Consider the diagram on the right:W

Consider the diagram on the right:

We have drawn a quadrilateral ABCD inside a circle, and constructed the angle ABK so it is equal to angle DBC.

We note the following facts about the angles in the same segment:

(The chord AD subtends equal angles in the same segment.) The angles are marked with one stroke in the diagram.
(The chord BC subtends equal angles in the same segment.) The angles are marked with two strokes in the diagram.
(The chord DC subtends equal angles in the same segment.) The angles are marked with three strokes in the diagram.
And the following about the named triangles:

Triangles ABK and DBC are similar, sim1 because two of the angles in each are equal (as marked in the diagram), and the third angles are equal because of the angle sum of a triangle.
The triangles ABC and KBC are similar, sim2, because the angles are equal (as marked in the diagram).
ptolemy's Theorem
The diagram is repeated on the right to minimize scrolling.

From the triangles ABK and DBC we have:

[1.01]

From the triangles ABC and KBC, we have:

[1.02]

Adding 1.01 and 1.02 (and taking out the common factor DB) we have:

[1.03]

Because AK and CK are the parts of AC, we have Ptolemy's Theorem:

■ [1.04]

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พิจารณาแผนภาพบนขวา:เราได้ดึง quadrilateral ABCD ภายในวงกลม และสร้างมุม ABK จึงเท่ากับมุม DBCเราทราบข้อเท็จจริงต่อไปนี้เกี่ยวกับมุมในเซ็กเมนต์เดียวกัน: (คอร์ด AD subtends มุมเท่าในเซ็กเมนต์เดียวกัน) มุมจะทำเครื่องหมาย ด้วยจังหวะหนึ่งในไดอะแกรม (คอร์ด BC subtends มุมเท่าในเซ็กเมนต์เดียวกัน) มุมจะทำเครื่องหมาย ด้วยจังหวะสองในไดอะแกรม (คอร์ด DC subtends มุมเท่าในเซ็กเมนต์เดียวกัน) มุมจะทำเครื่องหมาย ด้วยสามจังหวะในไดอะแกรมและต่อไปนี้เกี่ยวกับสามเหลี่ยมชื่อ:สามเหลี่ยม ABK และ DBC จะคล้าย sim1 เนื่องจากสองมุมในแต่ละวันเดียว (เป็นเครื่องหมายในแผนภาพ), และมุมสามเท่าเนื่องจากผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมสามเหลี่ยม ABC และ KBC จะคล้าย sim2 เนื่องจากมุมเท่ากัน (ตามที่ทำเครื่องหมายในแผนภาพ) ทฤษฎีบทของทอเลมีไดอะแกรมซ้ำทางขวาเพื่อเลื่อนลดจากสามเหลี่ยม ABK และ DBC เรามี: [1.01]จากในสามเหลี่ยม ABC และ KBC เรามี: [1.02]เพิ่ม 1.01 1.02 (และการออกตัวทั่ว DB) เรามี: [1.03]เนื่องจากมีส่วนของ AC AK และ CK เรามีทฤษฎีบทของห้อง:■ [1.04]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พิจารณาแผนภาพด้านขวา: . เราได้วาดรูปสี่เหลี่ยม ABCD ภายในวงกลมและสร้างมุม ABK จึงเท่ากับมุม DBC เราทราบข้อเท็จจริงต่อไปนี้เกี่ยวกับมุมในกลุ่มเดียวกัน: (AD คอร์ด subtends มุมเท่ากัน ในส่วนเดียวกัน.) มุมที่มีเครื่องหมายหนึ่งจังหวะในแผนภาพ. (BC คอร์ด subtends มุมเท่ากันในกลุ่มเดียวกัน.) มุมที่ถูกทำเครื่องหมายด้วยสองจังหวะในแผนภาพ. (คอร์ดซี subtends มุมเท่ากันใน กลุ่มเดียวกัน) มุมที่มีเครื่องหมายสามจังหวะในแผนภาพ.. และต่อไปนี้เกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมชื่อ: สามเหลี่ยม ABK และ DBC จะคล้ายกัน SIM1 เพราะทั้งสองมุมในแต่ละมีค่าเท่ากัน (ตามที่มีการทำเครื่องหมายในแผนภาพ) และ มุมที่สามมีค่าเท่ากันเพราะของจำนวนเงินเอามุมของรูปสามเหลี่ยม. สามเหลี่ยม ABC และ KBC จะคล้ายกัน SIM2 เพราะมุมที่มีค่าเท่ากัน (ตามที่มีการทำเครื่องหมายในแผนภาพ). ทฤษฎีบทปโตเลมีของแผนภาพซ้ำแล้วซ้ำอีกในสิทธิที่จะลดการเลื่อน. จาก ABK สามเหลี่ยมและ DBC เรา: [1.01] จากสามเหลี่ยม ABC และ KBC เรา: [1.02] เพิ่ม 1.01 และ 1.02 (และการออกปัจจัยร่วมกัน DB) เรา: [1.03] เพราะ AK และ CK เป็นส่วน AC ของเรามีความเชื่อของปโตเลมี: ■ [1.04]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พิจารณาแผนภาพด้านขวา :

เราต้องวาดเป็นรูปสี่เหลี่ยม ABCD ภายในวงกลมและสร้างมุม abk จึงเท่ากับมุม DBC

เราทราบตามข้อเท็จจริงเกี่ยวกับมุมในส่วนเดียวกัน

( คอร์ดโฆษณา subtends มุมที่เท่ากันในกลุ่ม เดียวกัน ) มุม มีการทำเครื่องหมายด้วยเส้นหนึ่งในแผนภาพ .
( คอร์ดพ.ศ. subtends มุมที่เท่าเทียมกันในเซ็กเมนต์เดียวกัน) มุมที่มีเครื่องหมายสองจังหวะในแผนภาพ .
( คอร์ด DC subtends มุมที่เท่าเทียมกันในตลาด เดียวกัน ) มุมที่มีเครื่องหมายสามจังหวะในแผนภาพ .
และต่อไปนี้เกี่ยวกับชื่อสามเหลี่ยม :

และสามเหลี่ยม abk DBC จะคล้ายกัน sim1 เพราะสองมุมในแต่ละเป็น เท่ากับ ( เป็นเครื่องหมายในแผนภาพ )และมุมที่ 3 เท่ากับผลรวม เพราะมุมของสามเหลี่ยม สามเหลี่ยม ABC และ
KBC จะคล้ายกัน sim2 เพราะมุมที่เท่ากัน ( เป็นเครื่องหมายในแผนภาพ )

ของทอเลมีเป็นแผนภาพซ้ำบนขวาเพื่อลดการเลื่อน

จากสามเหลี่ยม abk DBC และเรา ดาวน์โหลด :

[ ]

จากสามเหลี่ยม ABC และ KBC เรามี :

[ ]

เพิ่ม 1.01 และ 1.02 102 ( และเอาตัวประกอบร่วม dB ) เราได้ :

[ ]

เพราะ AK และดาวน์โหลด CK เป็นชิ้นส่วนของ AC เรามีทฤษฎีบทปโตเลมี :

[ ]
■ 1.04