8) If that submap does not contain

8) If that submap does not contain g, then, within that submap, recolor all red regions green and all green regions red. We now have a 4-coloring of M-v in which no neighbor of v is red. Therefore coloring v red results in a 4-coloring of M. Contradiction.
9) The contradiction in step 8 shows that the submap in step 7 must contain g. Therefore there exists an alternating path of red and green regions that divides M-v into two parts such that y is in one and b is in the other. See figure 1.
10) Within the part containing y, recolor all yellow regions blue and all blue regions yellow. We now have a new 4-coloring of M-v in which no neighbor of v is yellow. Therefore coloring v yellow results in a 4-coloring of M. Also a contradiction. CASE 1 leads to a contradiction either way, so it must be false.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

8) หาก submap ที่ไม่ประกอบด้วยกรัมแล้วภายใน submap ที่เปลี่ยนสีภูมิภาคสีแดงสีเขียวทั้งหมดและทุกภูมิภาคสีเขียวสีแดง ขณะนี้เรามี 4 สีของ Mv ที่เพื่อนบ้านของวีไม่เป็นสีแดง ดังนั้นสีวีผลสีแดงใน 4 สีของเอ็มขัดแย้ง.
9) ความขัดแย้งในขั้นตอนที่ 8 แสดงให้เห็นว่า submap ในขั้นตอนที่ 7 จะต้องมีกรัม ดังนั้นมีอยู่เส้นทางสลับพื้นที่สีแดงและสีเขียวที่แบ่ง Mv ออกเป็นสองส่วนดังกล่าวว่าและเป็นหนึ่งและ B ที่อยู่ในที่อื่น ๆ ดูรูปที่ 1.
10) ภายในเป็นส่วนหนึ่งที่มีและที่เปลี่ยนสีบริเวณสีเหลืองสีฟ้าทั้งหมดและภูมิภาคสีฟ้าสีเหลืองทั้งหมด ขณะนี้เรามีใหม่ 4 สีของ Mv ที่เพื่อนบ้านของวีไม่เป็นสีเหลือง ดังนั้นสีวีผลสีเหลืองใน 4 สีของเอ็มนอกจากนี้ความขัดแย้ง กรณีที่ 1 นำไปสู่ความขัดแย้งทางใดทางหนึ่งดังนั้นจึงต้องเป็นเท็จ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

8 ) ถ้า submap ไม่ประกอบด้วยกรัม จากนั้น ภายใน ที่ submap เปลี่ยนสีแดง , สีเขียวและพื้นที่สีเขียวพื้นที่สีแดง ตอนนี้เรามี 4-coloring ของ m-v ที่ไม่มีเพื่อนบ้านของ V สีแดง ดังนั้นสี V ผลสีแดงใน 4-coloring M .
9 ) ความขัดแย้ง ความขัดแย้งในขั้นตอนที่ 8 พบว่า submap ในขั้นตอนที่ 7 มี .จึงมีการสลับเส้นทางของสีแดงและสีเขียว ขอบเขตที่แบ่งออกเป็นสองส่วนที่ m-v y และ B เป็นหนึ่งในอื่น ๆ รูปที่ 1 .
10 ) ในส่วนที่มี Y , เปลี่ยนสีเหลืองและสีฟ้าภูมิภาคภูมิภาคสีฟ้าสีเหลือง ตอนนี้เรามี 4-coloring ใหม่ของ m-v ที่ไม่มีเพื่อนบ้านของ V เป็นสีเหลือง ดังนั้นสี V สีเหลืองผลใน 4-coloring ของม.นอกจากนี้ ความขัดแย้ง กรณีที่ 1 จะนำไปสู่ความขัดแย้งหรือไม่ ดังนั้นจึงต้องเป็นเท็จ .