Ancient Square RootsThe ancient Bab

Ancient Square Roots

The ancient Babylonians had a nice method of computing square roots
that can be applied using only simple arithmetic operations. To find
a rational approximation for the square root of an integer N, let k
be any number such that k^2 is less than N. Then k is slightly less
than the square root of N, and so N/k is slightly greater than the
square root of N. It follows that the average of these two numbers
gives an even closer estimate

k + N/k
k_new = -------
2

Iterating this formula leads to k values that converge very rapidly
on the square root of N. This formula is sometimes attributed to
Heron of Alexandria, because he described it in his "Metrica", but
it was evidently known to the Babylonians much earlier.

It's interesting to note that this formula can be seen as a special
case of a more general formula for the nth roots of N, which arises
from the ancient Greek "ladder arithmetic", which we would call
linear recurring sequences. The basic "ladder rule" for generating
a sequence of integers to yield the square root of a number N is the
recurrence formula

s[j] = 2k s[j-1] + (N-k^2) s[j-2]

where k is the largest integer such that k^2 is less than N. The
ratio s[j+1]/s[j] approaches sqrt(A) + N as j goes to infinity. The
sequence s[j] is closely related to the continued fraction for
sqrt(N). This method does not converge as rapidly as the Babylonian
formula, but it's often more convenient for finding the "best"
rational approximations for denominators of a given size.

As an example, to find r = sqrt(7) we have N=7 and k=2, so the
recurrence formula is simply s[j] = 4s[j-1] + 3s[j-2]. If we choose
the initial values s[0]=0 and s[1]=1 we have the following sequence

0, 1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008, 190513, 885076, ...

On this basis, the successive approximations and their squares are

r r^2
--------------------- -----------------
(4/1) - 2 4.0
(19/4) - 2 7.5625
(88/19) - 2 6.9252...
(409/88) - 2 7.0104...
(1900/409) - 2 6.99854...
(8827/1900) - 2 7.000201...
(41008/8827) - 2 6.9999719...
(190513/41008) - 2 7.00000390...
(885076/190513) - 2 6.999999457...
etc.

Incidentally, applying this method to the square root of 3 gives the
upper and lower bounds used by Archimedes in his calculation of pi.
(See Archimedes and Sqrt(3).)

The reasoning by which the ancient Greeks arrived at this "ladder
arithmetic" is not known, but from a modern perspective it follows
directly from the elementary theory of difference equations and
linear recurrences. If we let q denote the ratio of successive
terms q = s[j+1]/s[j], then the proposition is that q approaches
sqrt(N) + k. In other words, we are trying to find the number q
such that
(q - k)^2 = N

Expanding this and re-arranging terms gives

q^2 - 2k q - (N-k^2) = 0

It follows that the sequence of numbers s[0]=1, s[1]=q, s[2]=q^2,..,
s[k]=q^k,... satisfies the recurrence

s[n] = 2k s[n-1] + (N-k^2) s[n-2]

as can be seen by dividing through by s[n-2] and noting that q equals
s[n-1]/s[n-2] and q^2 = s[n]/s[n-2]. Not surprisingly, then, if we
apply this recurrence to arbitrary initial values s[0], s[1], the
ratio of consecutive terms of the resulting sequence approaches q.
(This is shown more rigorously below.)

It's interesting that if we assume an EXACT rational (non-integer)
value for sqrt(A) and exercise the algorithm in reverse, we generate
an infinite sequence of positive integers whose magnitudes are
strictly decreasing, which of course is impossible. From this
the Greeks might have inferred that there can not be an exact
rational expression for any non-integer square root, and thereby
discovered irrational numbers.

A similar method can be used to give the 3rd, 4th, or any higher root
of any integer using only simple integer operations. In fact, this
same method can be applied to find the largest real root of arbitrary
polynomials. To illustrate, consider the general polynomial

x^k - c1 x^(k-1) - c2 x^(k-2) ... - ck = 0 (1)

The corresponding linear recurrence is

s[n] = c1 s[n-1] + c2 s[n-2] + ... + ck s[n-k] (2)

If we let r1,r2,...,rk denote the k distinct roots of this polynomial,
then s[n] is given by

s[n] = A1 r1^n + A2 r2^n + ... + Ak rk^n

where the coefficients A1,A2,..,Ak are constants which may be
determined by n initial values of the sequence. If r1 is the
greatest of the roots (in terms of the norms) and is a positive
real number then, as n increases, the first term of s[n] becomes
dominant, and so the ratio s[n+1]/s[n] approaches

[A r1^(n+1)] / [A r1^n] = r1

Hence we can use the recurrence relation (2) to generate arbitrarily
precise rational approximations of the largest root of (1). This is
why the ratio of successive Fibonacci numbers 1,1,2,3,5,8,13,21,...
goes to the dominant root of x^2 - x - 1, which is [1+sqr(5)]/2.

To illustrate, consider the "Tribonacci s

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

โบราณรากชาวบาบิโลนโบราณมีวิธีการคำนวณรากที่ดีที่สามารถใช้ได้ใช้คณิตง่ายเท่านั้น ค้นหาประมาณการมีเหตุผลสำหรับรากที่สองของจำนวนเต็ม N, k ให้ เป็นตัวเลขใด ๆ ดังกล่าวที่ k ^ 2 มีค่าน้อยกว่า n แล้ว k จะเล็กน้อยน้อย กว่ารากที่สองของ N และดังนั้น N/k เล็กน้อยมากกว่าการ รากที่สองของ n มันตามที่ค่าเฉลี่ยของตัวเลขสองตัว ทำให้การประเมินใกล้k + N/kk_new =---2วนสูตรนี้นำไปสู่ค่า k ที่มาบรรจบกันอย่างรวดเร็วบนรากของ N. สูตรนี้บางครั้งเกิดจากนกกระสาอเล็กซานเดรี เพราะเขาอธิบายในของเขา "Metrica" แต่มันอย่างเห็นได้ชัดรู้จักชาวบาบิโลนมากก่อนหน้านี้ เป็นที่น่าสนใจทราบว่า สูตรนี้จะได้เป็นพิเศษ กรณีของสูตรทั่วไปสำหรับรากเกิดขึ้นที่ n N ซึ่งเกิดขึ้นจากรีกโบราณ "คณิตศาสตร์บันได" ซึ่งเราจะเรียกเชิงเส้นลำดับซ้ำ "บันไดกฎ" สำหรับการสร้างพื้นฐาน เป็นลำดับของจำนวนเต็มเพื่อให้รากที่สองของจำนวน N ตัว สูตรประจำs [j] = k s 2 [ประเภท j-1] + (N-k ^ 2) s [j-2]โดยที่ k คือ จำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดเช่นที่ k ^ 2 มีค่าน้อยกว่า n การ อัตราส่วน s [j + 1] / s [j] วิธี sqrt(A) + N เป็น j ไปอนันต์ การ ลำดับ s [j] ใกล้ชิดเกี่ยวข้องกับเศษส่วนต่อเนื่องสำหรับsqrt(N) วิธีนี้ไม่ converge เป็นอย่างรวดเร็วเป็นที่บาบิโลนสูตร แต่ของมักจะสะดวกกว่าสำหรับการค้นหา "ดีที่สุด" มีเหตุผล approximations สำหรับ denominators ของขนาดที่กำหนดตัวอย่างเช่น การค้นหา r = sqrt(7) N = 7 และ k = 2 ดังนั้น สูตรประจำคือ เพียง s [j] = 4s [ประเภท j-1] + 3s [j-2] ถ้าเราเลือก การเริ่มต้นค่า s [0] = 0 และ s [1] = 1 เรามีลำดับต่อไปนี้0, 1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008, 190513, 885076, ...ในกรณีที่ successive approximations และสี่เหลี่ยมมีr r ^ 2--------------------- -----------------(4/1) - 2 4.0(19/4) - 2 7.5625(88/19) - 2 6.9252 ...(409/88) - 2 7.0104 ...(1900/409) - 2 6.99854 ...(8827/1900) - 2 7.000201 ...(41008/8827) - 2 6.9999719 ...(190513/41008) - 2 7.00000390 ...(885076/190513) - 2 6.999999457 ...ฯลฯโดยบังเอิญ ใช้วิธีนี้กับรากที่สองของให้ 3 ตัวขอบเขตที่ด้านบน และล่างใช้ โดยคิในการคำนวณปี่ของเขา(ดูคิและ Sqrt(3).) เหตุผลที่รีกโบราณมาถึงที่นี้บันได"เลขคณิต"ไม่ทราบ แต่จากมุมมองที่ทันสมัย ได้ดังนี้โดยตรงจากทฤษฎีประถมของสมการความแตกต่าง และประจำเชิงเส้น ถ้าเราปล่อย q แสดงอัตราส่วนต่อเนื่อง เงื่อนไข q = s [j + 1] / s [j], แล้วโจทย์เป็นวิธีที่ qsqrt(N) + k ในคำอื่น ๆ เราพยายามที่จะค้นหาหมายเลข qดังกล่าวว่า (q - k) ^ 2 = Nขยายนี้และการจัดเงื่อนไขให้q ^ 2-2k q - (N-k ^ 2) = 0มันตามที่ลำดับของหมายเลข s [0] = 1, s [1] = q, s [2] = q ^ 2, ...,s [k] = q ^ k,...ตอบสนองการเกิดซ้ำs [n] = s k 2 [n-1] + (N-k ^ 2) s [n-2]สามารถเห็นได้ โดยการหารผ่าน โดย s [n-2] และสังเกตว่า q มีค่าเท่ากับ/ s s [n-1] [n-2] และ q ^ 2 =/ s s [n] [n-2] ไม่น่าแปลกใจ แล้ว ถ้าเรา ใช้การเกิดซ้ำนี้เป็นค่าเริ่มต้นกำหนด s [0], s [1], การ อัตราส่วนของการดำรงตำแหน่งของลำดับผลลัพธ์ใกล้ q(นี้จะแสดงขึ้นอย่างจริงจังด้านล่าง)มันน่าสนใจที่หากเราถือว่าเป็นที่แน่นอนมีเหตุผล (จำนวนเต็ม) สำหรับ sqrt(A) และอัลกอริทึมในการย้อนกลับการออกกำลังกาย เราสร้าง มีลำดับอนันต์ของจำนวนเต็มบวกเพื่อจะ ลดลงโดยเด็ดขาด ซึ่งแน่นอนเป็นไปไม่ จากนี้ชาวกรีอาจได้ข้อสรุปว่า อาจไม่มีความแน่นอน นิพจน์ที่มีเหตุผล สำหรับทุกจำนวนเต็มราก และจึง ค้นพบจำนวนอตรรกยะใช้วิธีการคล้ายจะให้ที่ 3, 4 หรือใด ๆ รากสูงขึ้น ของจำนวนเต็มใด ๆ ใช้งานง่ายเฉพาะจำนวนเต็ม ในความเป็นจริง นี้ สามารถใช้วิธีเดียวกันเพื่อค้นหารากจริงที่ใหญ่ที่สุดของโดยพลการดำรงพระพุทธศาสนา แสดง พิจารณาพหุนามทั่วไปx ^ k - ck x^(k-1) - c2 x^(k-2)... - c1 = 0 (1)มีการเกิดซ้ำของเส้นตรงs [n] = c1 s [n-1] + c2 s [n-2] +... + s ck [n-k (2)ถ้าเราปล่อย r1, r2,..., rk ชีพ k ระดับรากของพหุนามนี้แล้ว s [n] ถูกกำหนดโดยs [n] = A1 r1 ^ n + A2 r2 ^ n +... + Ak rk ^ nซึ่งสัมประสิทธิ์ A1, A2, ..., Ak เป็นค่าคงที่ซึ่งอาจจะ กำหนด โดยค่าเริ่มต้นที่ n ของลำดับ ถ้า r1 เป็น ยิ่งใหญ่ที่สุดของราก (ในแง่ของบรรทัดฐาน) เป็นบวก จำนวนจริงแล้ว เมื่อ n มากขึ้น ระยะแรกของ s [n] กลายเป็น โดดเด่น ดัง นั้นวิธี การ/s s [n + 1] อัตรา [n] [การ r1^(n+1)] / [r1 เป็น [n] = r1ดังนั้น เราสามารถใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด (2) สร้างโดยพลการ approximations เหตุผลที่แม่นยำของรากที่ใหญ่ที่สุดของ (1) นี้เป็น ทำไมอัตราส่วนของ Fibonacci ต่อ ๆ มาหมายเลข 1,1,2,3,5,8,13,21, ...ไปยังรากหลักของ x ^ 2 - x - 1 ซึ่งเป็น [1+sqr(5)] / 2แสดง พิจารณา "Tribonacci s

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

รากที่สองโบราณ

บาบิโลเนียโบราณมีวิธีการที่ดีของการคำนวณราก
ที่สามารถนำไปใช้ดำเนินการทางคณิตศาสตร์ง่ายเท่านั้น เพื่อหา
ประมาณเหตุผลรากที่สองของจำนวนเต็ม N, K ให้
เป็นหมายเลขใด ๆ ดังกล่าวว่า k ^ 2 น้อยกว่า N. แล้ว k คือน้อย
กว่ารากที่สองของ N, และอื่น ๆ N / K เล็กน้อยที่ยิ่งใหญ่กว่า
รากที่สองของเอ็นมันตามที่ค่าเฉลี่ยของทั้งสองตัวเลขที่
จะช่วยให้การประมาณการได้ใกล้ชิด

K + N / K
k_new = -------
2

วนสูตรนี้จะนำไปสู่ค่า K ที่มาบรรจบกันอย่างรวดเร็ว
ในราก ของสหประชาชาติสูตรนี้บางครั้งประกอบกับ
นกกระสาซานเดรียเพราะเขาเล่าว่าใน "Metrica" ของเขา แต่
มันเป็นที่รู้จักอย่างเห็นได้ชัดกับบาบิโลเนียมากก่อนหน้านี้.

มันน่าสนใจที่จะทราบว่าสูตรนี้สามารถมองเห็นเป็นพิเศษ
กรณีของ สูตรทั่วไปมากขึ้นสำหรับรากที่ n ของ N ซึ่งเกิดขึ้น
จากกรีกโบราณ "บันไดทางคณิตศาสตร์" ซึ่งเราจะเรียก
ลำดับที่เกิดขึ้นเชิงเส้น พื้นฐาน "กฎบันได" สำหรับการสร้าง
ลำดับของจำนวนเต็มให้ผลผลิตรากที่สองของจำนวน N คือ
สูตรการกำเริบ

s [เจ] = 2k s [J-1] + (มาริ ^ 2) s [J-2]

ที่ K คือเลขที่ใหญ่ที่สุดเช่นว่า k ^ 2 น้อยกว่าเอ็น
อัตราส่วน s [เจ + 1] / s [เจ] วิธี sqrt (A) + N เป็น J ไปที่อินฟินิตี้
ลำดับ s [เจ] มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับส่วนอย่างต่อเนื่องสำหรับ
sqrt (N) วิธีการนี้ไม่ได้มาบรรจบกันอย่างรวดเร็วเป็นชาวบาบิโลน
สูตร แต่ก็มักจะสะดวกมากขึ้นในการหา "ดีที่สุด"
ประมาณเหตุผลหารของขนาดที่กำหนด.

เป็นตัวอย่างเพื่อหา r = sqrt (7) เรามี N = 7 และ K = 2 ดังนั้น
สูตรการเกิดซ้ำเป็นเพียง s [เจ] = 4s [J-1] + 3s [J-2] ถ้าเราเลือก
ค่าเริ่มต้น s [0] = 0 และ s [1] = 1 เรามีดังต่อไปนี้ลำดับที่

0, 1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008, 190513, 885076, ...

บน พื้นฐานนี้ประมาณเนื่องและสี่เหลี่ยมของพวกเขามี

R R ^ 2
--------------------- ---------------- -
(4/1) - 2 4.0
(19/4) - 2 7.5625
(88/19) - 2 6.9252 ...
(409/88) - 2 7.0104 ...
(1900/409) - 2 6.99854 ...
(8827/1900) - 2 7.000201 ...
(41008/8827) - 2 6.9999719 ...
(190513/41008) - 2 7.00000390 ...
(885076/190513) - 2 6.999999457 ...
ฯลฯ

อนึ่งใช้นี้ วิธีการเพื่อให้รากที่สองของ 3 ให้
ขอบเขตบนและล่างใช้โดย Archimedes ในการคำนวณของเขา Pi.
(ดู Archimedes และ Sqrt (3).)

เหตุผลที่ชาวกรีกโบราณมาถึงนี้ "บันได
ทางคณิตศาสตร์" ไม่เป็นที่รู้จัก แต่จากมุมมองที่ทันสมัยได้เป็นไปตาม
โดยตรงจากทฤษฎีเบื้องต้นของสมการความแตกต่างและ
การกลับเป็นซ้ำเชิงเส้น ถ้าเราปล่อย Q แสดงถึงสัดส่วนระหว่างเนื่อง
แง่ q = s [เจ + 1] / S [เจ] จากนั้นเรื่องก็คือว่า q วิธี
sqrt (N) + K ในคำอื่น ๆ ที่เรากำลังพยายามที่จะหา Q จำนวน
ดังกล่าวว่า
(Q - k) ^ 2 = ไม่มี

การขยายนี้และอีกครั้งจัดแง่ให้

Q ^ 2 - 2k Q - (มาริ ^ 2) = 0

มันตามที่ลำดับ หมายเลข s [0] = 1, s [1] = Q, s [2] = Q ^ 2, .. ,
s [K] = Q ^ K ... ตอบสนองการเกิดซ้ำ

s [n] = 2k s [n-1] + (มาริ ^ 2) s [n-2]

สามารถมองเห็นได้โดยการหารผ่านมาโดย s [n-2] และสังเกตว่า q เท่ากับ
s [n-1] / s [n-2] Q ^ 2 = s [n] / s [n-2] ไม่น่าแปลกใจแล้วถ้าเรา
ใช้การกำเริบนี้โดยพลการค่าเริ่มต้น s [0], S [1] ที่
อัตราส่วนของวาระติดต่อกันของลำดับส่งผลให้แนวทาง Q.
(นี่ก็แสดงให้เห็นอย่างเคร่งครัดมากขึ้นด้านล่าง.)

ก็น่าสนใจว่าถ้าเรา ถือว่ามีเหตุผล (ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม) EXACT
ค่าสำหรับ sqrt (A) และการออกกำลังกายขั้นตอนวิธีการในสิ่งที่ตรงกันข้ามเราสร้าง
ลำดับอนันต์ของจำนวนเต็มบวกที่มีขนาดกำลัง
ลดลงอย่างเคร่งครัดซึ่งแน่นอนว่าเป็นไปไม่ได้ จากนี้
ชาวกรีกอาจจะเหมาเอาว่ามีไม่สามารถเป็นที่แน่นอน
แสดงออกเหตุผลที่ไม่ใช่จำนวนเต็มรากใด ๆ และจึง
ค้นพบตัวเลขไม่ลงตัว.

วิธีการที่คล้ายกันสามารถนำมาใช้เพื่อให้ 3, 4 หรือรากสูงใด ๆ
ของจำนวนเต็มใด ๆ โดยใช้การดำเนินงานจำนวนเต็มง่ายเท่านั้น ในความเป็นจริงนี้
วิธีการเดียวกันสามารถนำมาใช้ในการหารากที่แท้จริงที่ใหญ่ที่สุดของพล
พหุนาม เพื่อแสดงให้พิจารณาทั่วไปพหุนาม

x ^ K - C1 x ^ (K-1) - C2 x ^ (K-2) ... - CK = 0 (1)

การทำซ้ำเชิงเส้นที่สอดคล้องกันคือ

s [N] = C1 s [n-1] + C2 s [n-2] + ... + CK s [NK] (2)

ถ้าเราปล่อย R1, R2, ... , RK แสดงว่า K รากที่แตกต่างของพหุนามนี้
แล้ว s [ n] จะได้รับโดย

s [n] = A1 R1 ^ n + A2 R2 ^ n + ... + Ak RK ^ n

ที่ค่าสัมประสิทธิ์ A1, A2, .. , Ak มีค่าคงที่ซึ่งอาจจะ
กำหนดโดย n ค่าเริ่มต้นของ ลำดับ ถ้า R1 เป็น
ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของราก (ในแง่ของบรรทัดฐาน) และเป็นบวก
จำนวนจริงแล้ว n เพิ่มขึ้นในระยะแรกของ s [N] กลายเป็น
ที่โดดเด่นและเพื่อให้อัตราส่วนฯ [N + 1] / S [n] วิธี

[A R1 ^ (n + 1)] / [A R1 ^ n] = R1

ดังนั้นเราสามารถใช้ความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นอีก (2) เพื่อสร้างโดยพล
การประมาณเหตุผลที่แม่นยำของรากที่ใหญ่ที่สุดของ (1) นี่คือ
เหตุผลที่อัตราส่วนของตัวเลข Fibonacci เนื่อง 1,1,2,3,5,8,13,21 ที่ ...
ไปที่รากที่โดดเด่นของ x ^ 2 - X - 1 ซึ่งเป็น [1 + ตร (5 )] / 2.

เพื่อแสดงให้พิจารณา "Tribonacci s