Lemma 5. For all v ∈ [i], d(v,in) <

Lemma 5. For all v ∈ [i], d(v,in) < d(v, jn) ∀ j = i.
Proof. To simplify notation we reindex the pegs; doing this, we assume for the rest of
the argument that i = 0 and j = 1. By Lemma 4, the shortest path, γ , from v ∈ [0]
to 1n involves moving the largest disk exactly once. Therefore we can further assume
that γ can be split into three parts: γ1, γ2, and γ3. More precisely, γ1 is a path from v to
v0 = 0an−2 ··· a1a0, ai ∈ { / 0, 1}; γ2 is the intermediate single legal move that is from
v0 = 0an−2 ··· a1a0 to v1 = 1an−2 ··· a1a0; finally, γ3 is from v1 = 1an−2 ··· a1a0 to
1n. (See Figure 6.) We can easily observe that l(γ3) = d(v1, 1n) = d(v0, 0n), since the
relationship between configurations v1 and 1n and that between v0 and 0n are exactly
symmetric. Hence,

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทแทรก 5. สำหรับทุกวี∈ [i], D (วีใน) <ง (V, JN) ∀ J = i.
หลักฐาน เพื่อให้ง่ายต่อสัญกรณ์เรา reindex หมุด; การทำเช่นนี้เราสมมติสำหรับส่วนที่เหลือของ
การโต้แย้งที่ i = 0 และ J = 1 โดยบทแทรก 4 เส้นทางที่สั้นที่สุดγ, จาก v ∈ [0]
เพื่อ 1N เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนย้ายดิสก์ที่ใหญ่ที่สุดครั้งว่า ดังนั้นเราจึงยังสามารถสมมติ
ว่าγสามารถแบ่งออกเป็นสามส่วนγ1, γ2และγ3 อีกอย่างแม่นยำγ1เป็นเส้นทางจาก v เพื่อ
v0 = 0AN-2 ··· a1a0, ai ∈ {/ 0, 1}; γ2เป็นไปตามกฎหมายกลางเดียวที่มาจาก
v0 = 0AN-2 ··· a1a0 เพื่อ v1 = 1an-2 ··· a1a0; ในที่สุดγ3จาก v1 = 1an-2 ··· a1a0 เพื่อ
1N (ดูรูปที่ 6) เราสามารถสังเกตว่าลิตร (γ3) = d (v1, 1N) = d (v0, 0n) เนื่องจาก
ความสัมพันธ์ระหว่าง v1 และการกำหนดค่า 1N และว่าระหว่าง v0 และ 0n จะตรง
สมมาตร ดังนั้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พ 5 ทั้งหมด 5 ∈ [ i ] , D ( V ) < d ( V , J  ∀ Jn ) = I
พิสูจน์ เพื่อลดความซับซ้อนของโน้ตเรา reindex ตอก ; เราทำแบบนี้ ถือว่า สำหรับส่วนที่เหลือ
อาร์กิวเมนต์ที่ฉัน = 0 J = 1 โดยแทรก 4 , γเส้นทางสั้นที่สุดจาก 5 ∈ [ 0 ]
ให้กับ เกี่ยวข้องกับ ย้ายดิสก์ที่ใหญ่ที่สุดเดียว ดังนั้นเราจึงสามารถสันนิษฐาน
ที่γสามารถแบ่งออกเป็นสามส่วน : γ 1 , γ 2 และγ 3 มากขึ้นแน่นอนγ 1 เป็นเส้นทางจาก V

0an การผลิ = − 2 ··· a1a0 ไอ∈ { / 0 , 1 } ; γ 2 เป็นกฎหมายกลางเดียวย้ายที่จากการผลิ 0an
= − 2 ··· a1a0 เพื่อ V1 = 1an − 2 ··· a1a0 ; ในที่สุด γ V1 = 1an − 3 จาก 2 ··· a1a0

กับ ( ดูรูปที่ 6 ) เราสามารถสังเกตว่า L ( γ 3 ) = D ( V1 , 1n ) = D ( การผลิ , สิ่งประดิษฐ์ , ) ตั้งแต่
ความสัมพันธ์ระหว่างค่า V1 และกับและและตรงระหว่างการผลิสิ่งประดิษฐ์
สมมาตร .ดังนั้น