Forum GeometricorumVolume 16 (2016)

Forum Geometricorum
Volume 16 (2016) 347–354.

FORUM GEOM
ISSN 1534-1178
Two Six-Circle Theorems for Cyclic Pentagons
Gregoire Nicollier ´
Abstract. Miquel’s pentagram theorem is true for any pentagon. We consider
the pentagram obtained by producing the sides of a pentagon and prove two further six-circle theorems, the first for a cyclic pentagram and the second for a
cyclic pentagon. If the pentagram is cyclic, consecutive circumcircles of the ear
edges issued from the same pentagon vertex have concyclic alternate intersections. If the pentagon is cyclic, alternate intersections of the circumcircles of the
rooted ears issued from the same pentagon vertex are concyclic (a rooted ear is
an ear extended by the neighboring sides of the pentagon). Among related results, we also show that the circumcircle of an ear producing opposite sides of a
cyclic quadrilateral and the circumcircle of the corresponding rooted ear are both
tangent to the same two circles centered at the circumcenter of the quadrilateral.
1. Introduction
Take any planar pentagon, not necessarily simple and convex, and consider the
pentagram obtained by producing the sides of the pentagon. By Miquel’s theorem,
the circumcircles of consecutive ears meet at five concyclic points besides the pentagon vertices (Figure 1). We prove two further six-circle theorems, the first for a
cyclic pentagram and the second for a cyclic pentagon (Section 2). Larry Hoehn [5]
found that, for any pentagon, the circumcircles of the ear edges issued from the
same pentagon vertex have a common radical center: we show that alternate intersections of such consecutive circumcircles are concyclic when the pentagram
is cyclic (Figure 2). Dao Thanh Oai [3] discovered experimentally with dynamic
geometry software that alternate intersections of the circumcircles of the rooted
ears issued from the same vertex of a cyclic pentagon are concyclic (a rooted ear is
an ear extended by the neighboring sides of the pentagon): we prove this conjecture by explicit computations and show that this immediately follows from the fact
that these circumcircles have a common radical center (Figure 3). Using similar
computations, we obtain related results in Section 3. Here are two examples: the
circumcircles of Miquel’s theorem have a common radical center when the pentagon is cyclic; the circumcircle of an ear producing opposite sides of a cyclic
quadrilateral and the circumcircle of the corresponding rooted ear are both tangent
to the same two circles centered at the circumcenter of the quadrilateral. We also
give a short computational proof of Dao’s theorem on six circumcenters associated
with a cyclic hexagon [2, 4, 1].
2. The six-circle theorems
Theorem 1. Consider a pentagon A1A2A3A4A5 (possibly nonconvex or selfintersecting) and the pentagram with ear apices Ek+0.5 = Ak−1Ak ∩ Ak+1Ak+2
Publication Date: November 3, 2016. Communicating Editor: Paul Yiu.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ฟอรั่ม Geometricorumปริมาณ 16 (2016) 347-354 GEOM ฟอรั่มนอก 1534-1178สองวงกลมหก Theorems สำหรับวงจร PentagonsGregoire Nicollier แบ็คบทคัดย่อ ทฤษฎีบท pentagram Miquel's เป็นจริงสำหรับรูปห้าเหลี่ยมใด ๆ เราพิจารณาใน pentagram รับผลิตด้านของรูปห้าเหลี่ยม และพิสูจน์ theorems วงกลมหกเพิ่มเติมสอง แรกสำหรับใน pentagram ทุกรอบและที่สองสำหรับการห้าเหลี่ยมวงกลม ถ้าใน pentagram circumcircles ทุกรอบ ติดกันของหูขอบออกจากเพนตากอนจุดยอดเดียวกัน concyclic อื่นแยกได้ ถ้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมตัดวงจร สำรองของ circumcircles ของการรากหูออกจากเพนตากอนจุดยอดเดียวกันเป็น concyclic (หูฝังรากอยู่หูขยายด้านข้างใกล้เคียงของรูปห้าเหลี่ยม) ในบรรดาผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้อง เรายังแสดงที่ circumcircle ของหูด้านตรงข้ามของการผลิตสี่เหลี่ยมวงกลมและ circumcircle หูรากสอดคล้องกันเส้นที่สัมผัสเดียวสองวง circumcenter ของรูปสี่เหลี่ยม1. บทนำใช้ห้าระนาบใด ๆ ไม่จำเป็นต้องง่าย และ นูน และพิจารณาการpentagram รับผลิตด้านของรูปห้าเหลี่ยม โดยทฤษฎีบท Miquel'scircumcircles ติดต่อกันหูของตรงจุด concyclic ด้านนอกจุดเพนตากอน (รูปที่ 1) เราพิสูจน์สองเพิ่มเติมวงกลมหก theorems แรกสำหรับการpentagram ทุกรอบและที่สองสำหรับรูปห้าเหลี่ยมวงกลม (2 ส่วน) Larry Hoehn [5]found that, for any pentagon, the circumcircles of the ear edges issued from thesame pentagon vertex have a common radical center: we show that alternate intersections of such consecutive circumcircles are concyclic when the pentagramis cyclic (Figure 2). Dao Thanh Oai [3] discovered experimentally with dynamicgeometry software that alternate intersections of the circumcircles of the rootedears issued from the same vertex of a cyclic pentagon are concyclic (a rooted ear isan ear extended by the neighboring sides of the pentagon): we prove this conjecture by explicit computations and show that this immediately follows from the factthat these circumcircles have a common radical center (Figure 3). Using similarcomputations, we obtain related results in Section 3. Here are two examples: thecircumcircles of Miquel’s theorem have a common radical center when the pentagon is cyclic; the circumcircle of an ear producing opposite sides of a cyclicquadrilateral and the circumcircle of the corresponding rooted ear are both tangentto the same two circles centered at the circumcenter of the quadrilateral. We alsogive a short computational proof of Dao’s theorem on six circumcenters associatedwith a cyclic hexagon [2, 4, 1].2. The six-circle theoremsTheorem 1. Consider a pentagon A1A2A3A4A5 (possibly nonconvex or selfintersecting) and the pentagram with ear apices Ek+0.5 = Ak−1Ak ∩ Ak+1Ak+2Publication Date: November 3, 2016. Communicating Editor: Paul Yiu.