Difference Between Zero and Nothing

Difference Between Zero and Nothing


Date: 12/12/96 at 10:49:18
From: Alistair Cockburn
Subject: The difference between 0 and nothing

My four-year old asked, "What is the difference between 0 and
nothing?" and my tongue got all tied up. How would you answer?

Thanks - Alistair Cockburn

Date: 12/12/96 at 23:05:40
From: Doctor Pete
Subject: Re: The difference between 0 and nothing

Well, first, I'm kind of surprised that a four-year old would even
assume that there is indeed a difference between "zero" and "nothing,"
for it is not even clear to many older people (as you saw yourself)
that these things are actually different concepts. Most
mathematicians consider 0 to be a number, and "nothing" to be the
empty set; they are related in that the empty set has zero elements in
it; that is, the *cardinality* of the empty set is zero.

To explain a bit more in detail, I will give a bit of set theory at
this point.

We can think of "sets" as collections of objects. For instance, we
can have a set like:

S = {dog, cat, horse, car}

I've used the braces "{ }" to group the objects together. Each object
(dog, for instance), is called an *element*. Such a collection
consists of "subcollections," or *subsets*. That is, there is a
subset of the above set which consists of those elements which are
animals. Mathematicians say:

A = { x in S : x is an animal } = {dog, cat, horse}

We read this as, "A is the set of all x in S such that x is an
animal." So we say that A is *contained* in S. Similarly, we can
define another subset of S as:

N = { x in S : x is a machine } = {car}

Or we could have said:

N = { x in S : x is not an animal }
= { x in S : x not in A }
= S A

Here the backslash "" is another notation mathematicians use, which
is kind of like subtraction. What happens is we let N consist of
elements in S which are not in A. Naturally, one might ask, what is

E = { x in S : x is neither an animal nor a machine } ?

Or, if we really want to be crazy, what is

E = S S ?

Well, it doesn't have any elements. Such a set is called the empty
set, which is written as "{}" or a zero with a slash through it. Why
this is not the same as 0 will become clear if we consider sets of
numbers, rather than sets of objects. For example, let

S = {0, 1, 2, 3, 4}

What is the *cardinality* of S? That is, how many elements does S
have? Clearly, it has 5. Mathematicians write this as |S| = 5.
Now, consider the subset {0} of S. It contains a single element, 0.
But it is not the empty set, for the empty set has *no* elements.
Is the empty set a subset of S? Sure! To see why, ask yourself,
"Is S a subset of itself?" Yes, because S contains itself, or every
element of S is also an element of S (of course). Then S S must
also be a subset of S. But this is, of course, the empty set. So
both {} and {0} are valid subsets of S, but they are not the same.

To see an example of the difference between 0 and {}, we ask, "what is
the value of x such that

5 + x = 3 + 2 ?

Clearly, x = 0 is the answer. Now, what about "what is the value of x
such that:

x + 5 = 1, and x + 1 = 1

Obviously, there is no answer; that is, x = {}.

Now, hopefully, things are a bit more clear. The idea of "nothing"
stems from this notion of a collection. Like eggs in a basket. If
you had no eggs (nothing in the basket), then this is analogous to the
empty set. The *number* of eggs in the basket is zero. So we can
think of "nothing" as a term describing the set itself, whereas "zero"
is a term not describing a set, but an element. The confusion between
the two is a result of the fact that the number of elements in the
empty set is 0. There's a subtle difference in that, one that perhaps
a 4-year old might have a problem understanding. But it's definitely
worth trying to explain.

-Doctor Pete, The Math Forum
Check out our web site! http://mathforum.org/dr.math/

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ความแตกต่างระหว่างศูนย์และไม่มีอะไรวันที่: 12/12/96 10:49:18 ที่จาก: อลิสแตร์เบิร์นเรื่องความแตกต่างระหว่าง 0 และไม่มีอะไรที่ฉันสี่ปีเก่าถามว่า"ความแตกต่างระหว่าง 0 และอะไรคืออะไร?" และลิ้นของฉันได้ทั้งหมดผูกขึ้น วิธีที่คุณจะตอบ? ขอบคุณ - อลิสแตร์เบิร์นวันที่: 12/12/96 23:05:40 ที่จาก: หมอพีทเรื่อง: Re: ความแตกต่างระหว่าง 0 และไม่มีอะไรดีแรกผมชนิดของแปลกใจที่สี่ปีเก่าก็จะคิดว่ามีแน่นอนคือความแตกต่างระหว่าง"ศูนย์" และ "ไม่มีอะไร" มันไม่ได้เป็นแม้กระทั่งที่ชัดเจนให้กับหลาย ๆ คนที่มีอายุมากกว่า (ตามที่คุณเห็นตัวเอง) ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นจริงแนวคิดที่แตกต่าง ส่วนใหญ่นักคณิตศาสตร์พิจารณา 0 ถึงเป็นตัวเลขและ "อะไร" ที่จะเป็นเซตว่าง; พวกเขาจะเกี่ยวข้องในการที่เซตว่างมีศูนย์องค์ประกอบในมัน ว่ามีภาวะเชิงการนับ * * * * * * * * ของชุดที่ว่างเปล่าเป็นศูนย์. เพื่ออธิบายอีกเล็กน้อยในรายละเอียดผมจะให้บิตของการตั้งทฤษฎีที่จุดนี้. เราสามารถคิดของ "ชุด" เป็นคอลเลกชันของวัตถุ ตัวอย่างเช่นเราสามารถมีชุดเหมือน: S = {สุนัขแมวม้ารถ} ผมเคยใช้วงเล็บ "{}" ไปยังกลุ่มวัตถุเข้าด้วยกัน แต่ละวัตถุ(สุนัขเป็นต้น) จะเรียกว่าเป็นองค์ประกอบ * * * * * * * * คอลเลกชันดังกล่าวประกอบด้วย "สะสมย่อย" หรือย่อย * * * * * * * * นั่นคือมีความเป็นส่วนหนึ่งของชุดดังกล่าวข้างต้นซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบเหล่านั้นซึ่งเป็นสัตว์ นักคณิตศาสตร์กล่าวว่าA = {x ใน S: x เป็นสัตว์} = {สุนัขแมวม้า} เราอ่านว่า "เป็นชุดของทุก x ใน S x ดังกล่าวว่าเป็นสัตว์." ดังนั้นเราจึงบอกว่าเป็น * * * * * * * * ที่มีอยู่ในเอสในทำนองเดียวกันเราสามารถกำหนดชุดย่อยของS อีก: N = {x ใน S: x เป็นเครื่อง} = {} รถหรือเราจะได้กล่าวว่ายังไม่มี= {x ใน S: x ไม่ได้เป็นสัตว์} = {x ใน S: x ไม่ได้อยู่ใน A} = S นี่เครื่องหมาย "" เป็นนักคณิตศาสตร์ใช้สัญกรณ์อื่นซึ่งเป็นชนิดเช่นลบ สิ่งที่เกิดขึ้นคือเราปล่อยให้ไม่มีประกอบด้วยองค์ประกอบใน S ซึ่งไม่ได้อยู่ในเอธรรมชาติอย่างใดอย่างหนึ่งอาจจะถามว่าอะไรคือ E = {x ใน S: x ไม่ใช่สัตว์หรือเครื่อง}? หรือถ้าเราต้องการจริงๆที่จะ บ้าอะไรคือE = S S? ดีก็ไม่ได้มีองค์ประกอบใด ๆ ชุดดังกล่าวเรียกว่าว่างชุดซึ่งเขียนว่า "{}" หรือเป็นศูนย์ด้วยการเฉือนผ่านมัน ทำไมนี้ไม่ได้เป็นเช่นเดียวกับ 0 จะกลายเป็นที่ชัดเจนถ้าเราพิจารณาชุดของตัวเลขที่มากกว่าชุดของวัตถุ ตัวอย่างเช่นสมมติS = {0, 1, 2, 3, 4} อะไรคือ cardinality * * * * * * * * ของ S? นั่นคือวิธีการที่หลายองค์ประกอบ S ไม่ได้? เห็นได้ชัดว่ามันมีนักคณิตศาสตร์ 5. เขียนนี้เป็น | S | = 5. ตอนนี้พิจารณาเซต {0} เอสมันมีองค์ประกอบเดียว 0. แต่มันไม่ได้เป็นเซตว่างสำหรับเซตว่างมี * ไม่มี * องค์ประกอบ. เป็นเซตว่างส่วนหนึ่งของ S? แน่นอน! เพื่อดูว่าทำไมถามตัวเองว่า "S ย่อยของตัวเองหรือไม่" ใช่เพราะมี S ตัวเองหรือทุกองค์ประกอบของS ยังเป็นองค์ประกอบของ S (ที่แน่นอน) จากนั้น S S ต้องนอกจากนี้ยังเป็นส่วนของเอสแต่นี้เป็นของหลักสูตรเซตว่าง ดังนั้นทั้งสอง {} และ {0} เป็นส่วนย่อยที่ถูกต้องของ S แต่พวกเขาจะไม่เหมือนกัน. เมื่อต้องการดูตัวอย่างของความแตกต่างระหว่าง 0 และที่ {} เราถามว่า "สิ่งที่เป็นค่าของx ดังกล่าวที่5 + x = 3 + 2? เห็นได้ชัดว่า x = 0 คือคำตอบตอนนี้สิ่งที่เกี่ยวกับ "สิ่งที่เป็นค่าของ x. ดังกล่าวว่า: x + 5 = 1 และ x + 1 = 1 เห็นได้ชัดว่าไม่มีคำตอบ; ว่ามีที่ x = {}. ตอนนี้หวังว่าสิ่งที่เป็นบิตชัดเจนมากขึ้น ความคิดของ "อะไร" เกิดจากความคิดของคอลเลกชันนี้ เหมือนไข่ในตะกร้า หากคุณมีไม่มีไข่ (ไม่มีอะไรในตะกร้า) แล้วนี้คล้ายคลึงกับชุดที่ว่างเปล่า จำนวน * * * * * * * * ของไข่ในตะกร้าเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงสามารถคิดว่า "อะไร" เป็นคำอธิบายชุดของตัวเองในขณะที่ "ศูนย์" เป็นคำที่อธิบายไม่ได้กำหนด แต่องค์ประกอบ ความสับสนระหว่างทั้งสองเป็นผลมาจากความจริงที่ว่าจำนวนขององค์ประกอบในเซตว่างเป็น0 มีความแตกต่างที่ลึกซึ้งในที่หนึ่งที่อาจจะเป็น4 ปีอาจจะมีความเข้าใจในปัญหา แต่ก็แน่นอนคุ้มค่าพยายามที่จะอธิบาย. -Doctor พีทฟอรั่มคณิตศาสตร์ตรวจสอบเว็บไซต์ของเรา! http://mathforum.org/dr.math/

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ความแตกต่างระหว่างศูนย์และไม่มีอะไร


วันที่ : 12 / 12 / 96 ที่ 10:49:18
จาก : สแตร์ ค็อกเบิร์น
เรื่อง : ความแตกต่างระหว่าง 0 และไม่มีอะไร

4 ปีเก่าของฉันถามว่า " อะไรคือความแตกต่างระหว่าง 0
อะไร ? " และลิ้นของฉันถูกมัด คุณจะตอบ

ขอบคุณ - สแตร์ ค็อกเบิร์น

วันที่ : 12 / 12 / 96 ที่ 23:05:40
จาก : หมอพีท
Subject : Re : ความแตกต่างระหว่าง 0 และไม่มีอะไร

ก่อนอื่นผมรู้สึกประหลาดใจว่า 4 ขวบด้วยซ้ำ
สรุปว่ามีแน่นอนความแตกต่างระหว่าง " ศูนย์ " และ " ไม่มีอะไร "
มันไม่ได้ชัดเจนกับคนรุ่นเก่ามาก ( ตามที่คุณเห็นตัวเอง )
ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นจริงแนวคิดที่แตกต่างกัน นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่
พิจารณา 0 เป็นจํานวนและ " ไม่มีอะไร " เป็น
ชุดเปล่า พวกเขามีความสัมพันธ์ในเซตว่างมีศูนย์องค์ประกอบใน
;นั่นคือ * ภาวะเชิงการนับ * เซตว่างเป็นศูนย์

อธิบายอีกนิดในรายละเอียด ผมจะให้บิตของทฤษฎีการตั้งค่า จุดนี้


เราสามารถคิดของ " ชุด " เป็นคอลเลกชันของวัตถุ ตัวอย่างเช่น เราสามารถมีชุดแบบนี้

S = { สุนัข , แมว , ม้า , รถ }

ผมเคยใช้วงเล็บปีกกา { } " กลุ่มวัตถุเข้าด้วยกัน แต่ละวัตถุ
( สุนัข , ตัวอย่างเช่น ) , เรียกว่าเป็นองค์ประกอบ * * เช่นคอลเลกชัน
ประกอบด้วย " subcollections " หรือ * จาก * . นั่นคือมีเป็นเซตย่อยของข้างบน
ชุดซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบเหล่านั้นซึ่ง
สัตว์ นักคณิตศาสตร์พูด :

= { x s : x เป็นสัตว์ } = { สุนัข , แมว , ม้า }

เราอ่านนี้เป็น " คือชุดของ X ในเช่นที่ X เป็น
สัตว์ ดังนั้น เรากล่าวว่าเป็น * * * * มี * S . ในทำนองเดียวกัน เราได้กำหนดเป็นส่วนหนึ่งของอีก
:

n = { x s :X เป็นเครื่องรถ } { } =

หรือเราอาจจะพูดว่า :

n = { x s : X ไม่ใช่สัตว์ }
= { x s : x ไม่ใน }
= S N

นี่คือเครื่องหมาย " " เป็นอีกสัญกรณ์ที่นักคณิตศาสตร์ใช้
เป็นชนิดเช่นลบ สิ่งที่เกิดขึ้นคือ เราให้ที่อยู่ประกอบด้วย
องค์ประกอบใน S ซึ่งไม่อยู่ใน . เป็นธรรมชาติ , หนึ่งอาจจะถามว่า อะไรคือ

E = { x s : X ไม่ใช่สัตว์หรือเครื่อง }

หรือถ้าเราต้องการจะบ้าอะไร

E = s s ?

อืม มันไม่มีธาตุ เป็นชุด เรียกว่า ชุดว่าง
ซึ่งเขียนได้เป็น " { } " หรือ ศูนย์ ด้วยการเฉือน ผ่านมัน ทำไม
นี่ไม่เหมือนกับ 0 จะชัดเจน ถ้าเราพิจารณาชุด
ตัวเลขมากกว่าชุดของวัตถุ ตัวอย่างเช่น ให้

S = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }

แล้ว * * ภาวะเชิงการนับของ S ? นั่นคือวิธีการหลายองค์ประกอบไม่ s
? เห็นได้ชัดว่า มี 5 นักคณิตศาสตร์เขียนนี้เป็น | S | = 5
ตอนนี้พิจารณาย่อย { 0 } S . มันมีองค์ประกอบเดียว 0
แต่ไม่ใช่เซตว่าง , เซตว่างมี * * ธาตุ
เป็นเซตว่างเป็นเซตย่อยของ S ? แน่นอน ! ดูทำไม ถามตัวเอง
" S เป็นเซตย่อยของตัวเอง ? ใช่ เพราะด้วยประกอบด้วยตัวเอง หรือทุก
องค์ประกอบของ S ยังเป็นองค์ประกอบของ S ( แน่นอน ) แล้ว s s ต้อง
ยังเป็นเซตย่อยของเอส แต่นี้แน่นอน เซตว่าง ดังนั้น
2 { } { 0 } ถูกต้องย่อยของ S แต่ไม่เหมือนกัน

เห็นตัวอย่างของความแตกต่างระหว่าง 0 และ { } เราถามว่า " อะไรคือค่าของ x ที่


5 x = 3 2

ให้ x = 0 เป็นคำตอบ แล้วอะไรคือคุณค่าของ x

เช่นที่ :
x 5 = 1 , x 1 = 1

แน่นอน ไม่มีคำตอบ ; นั่นคือ x = { } .

ตอนนี้หวังว่า ทุกอย่างจะชัดเจนมากขึ้น ความคิดของ " อะไร "
เกิดจากแนวคิดของคอลเลกชัน ชอบไข่ในตะกร้า ถ้าคุณไม่มีไข่
( ไม่มีอะไรในตะกร้า ) แล้วเทียบกับ
เซตว่าง * หมายเลข * ของไข่ในตะกร้าเป็นศูนย์ ดังนั้นเราสามารถ
คิดว่า " อะไร " เป็นคำที่อธิบายถึงการตั้งค่าตัวเอง ในขณะที่ " ศูนย์ "
เป็นคำที่ไม่อธิบายเป็นชุด แต่เป็นองค์ประกอบ ความสับสนระหว่าง
2 เป็นผลของความจริงที่ว่าจำนวนขององค์ประกอบใน
เซตว่างเป็น 0 มีความแตกต่างที่ลึกซึ้งในนั้น ที่บางทีการ 4 ปีเก่าอาจจะมีปัญหาเกี่ยวกับ แต่มันเป็นมั่นเหมาะมูลค่าการพยายามอธิบาย
.

- หมอพีทเลขกระทู้
ตรวจสอบเว็บไซต์ของเรา http://mathforum.org/dr.math/