Cramer showed promise in mathematic

Cramer showed promise in mathematics from an early age. At 18 he received his doctorate and at 20 he was co-chair[1] of mathematics at the University of Geneva.

In 1728 he proposed a solution to the St. Petersburg Paradox that came very close to the concept of expected utility theory given ten years later by Daniel Bernoulli.

He published his best-known work in his forties. This included his treatise on algebraic curves (1750). It contains the earliest demonstration that a curve of the n-th degree is determined by n(n + 3)/2 points on it, in general position. (See Cramer's theorem (algebraic curves)). This led to the misconception that is Cramer's paradox, concerning the number of intersections of two curves compared to the number of points that determine a curve.

He edited the works of the two elder Bernoullis, and wrote on the physical cause of the spheroidal shape of the planets and the motion of their apsides (1730), and on Newton's treatment of cubic curves (1746).

In 1750 he published Cramer's rule, giving a general formula for the solution for any unknown in a linear equation system having a unique solution, in terms of determinants implied by the system. This rule is still standard.

He did extensive travel throughout Europe in the late 1730s, which greatly influenced his works in mathematics. He died in 1752 at Bagnols-sur-Cèze while traveling in southern France to restore his health.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Cramer แสดงสัญญาในคณิตศาสตร์จากอายุต้น ที่ 18 เขาได้รับปริญญาเอกของเขา และที่ 20 เขาเป็นประธานร่วม [1] ของคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเจนีวาใน 1728 เขาเสนอการแก้ไข Paradox เซนต์ปีเตอร์สเบิร์กที่มามากใกล้เคียงกับแนวคิดของทฤษฎีอรรถประโยชน์ที่คาดว่าจะให้สิบปีภายหลัง โดย Daniel Bernoulliเขาเผยแพร่งานของเขารู้จักในเซี่ยงไฮ้ของเขา รวมหนังสือของเขาที่โค้งทางพีชคณิต (1750) ประกอบด้วยการสาธิตเร็วที่โค้งปริญญา n th ถูกกำหนดโดย n(n + 3)/2 จุดนั้น โดยทั่วไปตำแหน่ง (ดูทฤษฎีบทของ Cramer (พีชคณิตเส้นโค้ง)) นี้นำไปสู่การเข้าใจผิดที่ของ Cramer paradox เกี่ยวกับจำนวนของเส้นโค้งที่สองเมื่อเทียบกับจำนวนของจุดที่กำหนดเส้นโค้งเขาแก้ไขงานของ Bernoullis พี่สอง และเขียน บนสาเหตุทางกายภาพรูปร่าง spheroidal ของดาวเคราะห์และการเคลื่อนไหวของของ apsides (1730), และการปฏิบัติของนิวตันของเส้นโค้งลูกบาศก์ (1746)ใน 1750 เขาเผยแพร่กฎของ Cramer ให้มีสูตรทั่วไปสำหรับการแก้ไขปัญหาใด ๆ ที่ไม่รู้จักในระบบสมการเชิงเส้นที่มีโซลูชันเฉพาะ ในแง่ของดีเทอร์มิแนนต์โดยนัย โดยระบบ กฎนี้จะยังคงมาตรฐานเขาได้เดินทางอย่างกว้างขวางทั่วยุโรปใน 1730s ปลาย ซึ่งผลงานในวิชาคณิตศาสตร์ที่ได้รับอิทธิพลอย่างมาก เขาตายใน 1752 ที่ Bagnols-เซอ-Cèze ขณะเดินทางในภาคใต้ของฝรั่งเศสเพื่อฟื้นฟูสุขภาพของเขา

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

Cramer พบสัญญาในวิชาคณิตศาสตร์จากอายุต้น ณ วันที่ 18 เขาได้รับปริญญาเอกของเขาและที่ 20 เขาเป็นประธานร่วม [1] ของคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเจนีวา. ใน 1728 เขาเสนอวิธีการแก้เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก Paradox ที่เข้ามาใกล้มากกับแนวคิดของทฤษฎียูทิลิตี้ที่คาดว่าจะได้รับสิบ ปีต่อมาโดยแดเนียล Bernoulli. เขาตีพิมพ์งานที่รู้จักกันดีของเขาในวัยสี่สิบของเขา นี้รวมถึงหนังสือของเขาใน curves เกี่ยวกับพีชคณิต (1750) มันมีการสาธิตที่เก่าแก่ที่สุดที่โค้งมนของการศึกษาระดับปริญญา N-TH จะถูกกำหนดโดย n (n + 3) / 2 จุดที่มันอยู่ในตำแหน่งทั่วไป (ดู Cramer ทฤษฎีบทของ (เส้นโค้งพีชคณิต)) นี้นำไปสู่ความเข้าใจผิดว่าเป็นความขัดแย้งของ Cramer เกี่ยวกับจำนวนของจุดตัดของสองเส้นโค้งเมื่อเทียบกับจำนวนของจุดที่กำหนดเส้นโค้งได้. เขาแก้ไขผลงานของทั้งสองพี่ Bernoullis และเขียนบนสาเหตุทางกายภาพของรูปทรงกลมของ ดาวเคราะห์และการเคลื่อนไหวของ apsides ของพวกเขา (1730) และเกี่ยวกับการรักษาของนิวตันลูกบาศก์เส้นโค้ง (1746). ใน 1750 เขาตีพิมพ์กฎของ Cramer ให้สูตรทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาสำหรับที่ไม่รู้จักใด ๆ ในระบบสมการเชิงเส้นที่มีวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน ในแง่ของปัจจัยนัยโดยระบบ กฎนี้ยังคงเป็นมาตรฐาน. เขาได้เดินทางไปทั่วยุโรปในช่วงปลายยุค 1730 ซึ่งมีอิทธิพลอย่างมากผลงานของเขาในวิชาคณิตศาสตร์ เขาเสียชีวิตใน 1752 ที่ Bagnols-sur-Ceze ในขณะที่เดินทางในภาคใต้ของฝรั่งเศสเพื่อฟื้นฟูสุขภาพของเขา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

从一个showed保证mathematics Cramer在早期年龄。他收到了他在18 doctorate和他在20）是co-chair [ 1 ]。在mathematics日内瓦大学。他在一个1728 proposed到圣彼得堡悖论的解决方案都是非常紧密的概念expected到效用理论由丹尼尔·伯努利后来因为十年。他在他的最好的作品——发表他的著名treatise 40岁。这包括在代数曲线上的一1750 contains（）。这是一个earliest demonstration曲线的n阶度是由n（n + determined 3）/ 2分上它，在一般（见无利可图。theorem克莱默（代数曲线）。这导致了误解，到那是克莱默的悖论有关intersections number of曲线的两个点是比较determine a number of曲线。在他作品的两个edited elder写道，在Bernoullis和物理形状的球，因为行星的他们的运动和apsides（牛顿），和在1730 ' s of 1746立方曲线（治疗）。在他发表1750克莱默给A，一般规则，任何未知的解决方案，formula在一个线性方程系统。拥有独特的解决方案，在一个方式，通过这个系统。determinants implied仍然使用的是标准的。他在欧洲旅行throughout一样广泛。他的作品，这大大influenced 1730s。他在mathematics died在Bagnols-sur-C 1752在法国南部旅游，而在èze来恢复他的健康。