Pasch and Peano[edit]The German mat

Pasch and Peano[edit]The German mathematician Moritz Pasch (1843–1930) was the first to accomplish the task of putting Euclidean geometry on a firm axiomatic footing.[29] In his book, Vorlesungen über neuere Geometrie published in 1882, Pasch laid the foundations of the modern axiomatic method. He originated the concept of primitive notion (which he called Kernbegriffe) and together with the axioms (Kernsätzen) he constructs a formal system which is free from any intuitive influences. According to Pasch, the only place where intuition should play a role is in deciding what the primitive notions and axioms should be. Thus, for Pasch, point is a primitive notion but line (straight line) is not, since we have good intuition about points but no one has ever seen or had experience with an infinite line. The primitive notion that Pasch uses in its place is line segment.

Pasch observed that the ordering of points on a line (or equivalently containment properties of line segments) is not properly resolved by Euclid's axioms; thus, Pasch's theorem, stating that if two line segment containment relations hold then a third one also holds, cannot be proven from Euclid's axioms. The related Pasch's axiom concerns the intersection properties of lines and triangles.

Pasch's work on the foundations set the standard for rigor, not only in geometry but also in the wider context of mathematics. His breakthrough ideas are now so commonplace that it is difficult to remember that they had a single originator. Pasch's work directly influenced many other mathematicians, in particular D. Hilbert and the Italian mathematician Guiseppi Peano (1858–1932). Peano's work, largely a translation of Pasch's treatise into the notation of symbolic logic (which Peano invented), uses the primitive notions of point and betweeness. Peano breaks the empirical tie in the choice of primitive notions and axioms that Pasch required. For Peano, the entire system is purely formal, divorced from any empirical input.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ปัสกาและอาโน่ [แก้ไข] เยอรมันปัสกามอริตซ์คณิตศาสตร์ (1843-1930) เป็นครั้งแรกในการทํางานของการวางเรขาคณิตบนเกาะซึ่งเป็นจริง บริษัท . [29] ในหนังสือของเขา Vorlesungen über neuere Geometrie รับการตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1882, ปัสกาวาง รากฐานของวิธีการซึ่งเป็นจริงที่ทันสมัยเขาเกิดแนวคิดของความคิดดั้งเดิม (ซึ่งเขาเรียกว่า kernbegriffe) และร่วมกับสัจพจน์ (kernsätzen) เขาสร้างระบบที่เป็นทางการซึ่งเป็นอิสระจากอิทธิพลใด ๆ ที่ใช้งานง่าย ตามปัสกา, สถานที่เดียวที่สัญชาตญาณควรมีบทบาทในการตัดสินใจเลือกสิ่งที่ความคิดดั้งเดิมและหลักการที่ควรจะเป็น ดังนั้นสำหรับปัสกา,จุดเป็นความคิดดั้งเดิม แต่สาย (สายตรง) ไม่ได้เนื่องจากเรามีสัญชาตญาณที่ดีเกี่ยวกับจุด แต่ไม่มีใครเคยเห็นหรือมีประสบการณ์กับสายที่ไม่มีที่สิ้นสุด ความคิดดั้งเดิมที่ปัสกาใช้ในสถานที่เป็นส่วนของเส้น

ปัสกาข้อสังเกตว่าการสั่งซื้อของจุดบนเส้น (หรือคุณสมบัติบรรจุเท่าของส่วนของเส้นตรง) ที่ไม่ได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้องโดยหลักการของยุคลิด. จึงปัสกาทฤษฎีบทที่ระบุว่าถ้าความสัมพันธ์ส่วนสองเส้นบรรจุไว้แล้วหนึ่งในสามยังถือไม่สามารถพิสูจน์ได้จากสัจพจน์ของยุคลิด ความจริงที่เกี่ยวข้องกับปัสกาที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของจุดตัดของเส้นและรูปสามเหลี่ยม. ทำงาน

ปัสกาบนรากฐานกำหนดมาตรฐานสำหรับความรุนแรงที่ไม่เพียง แต่ในเรขาคณิต แต่ยังอยู่ในบริบทที่กว้างขึ้นของคณิตศาสตร์ความคิดของการพัฒนาของเขาเป็นที่รู้จักกันโดยทั่วไปในขณะนี้เพื่อที่ว่ามันเป็นเรื่องยากที่จะจำได้ว่าพวกเขามีผู้ริเริ่มเดียว งานปัสกาอิทธิพลโดยตรงนักคณิตศาสตร์อื่น ๆ อีกมากมายโดยเฉพาะอย่างยิ่งง ฮิลแบร์ตและ italian guiseppi อาโน่คณิตศาสตร์ (1858-1932) อาโน่ทำงานส่วนใหญ่ของการแปลตำราปัสกาเข้าไปในสัญกรณ์ของตรรกะสัญลักษณ์ (ซึ่งอาโน่คิดค้น),ใช้ความคิดดั้งเดิมของจุดและ betweeness อาโน่แบ่งผูกเชิงประจักษ์ในการเลือกความคิดดั้งเดิมและหลักการที่ต้องปัสกา กับอาโน่, ระบบทั้งหมดได้อย่างหมดจดอย่างเป็นทางการหย่าขาดจากข้อมูลเชิงประจักษ์ใด ๆ .

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

นักคณิตศาสตร์ Pasch และเยอรมันที่ Peano [แก้ไข] Moritz Pasch (1843–1930) เป็นคนแรกทำงานเอาเรขาคณิต Euclidean axiomatic เพื่ม[29] ในหนังสือของเขา neuere über Vorlesungen Geometrie เผยแพร่ใน 1882, Pasch วางรากฐานของวิธี axiomatic ทันสมัย เขาเป็นต้นกำเนิดของแนวคิดของแนวคิดดั้งเดิม (ที่เขาเรียกว่า Kernbegriffe) และร่วมกับสัจพจน์ (Kernsätzen) เขาสร้างระบบอย่างเป็นทางการซึ่งเป็นอิสระจากอิทธิพลใด ๆ ใช้งานง่าย ตาม Pasch เดียวที่สัญชาตญาณควรเล่นบทบาทเป็นอะไรความเข้าใจดั้งเดิมและสัจพจน์ควรจะตัดสินใจ ดังนั้น สำหรับ Pasch จุดเป็นแนวคิดดั้งเดิม แต่เส้น (เส้นตรง) ไม่ใช่ เนื่องจากเรามีสัญชาตญาณดีเกี่ยวกับจุด แต่ไม่มีใครเคยได้เห็น หรือมีประสบการณ์กับบรรทัดอนันต์ แนวคิดดั้งเดิมที่ Pasch ใช้แทนเป็นบรรทัดเซ็กเมนต์

Pasch สังเกตว่า ลำดับของจุดบนเส้น (หรือ equivalently บรรจุคุณสมบัติของบรรทัดเซ็กเมนต์) เป็นไม่ถูกแก้ไข โดยสัจพจน์ของยุคลิด ดังนั้น ไม่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Pasch ระบุว่า ถ้า ความสัมพันธ์สองบรรทัดเซ็กเมนต์บรรจุเก็บแล้วที่สามหนึ่งยังเก็บ จากสัจพจน์ของยุคลิด สัจพจน์ของ Pasch เกี่ยวข้องเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติตัดบรรทัดและสามเหลี่ยม

งานของ Pasch มูลนิธิตั้งมาตรฐานสำหรับ rigor ไม่เฉพาะในเรขาคณิตแต่ยังอยู่ในบริบทกว้างขึ้นของคณิตศาสตร์ ความคิดความก้าวหน้าของเขาก็เป็นธรรมดาดังนั้นที่จึงยากที่จะจำว่า พวกเขามีผู้ริเริ่มที่เดียว งานของ Pasch ตรงอิทธิพล mathematicians อื่น ๆ ฮิลแบร์ทเฉพาะ D. และนักคณิตศาสตร์อิตาลี Guiseppi Peano (1858–1932) Peano ของงาน ส่วนใหญ่การแปลตำรับของ Pasch เป็นสัญกรณ์ของตรรกะ symbolic (ซึ่งคิดค้น Peano), ใช้ความเข้าใจดั้งเดิมของจุดและ betweeness Peano แบ่งผูกประจักษ์ในหลากหลายความเข้าใจดั้งเดิมและสัจพจน์ที่ Pasch ต้อง Peano ระบบทั้งหมดเป็นทางหมดจด หย่าแล้วจากข้อมูลป้อนเข้าใด ๆ รวมกัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

pasch และ peano [แก้ไข],เยอรมัน,นักคณิตศาสตร์ท pasch ( 1843-1930 )ที่เป็นครั้งแรกที่จะทำการเปิดใช้งานของการนำรูปทรงเรขาคณิตตามแบบยูคลิดในบริษัทที่เห็นได้โดยง่ายยืน.[ 29 ]ในหนังสือของเขา geometrie vorlesungen เหนือกว่า neuere เผยแพร่ในเมื่อปี 1882 pasch วางรากฐานของวิธีการที่เห็นได้โดยง่ายที่ทันสมัยเขามีสาเหตุมาจากแนวความคิดที่ง่ายความคิดของ(ซึ่งเขาเรียกว่า kernbegriffe )และพร้อมด้วยไม่ต้องพิสูจน์)( kernsätzen )เขาสร้างระบบอย่างเป็นทางการซึ่งเป็นแบบไม่เสียค่าบริการจากอิทธิพลใดๆใช้งานง่าย ตาม pasch สถานที่เพียงแห่งเดียวที่คาดเดาควรมีบทบาทในการตัดสินใจว่าไม่ต้องพิสูจน์)และความคิดโบราณที่ควรจะเป็น ดังนั้นสำหรับ paschจุดนัดพบคือความคิดโบราณแต่สาย(สายตรง)ไม่ได้เนื่องจากเรามีสัญชาตญาณที่ดีเกี่ยวกับจุดแต่ไม่มีใครเคยเห็นหรือมีประสบการณ์กับสายแบบไม่มีขอบเขตที่เคยมีมา ความคิดความเชื่อโบราณที่ pasch ใช้ในที่ที่เป็นตลาดสาย.

pasch สังเกตเห็นว่าการสั่งซื้อที่ของจุดในคู่สาย(หรืออย่างทัดเทียมหรือไม่คุณสมบัติการปนเปื้อนในกลุ่มสาย)ไม่ถูกต้องแก้ไขได้โดยไม่ต้องพิสูจน์)ของยู - คลิดจึงบทพิสูจน์ของ pasch ระบุว่าหากความสัมพันธ์สองบรรทัดค้างไว้แล้วส่วนการปนเปื้อนในหนึ่งในสามที่ยังเป็นเจ้าของไม่สามารถได้รับการพิสูจน์แล้วจากไม่ต้องพิสูจน์)ของแบบฝึกหัดเลขาคณิต ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ของ pasch ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับงานของคุณสมบัติของทางแยกของเส้นและเครื่องหมายสามเหลี่ยม.

pasch บนพื้นฐานที่ตั้งค่ามาตรฐานสำหรับความรุนแรงไม่เฉพาะในรูปทรงเรขาคณิตแต่ยังอยู่ในบริบทที่กว้างของวิชาคณิตศาสตร์แนวความคิดที่โดดเด่นของเขาในตอนนี้รู้จักกันโดยทั่วไปแล้วว่ามันเป็นเรื่องยากที่จะจำได้ว่าพวกเขามีผู้ริเริ่มเพียงตัวเดียว งานของ pasch รับอิทธิพลโดยตรงนักคณิตศาสตร์อื่นๆจำนวนมากใน D . hilbert เฉพาะและอาหารอิตาเลียนนักคณิตศาสตร์ guiseppi peano ( 1858-1932 ) งานของ peano ส่วนใหญ่แล้วการแปลตำราของ pasch เข้าไปในรูปแบบเชิงตรรกะของสัญลักษณ์(ซึ่ง peano ผู้ประดิษฐ์คิดค้นขึ้นมา)ใช้ความคิดความเชื่อเกี่ยวกับความดั้งเดิมของ betweeness และจุดเชื่อมต่อ การพัก peano City Tie ในเชิงประจักษ์ที่อยู่ในทางเลือกของความคิดความเข้าใจง่ายและไม่ต้องพิสูจน์)ที่ pasch ที่จำเป็น สำหรับ peano ทั้งระบบที่มีอย่างเป็นทางการอย่างแท้จริงหย่าขาดจากอินพุตในเชิงประจักษ์ใดๆ.