Proof. If (x, y) = (Un, Un−1), then

Proof. If (x, y) = (Un, Un−1), then by identity (3.2), it follows that x
2 − kxy − y
2 = ∓1. Assume that x
2 − kxy − y
2 = ∓1
for some positive integers x and y. Then (αx + y)(βx + y) = ∓1 and therefore αx + y is a unit in Z [α]. Since αx + y > 1, by
Theorem 3.1, αx + y = α
n
for some n ≥ 2. Thus αx + y = αUn + Un−1, by identity (3.1). Therefore (x, y) = (Un, Un−1).
Corollary 3.3. All positive integer solutions of the equation x2 − kxy − y
2 = 1 are given by (x, y) = (U2n+1, U2n) with n ≥ 1.
Corollary 3.4. All positive integer solutions of the equation x2 − kxy − y
2 = −1 are given by (x, y) = (U2n, U2n−1) with n ≥ 1.
Theorem 3.5. All positive integer solutions of the equation x2 − kxy − y
2 + x = 0 are given by (x, y) = (U
2
2n
, U2nU2n−1) with
n ≥ 1.
Proof. Assume that x
2−kxy−y
2+x = 0 for some positive integers x and y. Then by Theorem 2.1, x = u
2
and y = uv for some
positive integers u and v. Then it follows that u
2 −kuv−v
2 +1 = 0. Therefore by Corollary 3.4, we get (u, v) = (U2n, U2n−1)
for some n ≥ 1. This implies that (x, y) = (U
2
2n
, U2nU2n−1). Conversely, if (x, y) = (U
2
2n
, U2nU2n−1), then by identity (3.2), we
get x
2 − kxy − y
2 + x = 0.
The proof of the following theorem is similar and therefore we omit it.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐาน ถ้า (x, y) = (Un, Un−1), แล้ว โดยรหัสประจำตัว (3.2), เท่านั้นดังนั้น2 − kxy − y2 = ∓1 สมมติว่า x2 − kxy − y2 = ∓1สำหรับบางจำนวนเต็มบวก x และ y แล้ว (αx + y)(βx + y) = ∓1 และ αx + y เป็นหน่วยใน Z [α] ตั้งแต่ αx + y > 1 โดยทฤษฎีบท 3.1, αx + y =αnสำหรับบาง n ≥ 2 ดังนั้น αx + y = αUn + Un−1 โดยรหัสประจำตัว (3.1) ดังนั้น (x, y) = (Un, Un−1)Corollary 3.3 แก้ไขปัญหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของสมการ x2 − kxy − y2 = 1 จะได้รับโดย (x, y) = (U2n + 1, U2n) ด้วย n ≥ 1Corollary 3.4 แก้ไขปัญหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของสมการ x2 − kxy − y2 =− 1 ได้โดย (x, y) = (U2n, U2n−1) ด้วย n ≥ 1ทฤษฎีบท 3.5 แก้ไขปัญหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของสมการ x2 − kxy − y2 + x = 0 จะได้รับโดย (x, y) = (U22n, U2nU2n−1) ด้วยn ≥ 1หลักฐาน สมมติว่า x2−kxy−y2 + x = 0 สำหรับบางจำนวนเต็มบวก x และ y โดยทฤษฎีบท 2.1, x = u2และ y = uv สำหรับบางจำนวนเต็มบวกคุณและ v แล้วที่ u ดังนั้น2 −kuv−v2 + 1 = 0 ดังนั้น โดย Corollary 3.4 เราได้รับ (u, v) = (U2n, U2n−1)สำหรับบาง n ≥ 1 บ่งชี้ที่ (x, y) = (U22n, U2nU2n−1) ในทางกลับกัน ถ้า (x, y) = (U22n, U2nU2n−1), โดยรหัสประจำตัว (3.2), เรารับ x2 − kxy − y2 + x = 0หลักฐานของทฤษฎีบทต่อไปนี้จะคล้ายกัน และดังนั้น เราไม่ใช้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พิสูจน์ ถ้า (x, y) = (UN, Un-1) แล้วโดยตัวตน (3.2) มันตามที่ x
2 - kxy - Y
2 = ∓1 สมมติว่า x
2 - kxy - Y
2 = ∓1
สำหรับบางจำนวนเต็ม x บวกและ Y จากนั้น (αx + y) (βx + y) = ∓1และดังนั้นจึงαx + Y เป็นหน่วยใน Z [α] ตั้งแต่αx + Y> 1 โดย
ทฤษฎีบท 3.1 αx + Y = α
n
สำหรับ n ≥บาง 2. ดังนั้นαx + Y = αUn + Un-1 โดยตัวตน (3.1) ดังนั้น (x, y) = (UN, Un-1).
ควันหลง 3.3 โซลูชั่นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของสมการ x2 - kxy - Y
2 = 1 จะได้รับจาก (x, y) = (U2n + 1, U2n) กับ n ≥ 1.
ควันหลง 3.4 โซลูชั่นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของ X2 สม - kxy - Y
2 = -1 จะได้รับจาก (x, y) = (U2n, U2n-1) กับ n ≥ 1.
ทฤษฎีบท 3.5 ทั้งหมดโซลูชั่นจำนวนเต็มบวกของสมการ x2 - kxy - Y
2 + x = 0 จะได้รับจาก (x, y) = (U
2
2n
, U2nU2n-1) กับ
n ≥ 1.
หลักฐาน สมมติว่า x
2 kxy-Y
2 + x = 0 สำหรับบางจำนวนเต็ม x บวกและ Y แล้วตามด้วยทฤษฎีบท 2.1 x = U
2
และ y = UV สำหรับบาง
จำนวนเต็มบวกและ U v. จากนั้นก็จะต่อว่า U
2 -kuv-V
2 1 = 0 ดังนั้นโดยควันหลง 3.4 เราได้รับ (U, V) = (U2n, U2n-1)
สำหรับบาง n ≥ 1 ซึ่งหมายความว่า (x, y) = (U
2
2n
, U2nU2n-1) ตรงกันข้ามถ้า (x, y) = (U
2
2n
, U2nU2n-1) แล้วโดยตัวตน (3.2) เรา
ได้รับ x
2 - kxy - Y
2 + x = 0
หลักฐานทฤษฎีบทดังต่อไปนี้มีความคล้ายคลึงและดังนั้นจึง เราละเว้นมัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พิสูจน์ ถ้า ( x , y ) = ( a , a − 1 ) แล้ว โดยเอกลักษณ์ ( 3.2 ) มันเป็นไปตามที่เkxy y −− 22 = ∓ 1 สมมติว่า Xkxy y −− 22 = ∓ 1สำหรับจำนวนเต็มบวกบาง x และ y แล้ว ( α x + y ) ( บีตา x + y ) = ∓ 1 จึงα x + Y เป็นหน่วยใน Z [ α ] ตั้งแต่α x + y > 1 โดยทฤษฎีบท 3.1 , α x + Y = αnสำหรับ n ≥ 2 ดังนั้นα x + Y = − 1 + α UN สหประชาชาติ โดยเอกลักษณ์ ( 3.1 ) ดังนั้น ( x , y ) = ( a , a − 1 )ควันหลง 3.3 . จำนวนเต็มบวกทั้งหมดโซลูชั่นของสมการ x2 y −− kxy2 = 1 จะได้รับโดย ( x , y ) = ( u2n + 1 , u2n ) n ≥ 1ควันหลง 3.4 . จำนวนเต็มบวกทั้งหมดโซลูชั่นของสมการ x2 y −− kxy2 = − 1 จะได้รับโดย ( x , y ) = ( u2n u2n , − 1 ) ด้วย≥ 1ทฤษฎีบท 3 . จำนวนเต็มบวกทั้งหมดโซลูชั่นของสมการ x2 y −− kxy2 + x = 0 จะได้รับโดย ( x , y ) = ( U22u2nu2n , − 1 ) กับN ≥ 1พิสูจน์ สมมติว่า Xkxy y −− 22 + x = 0 บางบวกจำนวนเต็ม x และ y แล้วโดยทฤษฎีบท 2.1 x = U2และ Y = UV สำหรับเต็มบวก U และ V แล้วมันเป็นไปตามที่ Ukuv 2 −− 52 + 1 = 0 ดังนั้นผลที่ตามมา 3.4 , เราได้รับ ( u , v ) = ( u2n u2n , − 1 )สำหรับ n ≥ 1 แสดงว่า ( x , y ) = ( U22u2nu2n , − 1 ) ในทางกลับกัน ถ้า ( x , y ) = ( U22u2nu2n , − 1 ) แล้ว โดยตน ( 3.2 ) เรารับเkxy y −− 22 + x = 0ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทต่อไปนี้คล้ายคลึง และดังนั้น เราละเว้นมัน