In this study, we will use Catalan’

In this study, we will use Catalan’s conjecture (see [2]), which states that the
only solution in integers a > 1, b > 1, x > 1, y > 1 to the equation ax − by = 1
is (a, b, x, y) = (3, 2, 2, 3).
Now we will consider the Diophantine equation px + (p + 1) = z2, where p
is a Mersenne prime.
Theorem 1. The Diophantine equation px + (p + 1)y = z2, where p
is a Mersenne prime, has only two solutions in non-negative integer, namely,
(p, x, y, z) = (7, 0, 2, 3) and (p, x, y, z) = (3, 2, 2, 5).
Proof. Let p be a Mersenne prime. Then p = 2q −1 for some prime q. It is
easy to check that z must be odd and p ≡ 3(mod 4). Thus z2 ≡ 1(mod 4) and
p + 1 ≡ 0(mod 4).
Now we consider the Diophantine equation px+(p+1)y = z2 in the following
cases:
Case 1 : Suppose x = 0. It can be checked easily that, if the Diophantine
equation 1 + (p + 1)y = z2 has a solution, then
2qy = (p + 1)y = z2 − 1 = (z + 1)(z − 1).
Hence there exist non-negative integers ,  such that 2 = z + 1, 2 = z − 1,
where  >  and  +  = qy. Moreover, one can see that
2(2− − 1) = 2 − 2 = (z + 1) − (z − 1) = 2.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในการศึกษานี้ เราจะใช้คาตาลันของข้อความคาดการณ์ (ดู [2]), ซึ่งระบุว่า การ
โซลูชันในจำนวนเต็ม a > 1, b > 1, x > 1, y > 1 ในสมการ ax −โดย = 1
เป็น (a, b, x, y) = (3, 2, 2, 3) .
ตอนนี้เราจะพิจารณาสมการ Diophantine px (p 1) = z2 ที่ p
นายก Mersenne ตัวได้
1 ทฤษฎีบท Y px (p 1) สมการ Diophantine = z2 ที่ p
คือแมร์ มีโซลูชั่นที่สองในจำนวนเต็มไม่เป็นลบ ได้แก่,
(p, x, y, z) = (7, 0, 2, 3) และ (p, x, y, z) = (3, 2, 2, 5) .
พิสูจน์ ให้ p จะเป็นจำนวนเฉพาะแมร์ แล้ว p = −1 2q สำหรับ q บางจุด เป็น
ง่ายต่อการตรวจสอบว่า z ต้องคี่และ p ≡ (mod 4) 3 ดังนั้น z2 ≡ 1 (mod 4) และ
0(mod 4) ≡ p 1.
ตอนนี้เราพิจารณา y px (p 1) สมการ Diophantine = z2 ในต่อไปนี้
กรณี:
1 กรณี: สมมติว่า x = 0 สามารถตรวจสอบได้ที่ ถ้า Diophantine
สมการ 1 (p 1) y = z2 มี แล้ว
2qy = (p 1) y = z2 − 1 = ()(z − 1) z 1.
จึง มีจำนวนเต็มไม่เป็นลบ ที่ 2 = z 1, 2 =− z 1,
ที่ > และ = qy นอกจากนี้ หนึ่งสามารถมองเห็นที่
2 (2− − 1) = 2 − 2 =− (z 1) (z − 1) = 2

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในการศึกษานี้เราจะใช้การคาดเดาคาตาลัน (ดู [2]) ซึ่งระบุว่า
การแก้ปัญหาเฉพาะในจำนวนเต็ม> 1, b> 1, x> 1, y> 1 ถึงขวานสม - โดย = 1
คือ ( b, x, y) = (3, 2, 2, 3)
ตอนนี้เราจะพิจารณาสม Diophantine px + (p + 1) = z2 ที่พี
เป็นนายกเซนเน
ทฤษฎีบท 1 px สม Diophantine + (p + 1) y = z2 ที่พี
เป็นนายกเซนเน, มีเพียงสองการแก้ปัญหาในจำนวนเต็มไม่เป็นลบคือ
(พี, x, y, z) = (7, 0, 2, 3) และ (พี , x, y, z) = (3, 2, 2, 5)
หลักฐาน สมมติให้ p เป็นนายกเซนเน แล้ว p = 2q -1 สำหรับบางคิวที่สำคัญ มันเป็น
เรื่องง่ายที่จะตรวจสอบซีว่าต้องแปลกและพี≡ 3 (4 สมัย) ดังนั้น z2 ≡ 1 (4 สมัย) และ
p + 1 ≡ 0 (4 สมัย)
ตอนนี้เราพิจารณาสม Diophantine px + (p + 1) y = z2 ในการติดตาม
กรณี
กรณีที่ 1: สมมติว่า x = 0 มันสามารถเป็น ตรวจสอบได้ง่ายว่าถ้า Diophantine
สม 1 + (p + 1) y = z2 มีทางออกแล้ว
2QY = (p + 1) y = z2 - 1 = (Z + 1) (Z - 1)
ดังนั้นมีอยู่ ไม่ integers เชิงลบได้อย่างไรเช่นที่ 2 หรือไม่? = Z + 1, 2 = Z - 1,
ที่ไหน > และ? + = QY นอกจากนี้หนึ่งจะเห็นว่า
2 (2 -? - 1) = 2 หรือไม่? - 2 = (Z + 1) - (Z - 1) = 2

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในการศึกษานี้เราจะใช้ คาตาลัน คือการคาดเดา ( ดู [ 2 ] ) ซึ่งระบุว่าโซลูชั่นเฉพาะจำนวนเต็ม a >
1 B > 1 , x > 1 , y > 1 สมการ Ax −โดย = 1
( A , B , X , Y ) = ( 3 2 , 2 , 3 ) .
ตอนนี้เราจะพิจารณาสมการไดโอแฟนไทน์ px ( พี 1 ) = กขึ้นที่ p เป็นจำนวนเฉพาะแมร์แซน
.
ทฤษฎีบท 1 ส่วนสมการไดโอแฟนไทน์ px ( P ) Y = กขึ้นที่ p เป็นจำนวนเฉพาะแมร์แซน
,มีเพียงสองโซลูชั่นในที่ไม่ใช่จำนวนเต็มลบ (
( p , x , y , z ) = ( 7 , 0 , 2 , 3 ) และ ( P , x , y , z ) = ( 1 , 2 , 3 , 5 ) .
พิสูจน์ ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะแมร์แซน . แล้ว p = 2Q − 1 สำหรับท่านคิว มันง่ายที่จะตรวจสอบว่า
Z ต้องแปลกและ P ≡ 3 ( mod 4 ) ดังนั้น≡กขึ้น 1 ( mod 4 ) และ
P 1 ≡ 0 ( mod 4 ) .
ตอนนี้เราพิจารณาสมการไดโอแฟนไทน์ px ( P ) Y = กขึ้นในกรณีต่อไปนี้ :

กรณีที่ 1 สมมติว่า x = 0ก็สามารถตรวจสอบได้ง่ายว่า ถ้าสมการไดโอแฟนไทน์
1 ( P ) Y = กขึ้นได้แก้ไขแล้ว
2qy = ( P ) Y = กขึ้น− 1 = ( Z ( Z ( 1 ) − 1 ) .
จึงมีอยู่ไม่ลบจำนวนเต็ม   , เช่นที่ 2  = ซี 1 , 2  = y − 1
ที่  >   และ  = qy . นอกจากนี้หนึ่งสามารถดูว่า 
2 ( 2   −− 1 ) = 2   − 2 = ( Z ( 1 ) − ( − Z ( 1 ) = 2