Proof. The medial graph M(G) of a p

Proof. The medial graph M(G) of a plane graph G is obtained as follows.
For each edge e of G insert a vertex m(e) in M(G). Join two vertices of M(G)
if the corresponding edges are face-adjacent. Clearly, M(G) is also plane graph.
Observe that every proper vertex-coloring of M(G) corresponds to a facial 2-
acyclic edge-coloring of G. By the Four Color Theorem, M(G) has a proper
vertex-coloring with at most 4 colors. Hence, a′
f2(G) ≤ 4 for any 2-connected plane graph G.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐาน กราฟที่อยู่ตรงกลาง M(G) ของระนาบกราฟ G จะได้รับเป็นดังนี้สำหรับแต่ละขอบ e กรัมใส่ m(e) จุดยอดใน M(G) ร่วมสองจุดยอดของ M(G)ถ้าขอบตรงติดกับใบหน้า อย่างชัดเจน M(G) ก็ได้ระนาบกราฟสังเกตว่า ทุกที่เหมาะสมจุดยอดสีของ M(G) ตรงกับ 2 หน้า-ขอบสี acyclic ของกรัม โดยทฤษฎีบทสีสี่ M(G) มีความเหมาะสมสีจุดยอด มีมากที่สุด 4 สี ดังนั้น a′f2(G) ≤ 4 สำหรับกราฟใด ๆ เชื่อมต่อ 2 เครื่องบินกรัม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พิสูจน์ กราฟอยู่ตรงกลาง M (G) ของกราฟเครื่องบิน G จะได้รับดังนี้.
สำหรับแต่ละ E ขอบของ G แทรกยอดเมตร (จ) ในเอ็ม (G) เข้าร่วมกับสองจุดของ M (G)
ถ้าขอบที่สอดคล้องกันเป็นใบหน้าที่อยู่ติดกัน เห็นได้ชัดว่า M (G) ยังเป็นกราฟเครื่องบิน.
สังเกตว่าทุกจุดสุดยอดที่เหมาะสมสีของ M (G) สอดคล้องกับใบหน้า 2-
วัฏจักรขอบสีของ G. ทั้งสี่สีทฤษฎีบท M (G) มีที่เหมาะสม
จุดสุดยอด -coloring กับที่มากที่สุด 4 สี ดังนั้น '
F2 (G) ≤ 4 สำหรับการใด ๆ เครื่องบินกราฟ 2 เชื่อมต่อกรัม