AbstractIn this paper any non-homog

Abstract
In this paper any non-homogeneous differential equation with constant
coefficients is reduced to a matrix equation ~q = ~cP. For the discussion, ~q
represents a matrix of constant coefficients to the differential equation, ~c a
matrix of arbitrary constants to the solution, and P is a lower triangular
matrix with entries that are derivatives of the characteristic polynomial
of the differential equation. After careful development, the task becomes
finding a inverse to the matrix P. Interestingly enough, P is a generalized
form of what is termed a Pascal Matrix. [1] An inverse for certain conditions
to such a matrix is proven to exist by the theorem given in the
paper.
This approach was developed in earlier research, [2]. The advantage is
that it uses fundamental concepts such as the linearity of the deriviative,
matrix multiplication, and product rule for derivatives. Futhermore a
precise algorithm to solve a wide variety of differential equations is given
with this approach.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทคัดย่อในนี้กระดาษใด ๆ สมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เหมือนกันกับค่าคงลดลงเป็นสมการทางเมตริกซ์สัมประสิทธิ์ ~ q = ~ cP สำหรับการอภิปราย, ~ qแทนเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์คงที่สมการเชิงอนุพันธ์, ~ c เป็นเป็นเมทริกซ์ของค่าคงที่โดยพลการเพื่อแก้ไขปัญหา และ P ต่ำสามเหลี่ยมเมตริกซ์กับรายการที่เป็นอนุพันธ์ของลักษณะพหุนามของสมการเชิงอนุพันธ์ หลังจากพัฒนาอย่างระมัดระวัง งานจะหาค่าผกผันกับเมตริกซ์ P. น่าสนใจพอ P เป็นการทั่วไปรูปแบบของสิ่งที่เรียกว่าเมทริกซ์ปาสกาล [1 สำหรับบางเงื่อนไขผกผัน]การเมทริกซ์ดังกล่าวมีการพิสูจน์ว่ามีอยู่ โดยทฤษฎีบทที่ได้รับในการกระดาษวิธีการนี้ได้รับการพัฒนาในงานวิจัยก่อนหน้านี้, [2] ข้อดีคือการใช้แนวคิดพื้นฐานเช่นเป็นเชิงเส้นของ deriviativeการคูณเมทริกซ์ และผลิตภัณฑ์กฎสำหรับอนุพันธ์ Futhermore การให้แม่นยำอัลกอริทึมในการแก้สมการความแตกต่างหลากหลายวิธีนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทคัดย่อ
ในกระดาษนี้ใด ๆ สมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันกับค่าคงที่
ค่าสัมประสิทธิ์จะลดลงไปสมการเมทริกซ์ ~ ~ q = cP สำหรับการอภิปราย ~ Q
หมายถึงเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์คงสมการเชิงอนุพันธ์ที่เป็น ~ CA
เมทริกซ์ของค่าคงที่โดยพลการแก้ปัญหาและ P เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ต่ำกว่า
เมทริกซ์ที่มีรายการที่มีอนุพันธ์ของพหุนามลักษณะ
ของสมการเชิงอนุพันธ์ หลังจากพัฒนาระวังจะกลายเป็นงานที่
หาผกผันกับเมทริกซ์พีที่น่าสนใจพอที่ P ทั่วไปเป็น
รูปแบบของสิ่งที่เรียกว่าปาสกาลเมทริกซ์ [1] ผกผันสำหรับเงื่อนไขบางอย่าง
ไปเช่นเมทริกซ์ได้รับการพิสูจน์ว่ามีอยู่โดยทฤษฎีบทที่กำหนดใน
กระดาษ.
วิธีการนี้ได้รับการพัฒนาในการวิจัยก่อนหน้านี้ [2] ข้อดีคือ
การที่จะใช้แนวคิดพื้นฐานเช่นเส้นตรงของ deriviative การ
คูณเมทริกซ์และกฎสินค้าอนุพันธ์ เอาอีกแล้ว
ขั้นตอนวิธีการที่ถูกต้องในการแก้ปัญหาที่หลากหลายของสมการเชิงอนุพันธ์จะได้รับ
ด้วยวิธีนี้