Why is a negative times a negative

Why is a negative times a negative a positive?

People have suggested many ways of picturing what is going on when a negative number is multiplied by a negative number. It's not easy to do, however, and there doesn't seem to be a visualization that works for everyone.


Debt

Debt is a good example of a negative number. One common form of debt is a mortgage in which you owe the bank money because the bank paid for your house. It is also common for an employer to deduct a mortgage payment from an employee's paycheck to help the employee keep on schedule with the payments.
Suppose $700 is being deducted each month to pay the mortgage. After six months, how much money has been taken out of the pay for the mortgage? We can figure out the answer by doing multiplication.

6 * -$700 = -$4,200

This is an illustration of a positive times a negative resulting in a negative.

Now suppose that, as a bonus, the employer decides to pay the mortgage for one year. The employer removes the mortgage deduction from the monthly paychecks. How much money is gained by the employee in our example? We can represent "removes" by a negative number and figure out the answer by multiplying.

-12 * -$700 = $8,400

This is an illustration of a negative times a negative resulting in a positive.

If one thinks of multiplication as grouping, then we have made a positive group by taking away a negative number twelve times.

This example may not work for you, and you might want to read others by following the related links below.


Visualizing isn't the same as understanding. Let's see how a mathematician might understand what's going on when a negative number is multiplied by a negative number.

A Mathematical Explanation

If we can agree that a negative number is just a positive number multiplied by -1, then we can always write the product of two negative numbers this way:

(-a)(-b) = (-1)(a)(-1)(b) = (-1)(-1)ab
For example,

-2 * -3 = (-1)(2)(-1)(3)

= (-1)(-1)(2)(3)

= (-1)(-1) * 6
So the real question is,

(-1)(-1) = ?
and the answer is that the following convention has been adopted:

(-1)(-1) = +1
This convention has been adopted for the simple reason that any other convention would cause something to break.

For example, if we adopted the convention that (-1)(-1) = -1, the distributive property of multiplication wouldn't work for negative numbers:

(-1)(1 + -1) = (-1)(1) + (-1)(-1)

(-1)(0) = -1 + -1

0 = -2
As Sherlock Holmes observed, "When you have excluded the impossible, whatever remains, however improbable, must be the truth."

Since everything except +1 can be excluded as impossible, it follows that, however improbable it seems, (-1)(-1) = +1.


Paying bills

Let's say you get five bills in the mail for seven dollars each. You'd have 5 x -7 dollars, or -35 more dollars, i.e. 35 fewer dollars.
But what if you had sent out five bills instead of getting them? Then, in a sense, you'd have gotten negative five bills, so you'd have -5 x -7 = 35 more dollars than you started with.

Imagine that you buy five gift certificates worth $5 each and pay for them using your credit card. You now owe money, so that's -$25.
The bill comes from the credit card company, but I take it away from you and insist on paying it. You now have $25 worth of gift certificates without having paid anything.

Taking away a debt is analogous to negating a negative. Taking away five debts of $5 (-5*-5) equals a gain of $25.


Number Line

Imagine a number line on which you walk. Multiplying x*y is taking x steps, each of size y. Negative steps require you to face the negative end of the line before you start walking and negative step sizes are backward (i.e., heel first) steps. So, -x*-y means to stand on zero, face in the negative direction, and then take x backward steps, each of size y.
On the Road

Suppose you're standing on a road, and you measure mileage to the east as positive, and to the west as negative. So you are at zero, and a town one mile east is at +1 mile, while a town two miles to the west is at -2 miles.
A car travelling east will have a positive velocity, and a car travelling west will have a negative one. So a car going east at 60 mph goes at +60 mph, and a car going west at the same speed goes at -60 mph.

This makes sense, since if they go for an hour (+1 hour), the east-going car will be at (+1)(+60) = 60 miles, and the car going west will be at (+1)(-60) = -60 miles (= 60 miles west).

Now suppose a car passes you going east at 60 mph. Where was it one hour ago? Or at -1 hour? Just multiply: (-1)(60) = -60 = 60 miles west.

How about a car going west at 60 mph? Where was it an hour ago? Its velocity is -60, the time is -1, so it was at (-1)(-60), and the answer should be 60 miles east, or +60.

So (-1)(-60) = +60.


Patterns

Here's a plausibility argument drawn from multiplication patterns:
3 x -3 = -9
2 x -3 = -6
1 x -3 = -3
0 x -3 = 0
-1 x -3 = 3
A Proof

Let a and b be any two real numbers. Consider the number x defined by
x = ab + (-a)(b) + (-a)(-b).

We can write
x = ab + (-a)[ (b) + (-b) ] (factor out -a)
= ab + (-a)(0)
= ab + 0
= ab.
Also,
x = [ a + (-a) ]b + (-a)(-b) (factor out b)
= 0 * b + (-a)(-b)
= 0 + (-a)(-b)
= (-a)(-b).
So we have
x = ab
and
x = (-a)(-b)

Hence, by the transitivity of equality, we have

ab = (-a)(-b).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทำไมเป็นลบเวลาเป็นค่าลบเป็นค่าบวกคนมีแนะนำหลายวิธี picturing จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อจำนวนลบคูณจำนวนลบ ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะทำ แต่ และไม่ดูเหมือนจะ เป็นเพลงที่เหมาะกับทุกคนหนี้หนี้เป็นตัวอย่างที่ดีของตัวเลขค่าลบ แบบฟอร์มทั่วไปหนึ่งหนี้จำนองที่คุณค้างชำระเงินที่ธนาคารเนื่องจากธนาคารที่ชำระสำหรับบ้านของคุณได้ ก็ทั่วไปนายจ้างจะหักการชำระเงินจำนองจากเงินหักคืนของพนักงานเพื่อช่วยให้พนักงานเก็บไว้ตามกำหนดเวลาด้วยการชำระเงินสมมติว่า $700 ถูกหักแต่ละเดือนต้องจ่ายค่าจำนอง หลังจาก 6 เดือน จำนวนเงินนำส่งจากค่าจ้างการจำนอง เราสามารถคิดหาคำตอบ โดยทำการคูณ6 * -$700 =- $ 4200นี้เป็นภาพประกอบของบวกเวลาเป็นผลลบเป็นค่าลบตอนนี้ สมมติว่า เป็นโบนัส นายจ้างตัดสินใจที่จะจ่ายค่าจำนองสำหรับหนึ่งปี นายจ้างเอาจำนองหักจากเช็คค่าจ้างรายเดือน จำนวนเงินจะได้รับ โดยพนักงานตัวอย่างของเรา เราสามารถแสดง "เอา" เลขบวกและเลขหาคำตอบ โดยการคูณ-12 * -$700 = $8,400นี้เป็นภาพประกอบของลบเวลาการลบผลบวกเป็นถ้าหนึ่งคิดการคูณเป็นกลุ่ม จากนั้นเราได้ทำกลุ่มบวก โดยการเก็บตัวเลขค่าลบสิบสองเจ้าไทตัวอย่างนี้อาจไม่ทำงานสำหรับคุณ และคุณอาจต้องการอ่านอื่น ๆ ตามลิงค์ที่เกี่ยวข้องด้านล่างVisualizing isn't the same as understanding. Let's see how a mathematician might understand what's going on when a negative number is multiplied by a negative number.A Mathematical ExplanationIf we can agree that a negative number is just a positive number multiplied by -1, then we can always write the product of two negative numbers this way: (-a)(-b) = (-1)(a)(-1)(b) = (-1)(-1)ab For example, -2 * -3 = (-1)(2)(-1)(3) = (-1)(-1)(2)(3) = (-1)(-1) * 6So the real question is, (-1)(-1) = ?and the answer is that the following convention has been adopted: (-1)(-1) = +1This convention has been adopted for the simple reason that any other convention would cause something to break.For example, if we adopted the convention that (-1)(-1) = -1, the distributive property of multiplication wouldn't work for negative numbers: (-1)(1 + -1) = (-1)(1) + (-1)(-1) (-1)(0) = -1 + -1 0 = -2As Sherlock Holmes observed, "When you have excluded the impossible, whatever remains, however improbable, must be the truth."Since everything except +1 can be excluded as impossible, it follows that, however improbable it seems, (-1)(-1) = +1.Paying billsLet's say you get five bills in the mail for seven dollars each. You'd have 5 x -7 dollars, or -35 more dollars, i.e. 35 fewer dollars.But what if you had sent out five bills instead of getting them? Then, in a sense, you'd have gotten negative five bills, so you'd have -5 x -7 = 35 more dollars than you started with.Imagine that you buy five gift certificates worth $5 each and pay for them using your credit card. You now owe money, so that's -$25.The bill comes from the credit card company, but I take it away from you and insist on paying it. You now have $25 worth of gift certificates without having paid anything.Taking away a debt is analogous to negating a negative. Taking away five debts of $5 (-5*-5) equals a gain of $25.Number LineImagine a number line on which you walk. Multiplying x*y is taking x steps, each of size y. Negative steps require you to face the negative end of the line before you start walking and negative step sizes are backward (i.e., heel first) steps. So, -x*-y means to stand on zero, face in the negative direction, and then take x backward steps, each of size y.On the RoadSuppose you're standing on a road, and you measure mileage to the east as positive, and to the west as negative. So you are at zero, and a town one mile east is at +1 mile, while a town two miles to the west is at -2 miles.A car travelling east will have a positive velocity, and a car travelling west will have a negative one. So a car going east at 60 mph goes at +60 mph, and a car going west at the same speed goes at -60 mph.This makes sense, since if they go for an hour (+1 hour), the east-going car will be at (+1)(+60) = 60 miles, and the car going west will be at (+1)(-60) = -60 miles (= 60 miles west).Now suppose a car passes you going east at 60 mph. Where was it one hour ago? Or at -1 hour? Just multiply: (-1)(60) = -60 = 60 miles west.How about a car going west at 60 mph? Where was it an hour ago? Its velocity is -60, the time is -1, so it was at (-1)(-60), and the answer should be 60 miles east, or +60.So (-1)(-60) = +60.PatternsHere's a plausibility argument drawn from multiplication patterns: 3 x -3 = -9 2 x -3 = -6 1 x -3 = -3 0 x -3 = 0 -1 x -3 = 3A ProofLet a and b be any two real numbers. Consider the number x defined byx = ab + (-a)(b) + (-a)(-b).We can writex = ab + (-a)[ (b) + (-b) ] (factor out -a) = ab + (-a)(0) = ab + 0 = ab.Also,x = [ a + (-a) ]b + (-a)(-b) (factor out b) = 0 * b + (-a)(-b) = 0 + (-a)(-b) = (-a)(-b).So we have x = aband x = (-a)(-b)Hence, by the transitivity of equality, we have ab = (-a)(-b).

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ครั้งลบทำไมเชิงลบเป็นบวก? คนมีข้อเสนอแนะหลายวิธีในการถ่ายภาพสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อจำนวนลบคูณด้วยจำนวนลบ มันไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะทำอย่างไรและมีไม่ดูเหมือนจะสร้างภาพที่ทำงานสำหรับทุกคน. หนี้หนี้เป็นตัวอย่างที่ดีของจำนวนลบ หนึ่งในรูปแบบของการเป็นหนี้จำนองที่คุณเป็นหนี้เงินธนาคารเนื่องจากธนาคารที่จ่ายสำหรับบ้านของคุณ นอกจากนี้ยังเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับนายจ้างจะหักชำระเงินจำนองจาก paycheck ของพนักงานที่จะช่วยให้พนักงานที่เก็บในช่วงเวลาที่มีการชำระเงิน. สมมติว่า $ 700 จะถูกหักออกในแต่ละเดือนเพื่อจ่ายค่าจำนอง หลังจากหกเดือนเท่าใดเงินที่ได้รับจากการจ่ายเงินสำหรับการจำนองหรือไม่ เราสามารถคิดออกคำตอบโดยการทำคูณ. 6 * - $ 700 = - $ 4200 นี่คือภาพของครั้งบวกเชิงลบที่มีผลในเชิงลบ. ตอนนี้สมมติว่าเป็นโบนัสนายจ้างตัดสินใจที่จะจ่ายค่าจำนองเป็นเวลาหนึ่งปี . นายจ้างหักจำนองเอาจากเงินเดือนรายเดือน ใช้เงินเท่าไหร่จะได้รับจากการทำงานของพนักงานในตัวอย่างของเราหรือไม่ เราสามารถเป็นตัวแทนของ "ลบ" โดยจำนวนลบและคิดออกคำตอบโดยการคูณ. -12 * - $ 700 = $ 8400 นี่คือภาพของครั้งลบเชิงลบที่มีผลในเชิงบวก. ถ้าใครคิดว่าการคูณเป็นจัดกลุ่มแล้วเรา ได้ทำให้กลุ่มบวกโดยการออกไปเป็นจำนวนลบสิบสองครั้ง. เช่นนี้อาจไม่ทำงานสำหรับคุณและคุณอาจต้องการที่จะอ่านคนอื่น ๆ โดยต่อไปนี้การเชื่อมโยงที่เกี่ยวข้องด้านล่าง. แสดงผลไม่ได้เป็นเช่นเดียวกับความเข้าใจ ลองดูว่านักคณิตศาสตร์อาจจะเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อจำนวนลบคูณด้วยจำนวนลบ. คำอธิบายคณิตศาสตร์ถ้าเราสามารถยอมรับว่าจำนวนลบเป็นเพียงจำนวนบวกคูณด้วย -1 แล้วเราสามารถเขียนผลิตภัณฑ์ของ ตัวเลขสองเชิงลบด้วยวิธีนี้: (-a) (- ข) = (-1) (ก) (- 1) (ข) = (-1) (- 1) AB ตัวอย่างเช่น-2 -3 * = (- 1) (2) (1) - (3) = (-1) (- 1) (2) (3) = (-1) (- 1) * 6 ดังนั้นคำถามจริงคือ(-1) (- 1) = และคำตอบคือว่าการประชุมดังต่อไปนี้ได้รับการรับรอง: (-1) (- 1) = 1 การประชุมนี้ได้รับการรับรองด้วยเหตุผลง่ายๆว่าการประชุมอื่น ๆ ที่จะทำให้บางสิ่งบางอย่างที่จะทำลาย. ยกตัวอย่างเช่นถ้า ที่เรานำมาใช้ในการประชุมที่ (-1) (- 1) = -1, สถานที่ให้บริการจำหน่ายของการคูณจะไม่ทำงานสำหรับตัวเลขลบ: (-1) (1 + -1) = (-1) (1) + ( -1) (- 1) (-1) (0) = -1 + -1 0 = -2 เป็น Sherlock Holmes สังเกต "เมื่อคุณได้รับการยกเว้นเป็นไปไม่ได้สิ่งที่ยังคงอยู่ แต่ไม่น่าจะต้องเป็นความจริง." ตั้งแต่ ทุกอย่างยกเว้น 1 สามารถยกเว้นเป็นไปไม่ได้เป็นไปตามนั้น แต่ไม่น่าจะดูเหมือนว่า (-1) (- 1) = 1. จ่ายค่าสมมติว่าคุณได้รับห้าค่าใช้จ่ายในจดหมายเจ็ดดอลลาร์ในแต่ละ คุณจะต้อง x 5 -7 ดอลลาร์หรือ -35 ดอลลาร์มากขึ้นคือ 35 ดอลลาร์น้อยลง. แต่ถ้าคุณได้ส่งออกห้าค่าแทนการรับพวกเขา? จากนั้นในความรู้สึกที่คุณจะได้รับในเชิงลบห้าค่าใช้จ่ายเพื่อให้คุณจะต้อง -5 -7 x = 35 ดอลลาร์มากขึ้นกว่าที่คุณเริ่มต้นด้วย. ลองจินตนาการว่าคุณซื้อห้าบัตรของขวัญมูลค่า $ 5 แต่ละคนและจ่ายสำหรับพวกเขาใช้ของคุณ บัตรเครดิต. ตอนนี้คุณเป็นหนี้เงินเพื่อให้เป็น -. $ 25 การเรียกเก็บเงินมาจาก บริษัท บัตรเครดิต แต่ฉันจะเอามันออกไปจากคุณและยืนยันในการจ่ายเงินไว้ ขณะนี้คุณมี $ 25 มูลค่าของบัตรของขวัญโดยไม่ต้องจ่ายอะไร. การไปหนี้จะคล้ายคลึงกับการกวนลบ การออกไปห้าหนี้ 5 $ (-5 * -5) เท่ากับกำไร $ 25 ก. สายจำนวนลองนึกภาพเส้นจำนวนที่คุณเดิน คูณ x * y ที่จะดำเนินการ x แต่ละขนาดวาย ขั้นตอนเชิงลบทำให้คุณต้องเผชิญกับปลายลบของสายก่อนที่จะเริ่มเดินและขนาดขั้นตอนย้อนกลับเชิงลบ (เช่นส้นเท้าก่อน) ขั้นตอน ดังนั้น -x * วิธี -y จะยืนอยู่บนศูนย์หน้าในทิศทางเชิงลบและจากนั้นใช้เวลา x ขั้นตอนข้างหลังแต่ละขนาดวาย. บนถนนสมมติว่าคุณกำลังยืนอยู่บนถนนและคุณวัดระยะทางไปทางทิศตะวันออกเป็นบวกและไปทางทิศตะวันตกเป็นเชิงลบ ดังนั้นคุณจะอยู่ที่ศูนย์และเมืองทางตะวันออกหนึ่งไมล์อยู่ที่ 1 ไมล์ในขณะที่เมืองสองไมล์ไปทางทิศตะวันตกอยู่ที่ -2 ไมล์. รถเดินทางไปทางทิศตะวันออกจะมีความเร็วบวกและรถเดินทางไปทางทิศตะวันตกจะมีได้ เชิงลบอย่างใดอย่างหนึ่ง ดังนั้นรถไปทางทิศตะวันออกที่ 60 ไมล์ต่อชั่วโมงไปที่ 60 ไมล์ต่อชั่วโมงและรถไปทางทิศตะวันตกด้วยความเร็วเดียวกันไปที่ -60 ไมล์ต่อชั่วโมง. นี้ทำให้รู้สึกเพราะถ้าพวกเขาไปเป็นเวลาหนึ่งชั่วโมง (1 ชั่วโมง) ทางทิศตะวันออกไป รถจะอยู่ที่ (1) (+ 60) = 60 ไมล์และรถไปทางทิศตะวันตกจะอยู่ที่ (1). (- 60) = -60 ไมล์ (= ทางทิศตะวันตก 60 ไมล์) ตอนนี้คิดว่ารถผ่านคุณไป ทางทิศตะวันออกที่ 60 ไมล์ต่อชั่วโมง ในกรณีที่มันเป็นหนึ่งชั่วโมงที่ผ่านมา? หรืออย่าง -1 ชั่วโมง? เพียงแค่คูณ: (-1) (60) = -60 = 60 ไมล์ทางทิศตะวันตก. วิธีการเกี่ยวกับรถไปทางทิศตะวันตกที่ 60 ไมล์ต่อชั่วโมง ในกรณีที่มันเป็นชั่วโมงที่ผ่านมา? ความเร็วของมันคือ -60 เวลาที่ -1 ดังนั้นมันจึงเป็นที่ (-1). (- 60) และคำตอบที่ควรจะเป็น 60 ไมล์ทางทิศตะวันออกหรือ 60 ดังนั้น (-1) (- 60) = 60 . รูปแบบต่อไปนี้เป็นข้อโต้แย้งที่มีเหตุผลมาจากรูปแบบการคูณ: 3 x = -3 -9 2 x = -3 -6 1 x = -3 -3 0 -3 x = 0 -1 -3 x = 3 หลักฐานการขอและขเป็นสองตัวเลขจริง พิจารณาจำนวนที่กำหนดโดย x x = AB + (-a) (ข) + (-a). (- ข) เราสามารถเขียนx = AB + (-a) [(ข) + (-b)] (ปัจจัย ออก -a) = AB + (-a) (0) = AB + 0. AB = นอกจากนี้x = [A + (-a)] ข + (-a) (- b) (ปัจจัยออกข) = 0 b * + (-a) (- ข) = 0 + (-a) (- ข) = (-a). (- ข) ดังนั้นเราจึงมีx = AB และx = (-a) (- ข) ดังนั้น โดยกริยาของความเท่าเทียมกันเรามีAB = (-a) (- ข)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทำไมลบคูณลบเป็นบวก ?

คนได้แนะนำหลายวิธีของภาพที่เกิดขึ้นเมื่อหมายเลขลบคูณด้วยเลขลบ มันไม่ง่ายที่จะทำ อย่างไรก็ตาม ดูเหมือนจะเป็นภาพที่เหมาะสำหรับทุกคน .




หนี้หนี้ คือตัวอย่างที่ดีของจํานวนลบหนึ่งรูปแบบทั่วไปของหนี้จำนองที่คุณเป็นหนี้ธนาคารเงิน เพราะธนาคารจ่ายสำหรับบ้านของคุณ นอกจากนี้ยังเป็นปกติสำหรับนายจ้างหักเงินกู้จากเงินเดือนของลูกจ้างเพื่อช่วยพนักงานเก็บในตารางที่มีการชำระเงิน
สมมติว่า $ 700 ถูกหักเงินแต่ละเดือนต้องจ่ายค่าจำนอง หลังจากหกเดือนเงินเท่าไหร่ได้ถูกเอาออกจากจ่ายค่าจำนอง เราสามารถหาคำตอบได้โดยการทำสูตรคูณ .

6 * - $ 700 - $ 200 =

นี้เป็นภาพประกอบของบวกครั้งลบเป็นผลในด้านลบ

ตอนนี้สมมติว่าเป็นโบนัสที่นายจ้างตัดสินใจที่จะจ่ายจำนองเป็นเวลาหนึ่งปี นายจ้างสามารถหักจากเงินเดือนจำนองรายเดือนเงินเท่าไหร่ที่ได้รับจากพนักงาน ในตัวอย่างของเรา เราสามารถเป็นตัวแทนของ " ลบ " โดยจํานวนลบ และหาคำตอบ โดยการคูณ .

-- 12 * - $ 700 = $ 8400

นี้เป็นภาพประกอบของลบคูณลบส่งผลบวก

ถ้าคิดว่าหนึ่งของการคูณเช่นการจัดกลุ่มแล้วเราได้ทำให้กลุ่มบวกโดย เอาค่า

จำนวน 12 ครั้งตัวอย่างนี้อาจไม่ทำงานสำหรับคุณ และคุณอาจต้องการที่จะอ่านคนอื่น ๆโดยทำตามลิงค์ที่เกี่ยวข้องด้านล่าง


คิดว่าไม่เหมือนเข้าใจ มาดูกันว่า นักคณิตศาสตร์อาจเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อจํานวนลบคูณด้วยเลขลบ .



ทางคณิตศาสตร์อธิบาย ถ้าเราสามารถยอมรับว่า เลขลบเป็นบวกเลข คูณด้วย - 1แล้วเราสามารถเขียนเป็นผลลบตัวเลขสองวิธีนี้

( - ) ( - b ) = ( - 1 ) ( ) ( - 1 ) ( B ) = ( - 1 ) ( - 1 ) AB
ตัวอย่างเช่น

- 2 * - 3 = ( - 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 )

= ( - 1 ) ( - 1 ) ( 2 ) ( 3 )

= ( - 1 ) ( - 1 ) * 6
คำถามจริงคือ ,

( - 1 ) ( - 1 ) = ?
คำตอบคือว่าตามอนุสัญญาได้รับการรับรอง :

( - 1 ) ( - 1 ) = 1
อนุสัญญานี้ได้รับการยอมรับสำหรับเหตุผลง่ายๆว่าอื่น ๆการประชุมจะทำให้เกิดเรื่องแตก

ตัวอย่างเช่นถ้าเราประกาศใช้อนุสัญญาที่ ( - 1 ) ( - 1 ) = - 1 , การคูณสมบัติการแจกแจงไม่ได้สำหรับตัวเลขลบ :

( - 1 ) 1 - 1 ) = ( - 1 ) ( 1 ) ( - 1 ) ( - 1 )

( - 1 ) ( 0 ) = - 1 - 0 - 2 1
=
" อย่าง เชอร์ล็อค โฮล์มส์ สังเกตว่า เมื่อมีการยกเว้นสิ่งที่เป็นไปไม่ได้สิ่งที่ยังคงอยู่ แต่ไม่น่าจะเป็นไปได้ ต้องเป็นความจริง "

เพราะทุกอย่างยกเว้น 1 สามารถแยกออกเป็นไม่ได้ มันเป็นไปตามนั้น แต่มันดูเหมือนไม่น่าจะเป็นไปได้ ( - 1 ) ( - 1 ) = 1 . จ่ายค่า




สมมติว่าคุณได้รับตั๋วในจดหมายห้าเจ็ดดอลลาร์ แต่ละ คุณจะได้ 5 x 7 ดอลลาร์ หรือ - มากกว่า 35 ดอลลาร์ ดอลลาร์น้อยลง เช่น 35 .
แต่ถ้าคุณส่งออกห้าตั๋วเงินแทนพวกเขาได้รับ ?แล้ว ในความรู้สึก คุณจะต้องลบห้าตั๋ว ดังนั้นคุณต้อง - 5 x 7 = 35 ดอลลาร์มากขึ้นกว่าที่คุณเริ่มต้นด้วย

ลองจินตนาการว่าคุณซื้อห้าบัตรของขวัญมูลค่า $ 5 แต่ละ และจ่ายเงินโดยใช้บัตรเครดิตของคุณ ตอนนี้คุณเป็นหนี้เงิน นั่นคือ $ 25 .
บิลมา จาก บริษัท บัตรเครดิต แต่ฉันเอามันไปจากคุณได้ และยืนกรานที่จะจ่ายมันตอนนี้คุณมี $ 25 มูลค่าของบัตรของขวัญโดยไม่ต้องจ่ายอะไรเลย

เอาหนี้เทียบกับสลับเครื่องหมายเป็นลบ เอาหนี้ของ $ 5 ( 5 - 5 - 5 ) มีค่าเท่ากับได้รับ $ 25 .




เลขบรรทัด จินตนาการหมายเลขบรรทัดที่คุณเดิน คูณ X * Y คือการ X ขั้นตอนแต่ละขนาด Yขั้นตอนลบต้องลบหน้าสิ้นสุดของบรรทัดก่อนที่จะเริ่มเดินและขนาดขั้นลบอยู่ข้างหลัง ( เช่น ที่ส้นเท้าก่อน ) ขั้นตอน ดังนั้น - x * y หมายถึง ยืนเป็นศูนย์หน้าในทิศทางเชิงลบ และใช้ X ก้าวถอยหลังแต่ละขนาด Y
บนถนน

คิดว่าคุณกำลังยืนอยู่บนถนน และวัดระยะไมล์ไปทางทิศตะวันออกและตะวันตกเป็นบวก เป็นลบดังนั้นคุณที่ศูนย์ และเมืองหนึ่งไมล์ทางตะวันออกที่ 1 กิโลเมตร ในขณะที่เมืองสองไมล์ไปทางทิศตะวันตก - 2 ไมล์
รถเดินทางตะวันออกจะมีความเร็วเป็นบวก และรถเดินทางตะวันตกจะต้องลบหนึ่ง ดังนั้นรถที่ไปตะวันออกที่ 60 ไมล์ไปที่ 60 ไมล์ต่อชั่วโมง และรถที่ไปทางตะวันตกด้วยความเร็วเดียวกันไปที่ - 60 mph .

นี้เข้าท่า เพราะถ้าพวกเขาไปเป็นชั่วโมง ( 1 ชั่วโมง )ตะวันออกจะรถจะอยู่ที่ ( 1 ) ( 60 ) = 60 ไมล์ และ รถไปตะวันตกจะอยู่ที่ ( 1 ) ( - 60 ) = 60 ไมล์ ( 60 ไมล์ตะวันตก ) .

ตอนนี้สมมติว่ารถผ่าน ไปทางทิศตะวันออกที่ 60 ไมล์ต่อชั่วโมง ที่เป็นหนึ่งชั่วโมง ที่แล้ว หรือที่ - 1 ชั่วโมง คูณ : ( - 1 ) ( 60 ) = - 60 = 60 ไมล์ตะวันตก

แล้วรถไปทางตะวันตกที่ 60 ไมล์ต่อชั่วโมง ซึ่งมันเป็นชั่วโมงแล้ว ความเร็ว - 60 , เวลา - 1 ดังนั้นจึงอยู่ที่ ( - 1 ) ( - 60 )คำตอบน่าจะ 60 ไมล์ทางตะวันออก หรือ 60

ดังนั้น ( - 1 ) ( - 60 ) = 60 .




นี่เป็นรูปแบบการวาดจากการคูณเหอะรูปแบบ :
3 x 3 = 9
2 x 3 = 6
1 x 3 = - - 3
0 x - 1 = 0
- 1 x 3 = 3
หลักฐาน

ให้ A และ B เป็นสองจริงตัวเลข พิจารณากำหนดจำนวน x
x = AB ( - - ) ( B ) ( - ) ( - b )

เราสามารถเขียน
x = AB ( - ) [ ( b ) ( - b ) ] ( ปัจจัยนอก - A )
= AB ( - - ) ( 0 )