p, q, r และมีแต่ละอย่างน้อย 2 ซึ่งผลลัพธ์ที่ต้องการดังต่อไปนี้ เราสรุปกับหลายความคิดเห็นเกี่ยวกับหน่วยการการ และอสมการ Erdo ̋s Mordell และความสัมพันธ์อื่น ๆ ผลการ1.หน่วยการสามนัดมี equalities ถ้าหาก O เป็นการศูนย์กลางของวงกลมอยู่ในของ ABC นี้ต่อไปนี้จากการสังเกตสี่เหลี่ยมคางหมูในรูป 2(b) ว่าสี่เหลี่ยมถ้า และถ้าβ + α2 =πและ π2 Γαเปรี้ยว 1 + = 2 (และในทำนองเดียวกัน ในทั้งสองกรณี), ดังนั้น ∠AOQ =β = ∠COQ ดังนั้น สามเหลี่ยมขวา AOQ และ COQ จะสอดคล้องกัน และ x = z ในทำนองเดียวกัน หนึ่งสามารถแสดงว่า x =วาย Hence, x = y = z และ O ต้อง circumcenter ของ ABC สัมประสิทธิ์ของ p, q และ r ใน (1) จะเท่ากับ 2 ถ้าและเฉพาะในกรณี = b = c ดังนั้น เรามีความเท่าเทียมกันอสมการ ̋s Mordell Erdo ถ้าหาก ABC มีด้านเท่า และ O เป็นจุดศูนย์กลาง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แต่ค่ามัชฌิมเลขคณิตเรขาคณิตความไม่เท่าเทียมกันหมายถึงมั่นใจได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของ p, q และ R ที่มีแต่ละอย่างน้อย 2 จากการที่ผลที่ต้องการต่อไปนี้.
เราสรุปได้กับหลายความเห็นเกี่ยวกับการแทรกและ Erdo S-Mordell ความไม่เท่าเทียมกันและความสัมพันธ์ของพวกเขา เพื่อผลลัพธ์อื่น ๆ .
1 สามความไม่เท่าเทียมกันในการแทรกเป็น equalities และถ้าหาก O เป็น
ศูนย์กลางของวงกลมของเอบีซี นี้ต่อไปนี้จากการสังเกต
ว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูในรูปที่ 2 (B) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและถ้าหากβ + α2 = πและπ2
แกมมา + α1 = 2 (และในทำนองเดียวกันในอีกสองกรณี) เพื่อให้∠AOQ = β = ∠COQ ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก AOQ และ COQ จะสอดคล้องกันและ X = Z ในทำนองเดียวกันการหนึ่งที่สามารถแสดงให้เห็นว่า X = Y ดังนั้น x = Y = Z และ O จะต้องวงล้อมของเอบีซี ค่าสัมประสิทธิ์ของ p, q และ R (1) จะเท่ากับ 2 ถ้าหากว่า A = B = C ดังนั้นเรามีความเท่าเทียมกันในความไม่เท่าเทียมกัน Erdo S-Mordell และถ้าหาก ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าและ O เป็นศูนย์กลางของมัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แต่ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตหมายถึงความมั่นใจว่าค่าของ P , Q และ R แต่ละอย่างน้อย 2 ซึ่งผลดังนี้เราสรุปข้อคิดเห็นต่าง ๆ เกี่ยวกับการจับมือและ erdo ̋ s-mordell ความไม่เสมอภาคและความสัมพันธ์ของพวกเขาเพื่อผลลัพธ์อื่น ๆ1 . สามอสมการในรูปแบบเป็น equalities ถ้าและเพียงถ้าโอ คือศูนย์กลางของพื้นที่ที่ จํากัด วงกลมของ ABC ข้อมูลจากการสังเกตที่ บขส. ในรูปที่ 2 ( ข ) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ถ้าและเพียงถ้าαบีตา + 2 = ππ 2 และαγ + 1 = 2 ( และในทำนองเดียวกันในอีกสองราย เพื่อให้∠บีตา aoq = = ∠ระกา . ดังนั้นสามเหลี่ยมขวา aoq คุณภาพมีความสอดคล้องและ X = Z และหนึ่งสามารถแสดงที่ x = y และ x = y = z O ต้อง circumcenter ของ ABC ค่าสัมประสิทธิ์ของ P , Q และ R ( 2 ) เท่ากับ 2 ถ้าและเพียงถ้า A = B = C ดังนั้นเรามีความเสมอภาคใน erdo ̋ s-mordell ความเหลื่อมล้ำ ถ้าและเพียงถ้า ABC ซึ่งมีด้านเท่ากันทุกด้านและ O คือศูนย์กลาง