We get an integral quadratic form w

We get an integral quadratic form whenever the matrix entries Q_{ij} are integers; then Q is said to have integer matrix. However, Q will still be an integral quadratic form if the off-diagonal entries Q_{ij} are integers divided by 2, while the diagonal entries are integers. For example, x2 + xy + y2 is integral but does not have integral matrix.

A positive integral quadratic form taking all positive integers as values is called universal. The 15 theorem says that a quadratic form with integer matrix is universal if it takes the numbers from 1 to 15 as values. A more precise version says that, if a positive definite quadratic form with integral matrix takes the values 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15 (sequence A030050 in OEIS), then it takes all positive integers as values. Moreover, for each of these 9 numbers, there is such a quadratic form taking all other 8 positive integers except for this number as values.

For example, the quadratic form

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราได้รับรูปแบบหนึ่งกำลังสองเมื่อใดก็ตามที่รายการเมทริกซ์ Q_ {} เจเป็นจำนวนเต็ม; Q แล้วจะกล่าวว่ามีจำนวนเต็มเมทริกซ์ อย่างไรก็ตาม Q จะยังคงเป็นรูปแบบหนึ่งกำลังสองถ้ารายการนอกเส้นทแยงมุม Q_ {} เจเป็นจำนวนเต็มหารด้วย 2 ในขณะที่รายการในแนวทแยงเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น x2 + y2 + เซ็กซี่เป็นส่วนประกอบสำคัญ แต่ไม่ได้มีเมทริกซ์หนึ่ง. รูปแบบสมการกำลังสองบวกหนึ่งการจำนวนเต็มบวกทั้งหมดเป็นค่าที่เรียกว่าสากล 15 ทฤษฎีบทกล่าวว่ารูปแบบสมการกำลังสองกับเมทริกซ์จำนวนเต็มเป็นสากลถ้ามันใช้เวลาหมายเลข 1-15 เป็นค่า รุ่นที่แม่นยำมากขึ้นกล่าวว่าถ้าเป็นรูปแบบสมการกำลังสองบวกแน่นอนกับเมทริกซ์หนึ่งใช้ค่า 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15 (ลำดับ A030050 ใน OEIS) จากนั้นก็จะใช้เวลาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดเป็น ค่า นอกจากนี้สำหรับแต่ละเหล่านี้ 9 ตัวเลขดังกล่าวมีรูปแบบสมการอื่น ๆ ทั้งหมด 8 จำนวนเต็มบวกยกเว้นจำนวนนี้เป็นค่า. ยกตัวอย่างเช่นรูปแบบสมการกำลังสอง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราได้รับรูปแบบกำลังสองและเมื่อใดก็ตามที่รายการเมทริกซ์ q_ { ij } เป็นจำนวนเต็ม แล้วถามว่า มีแบบจำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม คำถามจะยังคงเป็นรูปแบบกำลังสองและถ้าปิดขวางรายการ q_ { ij } เป็นจำนวนเต็มแบ่งออกเป็น 2 ในขณะที่รายการทแยงเป็นจำนวนเต็ม . ตัวอย่างเช่น , x2 Y2 XY เป็นหนึ่ง แต่ไม่ได้มีหนึ่ง

เมทริกซ์ .บวกหนึ่งสมแบบฟอร์มการจำนวนเต็มบวกทั้งหมด เป็นค่าเรียกว่าครอบจักรวาล ทฤษฎีบทที่ 15 กล่าวว่า รูปแบบกำลังสองกับ Matrix จำนวนเต็มเป็นสากล ถ้าจะใช้ตัวเลขจาก 1 ถึง 15 ค่า รุ่นที่แม่นกว่า บอกว่า ถ้าเป็นบวกแน่นอนกำลังสองแบบเมทริกซ์เป็นใช้ค่า 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 10 , 14 , 15 ( ลำดับ a030050 ใน oeis )แล้วมันใช้เวลาจำนวนเต็มบวกทั้งหมด เป็นค่า นอกจากนี้ ตัวเลขเหล่านี้แต่ละ 9 มีรูปแบบกำลังสองการจำนวนเต็ม 8 บวกอื่น ๆทั้งหมดยกเว้นตัวเลขนี้เป็นค่า

ตัวอย่างเช่น
รูปแบบกำลังสอง