Lemma 2. Let G' be a graph which is

Lemma 2.

Let G' be a graph which is k-choosable but not free k-choosable, v* a bad
vertex of G' and ~ := { f l , f 2 ..... fk-1} an arbitrary set of k- 1 colours.

There exists a list assignment Lv.,.~ ([L(v) I = k Vv E V(G)) so that qY(v*) E J~ is satisfied for every Lv*, ~-list colouring (p'.


Proof.

Let v* be a bad vertex. We use the known list assignment L' with
qg(v*) E U(v*) {f'} (for all U-list colourings of G) and rename the colours in
a suitable way: Let { f l , f 2 ..... fn} :: Uvev(c,)L'(v) be the set of colours appearing in the list assignment L'.

Define an injection ~k : { f l , f 2 , . . . , f n } ~ N assigning
L' (v*) { f ' ) to ~ and (for example) qJ(fi):= i+ma x ( { f l , f 2 ..... f , ) U~~, ) for all f q~L'(v*) {f'}. []


Lemmas 1 and 2 show that there is an important difference between the concepts 'kchoosability' and 'free k-choosability'.

Therefore, it seems that the conjecture 'Every planar graph is free 5-choosable' is stronger than 'Every planar graph is 5-choosable'.


Nevertheless, we will prove that they are equivalent.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

จับมือ 2 ให้ G' เป็นกราฟที่ไม่ฟรี แต่ k choosable k choosable, v * เสียจุดยอดของ G' และ ~: = { f l, f 2... fk-1 } ชุดการกำหนดสี k-1 มีการกำหนดรายการ Lv., . ~ ([L(v) ฉัน = k V(G)) E เหล่านั้นที่ qY(v*) E J ~ จะพอใจสำหรับทุก Lv *, ~ -รายการให้สี (p'.หลักฐานการ ให้ v * เป็นจุดยอดดี เราใช้การกำหนดรายการรู้จัก L' ด้วยqg(v*) E U(v*) { f'} (สำหรับ colourings U-รายการทั้งหมดของ G) และเปลี่ยนชื่อสีต่าง ๆวิธีที่เหมาะสม: ให้ { f l, f 2... fn }:: Uvev(c,)L'(v) เป็นชุดของสีที่ปรากฏในรายการกำหนด L'. กำหนดฉีด ~ k: {f l, f 2,... f n } ~ N กำหนดL' (v *) { f ') ไป ~ และ qJ(fi) (ตัวอย่าง): =ฉัน + ม้า x ({ f l, f 2... f,) U ~ ~,) สำหรับ q f ทั้งหมด ~ L'(v*) { f'} []ดู lemmas 1 และ 2 ที่มีความแตกต่างระหว่างแนวคิด 'kchoosability' และ 'ฟรี k-choosability' ดังนั้น มันดูเหมือนว่าข้อความคาดการณ์ 'กราฟเชิงระนาบทุกเป็นฟรี 5 choosable' จะแข็งแกร่งกว่า"กราฟเชิงระนาบทุก 5 choosable'อย่างไรก็ตาม เราจะพิสูจน์ว่า พวกเขาจะเทียบเท่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

. บทแทรก 2 Let G 'เป็นกราฟซึ่งเป็น k-choosable แต่ไม่ฟรี k-choosable, v * ไม่ดีจุดสุดยอดของ G 'และ ~: = {ชั้น F 2 ..... FK-1} ชุดโดยพลการ ของ K-1 สี. มีการกำหนดรายการ Lv มีอยู่.. ~ ([L (V) I = k Vv EV (G)) เพื่อให้ QY (V *) EJ ~ เป็นที่พอใจสำหรับทุก Lv * ~ รายชื่อ สี (P '. หลักฐาน. ขอวี * เป็นจุดสุดยอดที่ไม่ดี. เราใช้การกำหนดรายชื่อที่รู้จักกัน L 'กับQG (V *) สหภาพยุโรป (V *) {f '} (สำหรับทุกสี U-รายการ G) และ เปลี่ยนชื่อสีในทางที่เหมาะสม: Let {ชั้น F 2 ..... Fn} :: Uvev (ค) L '(V) เป็นชุดของสีที่ปรากฏในการกำหนดรายชื่อ L'. กำหนดฉีด ~ K: {... ชั้น F 2, Fn} ~ ยังไม่มีการกำหนดL '(V *) {f') เพื่อ ~ และ (ตัวอย่าง) qJ (FI) = i + แม่ x ({ชั้นฉ 2 ..... ฉ) U ~~) สำหรับ FQ ทั้งหมด ~ L '(V *) {f'} [] lemmas 1 และ 2 แสดงให้เห็นว่ามีความแตกต่างที่สำคัญระหว่าง 'kchoosability' แนวคิดและ 'K-choosability'. ดังนั้นจึงดูเหมือนว่าการคาดคะเน 'ทุกภาพถ่ายกราฟฟรี 5-choosable' แข็งแรงกว่า 'ภาพถ่ายทุก กราฟคือ 5-choosable '. แต่เราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าพวกเขามีความคิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พ 2

ให้ G เป็นกราฟซึ่งเป็น k-choosable แต่ไม่ k-choosable ฟรี , V * จุดยอดแย่
G ' ~ : = { F L , F 2 . . . . . fk-1 } เป็นหนึ่งชุดของ K - 1 สี

มีรายการงาน LV . , ~ ( [ L ( v ) = k ข้อ E V ( G ) ) เพื่อให้ qy ( V * ) E j ~ สะใจทุกเลเวล * ~ - รายการสี ( P '


หลักฐาน

ขอ V * เป็นยอดแย่ เราใช้งาน L ' กับ
รู้จักรายการqg ( V * ) E u ( V * ) { f ' } ( สำหรับ u-list colourings G ) และเปลี่ยนสีในทางที่เหมาะสมกัน
: { f L , F 2 . . . . . FN } : : uvev ( C ) L ' ( V ) เป็นชุดของสีที่ปรากฏในรายการงาน L '

กำหนดฉีด ~ K : { F L , f 2 , . . . . . . . . , F - } N ให้
( v * L ' f ' { ) ) ~ ( ตัวอย่าง ) QJ ( FI ) = ฉันมา x ( { 2 F L , F . . . F ) u ~ ~ ) ทุก F Q ~ L ' ( V * ) { f ' } [

]lemmas 1 และ 2 แสดงให้เห็นว่ามีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างแนวคิด ' ' และ ' ' kchoosability k-choosability ฟรี

ดังนั้นดูเหมือนว่าการคาดเดาทุกกราฟเชิงระนาบเป็น 5-choosable ฟรี ' แข็งแกร่งกว่าทุกกราฟเชิงระนาบเป็น 5-choosable '


แต่เราจะพิสูจน์ว่าพวกเขามีค่าเท่ากัน