2. The equation of motionThe simple

2. The equation of motion
The simplest mechanical model for a conveyor belt is a 1D-model in the spatial variable x (see Figs. 1 and
2). In this framework the equation of motion may be written as follows:
utt þ 2Vuxt þ Vtux þ ðV2 c2
Þuxx þ
EI
rA uxxxx ¼ 0, (1)
where uðx; tÞ is the transversal displacement; V is the time-varying belt speed; c is the wave speed due to a
pretension in the belt; E is Young’s modulus; I is the moment of inertia with respect to the belt middle plane,
I ¼ L1h3
=12 (see Fig. 2); r is the mass density of the belt; A is the area of the belt cross-section, A ¼ L1h (see
Fig. 2); x is the space coordinate, and t is time.
The following simply supported boundary conditions are assumed:
u ¼ uxx ¼ 0 for x ¼ 0; pL, (2)
ARTICLE IN PRESS
Fig. 1. A 1D model for conveyor belt.
Fig. 2. The conveyor belt configuration.
I.V. Andrianov, W.T. van Horssen / Journal of Sound and Vibration 313 (2008) 822–829 823
where pL is the distance between the pulleys, and the initial conditions take the following form:
u ¼ jðxÞ; ut ¼ c1ðxÞ for t ¼ 0. (3)
It is supposed that the belt velocity VðtÞ is given by
VðtÞ ¼ 1ðV0 þ a sinðOtÞÞ, (4)
where 0p151; V0; a and O are constants with jV0jbjaj.
Eq. (1) in non-dimensional form becomes:
utt c2
1uxx þ
2
2uxxxx ¼ ux cos t 2ðV1 þ sin tÞuxt
2
ðV1 þ sin tÞ
2
uxx, (5)
where t ¼ Ot; x ¼ x=L; c2
1 ¼ c2=ðL2O2
Þ; V1 ¼ V0=a; ¼ 1a=ðLOÞ; 2
2 ¼ EI=ðrAL4
O2
Þ. For real problems
jj51; 2
251.
In the new variable the boundary and the initial conditions take the following form:
u ¼ 0 for x ¼ 0; p, (6)
uxx ¼ 0 for x ¼ 0; p, (7)
u ¼ jðxÞ; ut ¼ cðxÞ for t ¼ 0, (8)
where cðxÞ ¼ c1=O. To make our ideas more clear it will be assumed for simplicity that c2
11, V1 ¼ 2.
By taking c2
1 ¼ 1 and 2
251 it is additionally assumed that an internal resonance occurs at the lowest
eigenfrequency of the system (see also Ref. [1]).
3. The interplay of small parameters
The main feature in Eq. (5) is the presence of two small parameters, and 2
2. The analysis strongly depends
upon their relations. Generally speaking, one has to consider (at least) three different cases:
ðaÞ
2
25; ðbÞ
2
2; ðcÞ
2
2b.
The analysis will be restricted to case (a), because this case is closely related to relevant problems for the
conveyor belt. Further it will be assumed that 2.
During the analysis one also has to take into account the so-called index of the variation of the function u.
The index of variation of a function uðx; Þ as ! 0 is the number g such that [4,5]:
ux
g
u.
The essence of the index of the variation of the function one can easily see from the following simple
example. When
u ¼ A sinðkxÞ; then ux ¼ Ak cosðkxÞ.
For kg it follows that
uA and uxA
g
.
We also introduce the index of variation d:
ut ¼
d
u.
Comparing the second term and the third term in the left-hand side of Eq. (5) one obtains:
(a) 0pg51, d ¼ g, then the third term in Eq. (5) can be neglected with respect to the second term. Then one
obtains in the first approximation the string model
utt c2
1uxx ¼ f 1ðx; t; uÞ,
where
f 1ðx; t; uÞ¼ux cos t 2ð2 þ sin tÞuxt.
ARTICLE IN PRESS
824 I.V. Andrianov, W.T. van Horssen / Journal of Sound and Vibration 313 (2008) 822–829
(b) g ¼ d ¼ 1=2, then one obtains in the first approximation the string model with another right-hand part
utt c2
1uxx ¼ f 2ðx; t; uÞ,
where
f 2ðx; t; uÞ¼2ð2 þ sin tÞuxt
2
2
1
uxxxx.
(c) g ¼ d ¼ 1, then all terms in the left-hand side of Eq. (5) have the same order (the stretched beam model)
utt c2
1uxx þ
2
1uxxxx ¼ f 3ðx; t; uÞ,
where
f 3ðx; t; uÞ¼2ð2 þ sin tÞuxt.
(d) g ¼ d41, then the second term in Eq. (5) can be neglected with respect to the third (the beam model)
utt þ
2
2uxxxx ¼ f 4ðx; t; uÞ,
where
f 4ðx; t; uÞ ¼ c2
1uxx.
For cases (c) and (d) the boundary conditions have the form (6) and (7). For the string model one must use
only condition (6).
Now the applicability of the above mentioned simplified models can be determined by considering
utt c2
1uxx þ
2
2uxxxx ¼ 0 (9)
subject to the boundary conditions (6) and (7). To determine the eigenfrequencies of this problem the
following ansatz will be used
u ¼ eiot sinðkxÞ; i ¼ ffiffiffiffiffiffi
1 p .
It then follows from Eqs. (9), (6) and (7) that
o ¼ k
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
c2
1 þ 2
2k2
q
. (10)
For the string model one will find that
o ¼ kc1 (11)
and for the beam model
o ¼ 2k2
. (12)
Numerical results for c2
1 ¼ 0:99, 2
2 ¼ 0:01 show that with a 5% error in the frequency o (which is typical for
engineering problems) the string model is approximately valid for 0pkp7, the beam model for kX22, and the
stretched beam model for 8pkp21. Application of the beam model is of course also restricted by the 3D
theory of elasticity, that is, additionally it should be assumed that pL=kbh and L1bh. From now on it will be
assumed that for 1pkpk1 the string model can be used, that for k1 þ 1pkpk2 1 the stretched beam model
can be applied, and that for kXk2 the beam model can be used. In this paper it will be assumed that the
solutions of the separate models are not interacting. In the next two sections the behavior of the string model
and the beam model will be discussed, because these (partly) truncated models have not yet been treated in
the literature.
ARTICLE IN PRESS

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2.
สมการของการเคลื่อนไหวรูปแบบกลที่ง่ายที่สุดสำหรับสายพานลำเลียงเป็น1D แบบในตัวแปร x เชิงพื้นที่ (ดูมะเดื่อ. ที่ 1 และ
2) ในกรอบนี้สมการของการเคลื่อนไหวอาจจะเขียนต่อไปนี้:
Utt þ 2Vuxt þ Vtux þ DV2 c2
Þuxxþ
EI
rA uxxxx ¼ 0, (1)
ที่ UDX; TTH เป็นรางขวางนั้น V เป็นเข็มขัดเวลาที่แตกต่างกันความเร็ว c
คือความเร็วคลื่นเนื่องจากมีข้ออ้างในเข็มขัด; E เป็นโมดูลัสของยัง; ฉันเป็นช่วงเวลาของความเฉื่อยที่เกี่ยวกับเข็มขัดเครื่องบินกลางฉัน¼ L1h3 = 12 (ดูรูปที่ 2.); r คือความหนาแน่นของมวลของเข็มขัด; เป็นพื้นที่ของสายพานตัด, A ¼ L1h (ดูรูปที่2.); x ถูกพื้นที่ประสานงานและเสื้อเป็นเวลาที่. ต่อไปนี้ได้รับการสนับสนุนเพียงเงื่อนไขขอบเขตจะถือว่า: ยู¼ uxx ¼ 0 x ¼ 0; PL, (2) บทความใน PRESS รูป 1. รูปแบบ 1D สำหรับสายพานลำเลียง. รูป 2. การกำหนดค่าสายพานลำเลียง. IV Andrianov, WT รถตู้ Horssen / วารสารเสียงและการสั่นสะเทือน 313 (2008) 822-829 823 ที่ PL คือระยะห่างระหว่างรอกและเงื่อนไขเริ่มต้นใช้รูปแบบต่อไปนี้: ยู¼jðxÞ; ยูทาห์¼c1ðxÞสำหรับ t ¼ 0 (3) มันควรที่ความเร็วเข็มขัดVðtÞจะได้รับจากVðtÞ¼1ðV0þsinðOtÞÞที่ (4) ที่ 0p151; V0; และ O มีค่าคงที่กับ jV0jbjaj. สม (1) ในรูปแบบที่ไม่ใช่มิติกลายเป็น: Utt c2 1uxx þ 2 2uxxxx ¼ UX cos เสื้อ2ðV1þบาปtÞuxt 2 DV1 þบาป TTH 2 uxx (5) เมื่อ t ¼ Ot; ¼ x = x L; c2 1 ¼ c2 = ðL2O2Þ; V1 ¼ V0 = a; ¼ 1a = ðLOÞ; 2 2 ¼ EI = ðrAL4 O2 Þ สำหรับปัญหาที่แท้จริงjj51; 2 251 ในตัวแปรใหม่ขอบเขตและเงื่อนไขเริ่มต้นใช้รูปแบบต่อไปนี้: ยู¼ 0 x ¼ 0; พี (6) uxx ¼ 0 x ¼ 0; พี (7) ยู¼jðxÞ; ยูทาห์¼cðxÞสำหรับ t ¼ 0, (8) ที่cðxÞ¼ c1 = O เพื่อให้ความคิดของเราชัดเจนมากขึ้นก็จะมีการสันนิษฐานว่าสำหรับความเรียบง่ายที่ C2 11 V1 ¼ 2. โดยการ c2 1 ¼ 1 และ 2 251 มันจะสันนิษฐานว่านอกจากนี้เสียงสะท้อนภายในเกิดขึ้นที่ต่ำสุดeigenfrequency ของระบบ (ดูอ้างอิง [1]). 3 มีอิทธิพลซึ่งกันและกันของพารามิเตอร์ขนาดเล็กคุณสมบัติหลักในสมการ (5) คือการปรากฏตัวของสองตัวแปรที่มีขนาดเล็กและ 2 2. การวิเคราะห์อย่างมากขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ของพวกเขา โดยทั่วไปหนึ่งที่มีการพิจารณา (อย่างน้อย) สามกรณีที่แตกต่างกันðaÞ 2 25; ðbÞ 2 2; ðcÞ 2 2b. การวิเคราะห์จะถูก จำกัด กรณีตาม (ก) เพราะกรณีนี้เป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับปัญหาที่เกี่ยวข้องสำหรับสายพานลำเลียง นอกจากนี้ก็จะมีการสันนิษฐานว่า 2. ในระหว่างการวิเคราะห์หนึ่งยังมีการคำนึงถึงดัชนีที่เรียกว่ารูปแบบของฟังก์ชั่นยู. ดัชนีของรูปแบบของฟังก์ชั่น UDX; Þเป็น! 0 เป็นจำนวนกรัมเช่นว่า [4,5]: UX กรัมยู. สาระสำคัญของดัชนีของรูปแบบของฟังก์ชั่นหนึ่งที่สามารถดูจากง่ายดังต่อไปนี้ตัวอย่างเช่น เมื่อยู¼sinðkxÞ; แล้ว UX ¼ Ak cosðkxÞ. สำหรับกิโลกรัมมันตามที่uA และ uxA กรัม. นอกจากนี้เรายังแนะนำดัชนีของการเปลี่ยนแปลงง: ยูทาห์¼ d ยู. เปรียบเทียบระยะที่สองและระยะที่สามในด้านซ้ายมือของสมการ (5) คนหนึ่งได้: (ก) 0pg51, D ¼กรัมจากนั้นในระยะที่สามในสมการ (5) สามารถละเลยด้วยความเคารพในระยะที่สอง จากนั้นหนึ่งได้รับในครั้งแรกประมาณรูปแบบสตริงUtt c2 1uxx ¼ฉ 1DX; เสื้อ; UTH, ที่ฉ 1DX; เสื้อ; uÞ¼ux cos เสื้อ2ð2þบาปtÞuxt. บทความใน PRESS 824 IV Andrianov, WT รถตู้ Horssen / วารสารเสียงและการสั่นสะเทือน 313 (2008) 822-829 (ข) กง¼¼ 1 = 2 แล้วคนหนึ่งได้ในประมาณแรก รูปแบบสตริงอีกด้วยทางด้านขวามือUtt c2 1uxx ¼ฉ2ðx; เสื้อ; UTH, ที่ฉ2ðx; เสื้อ; uÞ¼2ð2þบาปtÞuxt 2 2 1 uxxxx. (c) d กรัม¼¼ 1 แล้วทั้งหมดในแง่ด้านซ้ายมือของสมการ (5) มีคำสั่งเดียวกัน (รูปแบบคานขึง) Utt c2 1uxx þ 2 1uxxxx ¼ฉ 3DX; เสื้อ; UTH, ที่ฉ 3DX; เสื้อ; uÞ¼2ð2þบาปtÞuxt. (ง) กรัม¼ D41 แล้วระยะที่สองในสมการ (5) สามารถละเลยที่เกี่ยวกับสาม (รูปแบบคาน) Utt þ 2 2uxxxx ¼ฉ 4DX; เสื้อ; UTH, ที่ฉ 4DX; เสื้อ; UTH ¼ c2 1uxx. สำหรับกรณี (ค) และ (ง) เงื่อนไขขอบเขตมีรูปแบบ (6) และ (7) สำหรับรูปแบบสตริงหนึ่งต้องใช้เงื่อนไขเดียว (6). ตอนนี้การบังคับใช้ดังกล่าวข้างต้นรูปแบบที่เรียบง่ายที่สามารถกำหนดโดยพิจารณาUtt c2 1uxx þ 2 2uxxxx ¼ 0 (9) ภายใต้เงื่อนไขขอบเขต (6) และ (7) . การตรวจสอบความถี่ของปัญหานี้ansatz ต่อไปนี้จะถูกนำมาใช้ยู¼ eiot sinðkxÞ; ฉัน¼ ffiffiffiffiffiffi 1 พี. จากนั้นต่อจาก EQS (9) (6) และ (7) ที่o ¼ k ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c2 1 þ 2 2k2 คิว (10) สำหรับรูปแบบสตริงหนึ่งจะพบว่าo ¼ kc1 (11) และสำหรับรูปแบบคานo ¼ 2k2 (12) ผลตัวเลขสำหรับ c2 1 ¼ 0:99 2 2 ¼ 00:01 แสดงให้เห็นว่ามีข้อผิดพลาด 5% ในความถี่ o (ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาทางวิศวกรรม) รูปแบบสตริงจะอยู่ที่ประมาณที่ถูกต้องสำหรับ 0pkp7 รุ่นคาน สำหรับ kX22 และรูปแบบคานขึงสำหรับ8pkp21 แอพลิเคชันของรูปแบบคานเป็นหลักสูตรที่ยัง จำกัด โดย 3 มิติทฤษฎีของความยืดหยุ่น, ที่อยู่, นอกจากนี้ก็ควรจะคิดว่า PL = KBH และ L1bh จากนี้ไปก็จะมีการสันนิษฐานว่าสำหรับรูปแบบ 1pkpk1 สตริงสามารถนำมาใช้สำหรับ k1 þ 1pkpk2 1 รูปแบบคานขึงสามารถนำมาใช้และที่สำหรับkXk2 รูปแบบลำแสงที่สามารถใช้ ในบทความนี้จะได้รับการสันนิษฐานว่าการแก้ปัญหาในรูปแบบที่แยกจากกันไม่ได้มีปฏิสัมพันธ์ ในอีกสองส่วนพฤติกรรมของรูปแบบสตริงและรูปแบบคานจะมีการหารือเพราะสิ่งเหล่านี้ (บางส่วน) รุ่นที่ถูกตัดทอนยังไม่ได้รับการรักษาในวรรณคดี. บทความในข่าว

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2 . สมการของการเคลื่อนไหว
รูปแบบเชิงกลที่ง่ายที่สุดสำหรับสายพานเป็นรูปแบบ 1D ในพื้นที่ตัวแปร x ( ดูมะเดื่อ . 1
2 ) ในกรอบนี้สมการของการเคลื่อนไหวอาจจะเขียนได้ดังนี้
ในþ 2vuxt þ vtux þð V2 C2


Þ uxx þ EI รา uxxxx ¼ 0 ( 1 )
ที่ð x ; t Þคือการกระจัดขวาง ; v คือความเร็วสายพานเวลา ; C เป็นคลื่นความเร็ว เนื่องจาก เพื่อการเรียกร้องในเข็มขัด
;E คือ ค่าโมดูลัสของยัง ฉันมีโมเมนต์ความเฉื่อยส่วนเข็มขัดกลางเครื่องบิน
ฉัน¼ l1h3
= 12 ( ดูรูปที่ 2 ) ; r คือ ความหนาแน่นของมวลของเข็มขัด และเป็นบริเวณของสายพานตัด , ¼ l1h ( ดูรูปที่ 2
; X คือ ติดต่อประสานงานพื้นที่และ t คือเวลา
ต่อไปนี้เพียงแค่การสนับสนุนเงื่อนไขขอบเขตสมมติ :
U ¼ uxx ¼ 0 x ¼ 0 ; pl ( 2 )

รูปที่ 1 บทความในกด .แบบ 1D สำหรับสายพาน
รูปที่ 2 สายพานปรับแต่ง andrianov w.t.
IV , รถตู้ horssen / วารสารเสียงและการสั่นสะเทือน 313 ( 2008 ) 822 823
ที่–แล้วคุณคือระยะห่างระหว่าง รอก และเงื่อนไขเบื้องต้นใช้รูปแบบต่อไปนี้ :
U ¼ J ð x Þ ; UT ¼ C1 ð x Þสำหรับ t ¼ 0 ( 3 )
มันคิดว่าสายพานความเร็ว v ð T Þรับ
v ð T Þ¼ 1 ðการผลิþบาปð OT ÞÞ ( 4 ) ที่ 0p151 การผลิ ;
;และ O เป็นค่าคงที่กับ jv0jbjaj .
อีคิว ( 1 ) ไม่ใช่มิติรูปแบบเป็น C2

ใน 1uxx þ
2
2uxxxx ¼ ux cos t 2 ð V1 þบาปÞ uxt
2 T
T ð V1 þบาปÞ
2
uxx ( 5 ) ที่ T
¼ ot ; x ¼ x = L ; C2
1 ¼ C2 = ð l2o2
Þ ; V1 ¼การผลิ¼ 1A = = ; ðโลÞ ; 2
2 ¼ EI = ð ral4 O2

Þ . จริงๆปัญหา jj51
2
251 .
ในตัวแปรใหม่ขอบเขตและเงื่อนไขเบื้องต้นใช้รูปแบบต่อไปนี้ :
U ¼ 0 x ¼ 0 ; P ,
( 6 )uxx ¼ 0 x ¼ 0 ; P ( 7 )
U ¼ J ð x Þ ; UT ¼ C ð x Þสำหรับ t ¼ 0 ( 8 )
เมื่อ C ð x Þ¼ C1 = O เพื่อให้ความคิดของเราชัดเจนมากขึ้นก็จะถือว่าสำหรับความเรียบง่ายที่¼ v1 C2
11 2 . โดยการใช้ C2

1 ¼ 1 และ 2
มันเป็นนอกจากนี้สันนิษฐานว่าเรโซแนนซ์ภายในเกิดขึ้นที่ eigenfrequency สุด
ของระบบ ( ดูยัง ) [ 1 ] )
3 อิทธิพลของพารามิเตอร์ขนาดเล็ก
คุณสมบัติหลักในอีคิว( 5 ) มีการแสดงตนของทั้งสองพารามิเตอร์ขนาดเล็กและ 2
2 การวิเคราะห์ขอขึ้นอยู่กับ
เมื่อความสัมพันธ์ของพวกเขา โดยทั่วไปแล้ว มีการพิจารณา ( อย่างน้อย ) สามกรณีที่แตกต่างกัน :
ðเป็นÞ
2
25 ; ð B Þ
2
2 C ; ðÞ
2
2B
การวิเคราะห์จะถูกคดี ( ) เพราะคดีนี้เกี่ยวข้องกับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับ
สายพานลำเลียง ต่อไปมันจะสันนิษฐานว่า 2