Introduction to TrigonometryTrigono

Introduction to Trigonometry
Trigonometry (from Greek trigonon "triangle" + metron "measure")

Trigonometry ... is all about triangles.
Right Angled Triangle

The triangle of most interest is the right-angled triangle.
The right angle is shown by the little box in the corner.
We usually know another angle θ.
And we give names to each side:
• Adjacent is adjacent (next to) to the angle θ
• Opposite is opposite the angle θ
• the longest side is the Hypotenuse
"Sine, Cosine and Tangent"
Trigonometry is good at find a missing side or angle in a triangle.
The special functions Sine, Cosine and Tangenthelp us!
They are simply one side of a right-angled triangle divided by another.
For any angle "θ":

Sine Function: sin(θ) = Opposite / Hypotenuse
Cosine Function: cos(θ) = Adjacent / Hypotenuse
Tangent Function: tan(θ) = Opposite / Adjacent
(Sine, Cosine and Tangent are often abbreviated to sin, cos and tan.)

Try Sin Cos and Tan!
Move the mouse around to see how different angles affect sine, cosine and tangent:
And you will also see why trigonometry is also about circles! In this animation the hypotenuse is 1, making the Unit Circle.
Notice that the sides can be positive or negative according to the rules of Cartesian coordinates. This makes the sine, cosine and tangent change between positive and negative also.


Unit Circle
What you just played with is the Unit Circle.
It is a circle with a radius of 1 with its center at 0.
Because the radius is 1, we can directly measure sine, cosine and tangent.
Here we see the sine function being made by the unit circle:

You can also see the nice graphs made by sine, cosine and tangent.
Degrees and Radians
Angles can be in Degrees or Radians. Here are some examples:
Angle Degrees Radians
Right Angle 90° π/2
__ Straight Angle 180° π
Full Rotation 360° 2π
Repeating Pattern
Because the angle is rotating around and around the circle the Sine, Cosine and Tangent functions repeat once every full rotation (see Amplitude, Period, Phase Shift and Frequency).
When we need to calculate the function for an angle larger than a full rotation of 2π (360°) we subtract as many full rotations as needed to bring it back below 2π (360°):
Solving Triangles
A big part of Trigonometry is Solving Triangles. "Solving" means finding missing sides and angles.
Example: Find the Missing Angle "C"

Angle C can be found using angles of a triangle add to 180°:
So C = 180° − 76° − 34° = 70°
It is also possible to find missing side lengths and more. The general rule is:
When we know any 3 of the sides or angles we can find the other 3
(except for the three angles case)

See Solving Triangles for more details.
Other Functions (Cotangent, Secant, Cosecant)
Similar to Sine, Cosine and Tangent, there are three other trigonometric functions which are made by dividing one side by another:

Cosecant Function: csc(θ) = Hypotenuse / Opposite
Secant Function: sec(θ) = Hypotenuse / Adjacent
Cotangent Function: cot(θ) = Adjacent / Opposite

Trigonometric and Triangle Identities
And as you get better at Trigonometry you can learn these:
The Trigonometric Identities are equations that are true for all right-angled triangles.
The Triangle Identities are equations that are true for all triangles (they don't have to have a right angle).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตรีโกณมิติเบื้องต้นตรีโกณมิติ (จากภาษากรีก trigonon "สามเหลี่ยม" + metron "วัด") ตรีโกณมิติ...คือการสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมเป็นมุมขวา สามเหลี่ยมน่าสนใจส่วนใหญ่เป็นรูปสามเหลี่ยมที่วาดมุมขวาจะแสดง ด้วยกล่องเล็ก ๆ ในมุมเรามักจะรู้ว่าอีกมุมθและเราให้ชื่อแต่ละด้าน:•ติดจะติด (ถัดไป) มุมθ•ตรงข้ามอยู่ตรงข้ามกับθมุม•ด้านที่ยาวที่สุดเป็นการ Hypotenuse"ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์"ตรีโกณมิติเป็นดีค้นหาขาดข้าง หรือมุมในรูปสามเหลี่ยม พิเศษฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ และ Tangenthelp เราพวกเขาเป็นเพียงหนึ่งด้านของรูปสามเหลี่ยมที่วาดหารอีก ในมุมต่าง ๆ "θ": ฟังก์ชันไซน์: sin(θ) =ข้าม / Hypotenuseฟังก์ชันโคไซน์: cos(θ) = Adjacent / Hypotenuseฟังก์ชันการสัมผัส: tan(θ) =ข้าม / ติดกัน(ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์เป็นมักจะย่อ บาป cos และแทน) ลอง Sin Cos Tanเลื่อนเมาส์รอบ ๆ เพื่อดูมุมมองที่แตกต่างมีผลต่อค่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์:และนอกจากนี้คุณยังจะดูทำไมตรีโกณมิติก็เกี่ยวกับวง ในการเคลื่อนไหวนี้ hypotenuse เป็น 1 ทำวงกลมหน่วยสังเกตเห็นว่า ด้านข้างสามารถเป็นบวก หรือลบตามกฎของพิกัดคาร์ทีเซียน ทำไซน์ โคไซน์และแทนเจนต์เปลี่ยนระหว่างบวก และลบยัง วงกลมหน่วยสิ่งที่คุณเพิ่งเล่นด้วยเป็นวงกลม หน่วย วงกลมที่ มีรัศมี 1 หน่วยมีจุดศูนย์กลางที่ 0 ได้เนื่องจากรัศมี 1 เราสามารถตรงวัดไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ที่นี่เราเห็นฟังก์ชันไซน์จะทำ โดยวงกลมหน่วย:นอกจากนี้คุณยังสามารถดูกราฟดีทำไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์องศาและมุมเรเดียนมุมมองได้ในมุมองศาเป็นเรเดียน ตัวอย่างเช่น:มุมองศาเป็นเรเดียน ฉาก 90 องศา π/2Π__มุมตรง 180 องศา หมุนครบ 360 องศา 2πรูปแบบที่ซ้ำกันเนื่องจากมุมหมุนรอบ ๆ และ รอบ ๆ วงกลมไซน์ โคไซน์และแทนเจนต์ทำซ้ำครั้งหมุนทุกเต็ม (ดูคลื่น ระยะเวลา กะระยะ และความถี่)เมื่อเราต้องการคำนวณฟังก์ชันในมุมมีขนาดใหญ่กว่าการหมุนครบรอบ (360 องศา) เราลบหมุนเวียนเต็มมากตามความจำเป็นเพื่อนำมากลับด้านล่าง 2π 2π (360 องศา):แก้ปัญหาสามเหลี่ยมส่วนใหญ่ของตรีโกณมิติสามเหลี่ยม แก้ได้ "แก้" หมายถึง การค้นหาด้านและมุมที่ขาดหายไปตัวอย่าง: หามุมหายไป "C" สามารถพบมุม C ใช้มุมของรูปสามเหลี่ยมเพิ่ม 180 องศา:ดังนั้น C = 180° − 76° − 34 ° = 70 ° ก็ยังสามารถค้นหาขาดด้านความยาวและอื่น ๆ กฎทั่วไปคือ:เมื่อเรารู้ว่ามี 3 ด้านหรือมุมที่ เราสามารถค้นหาที่ 3(ยกเว้นกรณีสามมุม) ดูการแก้สามเหลี่ยมสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมฟังก์ชั่นอื่น ๆ (โคแทนเจนต์ ซีแคนต์ Cosecant)เช่นเดียวกับไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ มีสามอื่น ๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งทำ โดยการแบ่งด้านใดด้านหนึ่งโดยอีก: ฟังก์ชัน cosecant: csc(θ) = Hypotenuse / ตรงข้ามซีแคนต์ฟังก์ชัน: sec(θ) = Hypotenuse / ติดกันฟังก์ชันโคแทนเจนต์: cot(θ) = Adjacent / ตรงข้าม ตรีโกณมิติเป็นและสามเหลี่ยมและเมื่อคุณได้รับดีกว่าที่ตรีโกณมิติ คุณสามารถเรียนรู้เหล่านี้: ตรีโกณมิติเป็นสมการที่เป็นจริงในสามเหลี่ยมวาดทั้งหมด ลักษณะเฉพาะรูปสามเหลี่ยมคือ สมการที่เป็นจริงในสามเหลี่ยมทั้งหมด (ไม่ต้องมีมุมขวา)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตรีโกณมิติ
ตรีโกณมิติ (มาจากภาษากรีก trigonon "สามเหลี่ยม" + Metron "วัด") ตรีโกณมิติ ... เป็นข้อมูลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม. ขวามุมสามเหลี่ยมรูปสามเหลี่ยมที่น่าสนใจมากที่สุดคือสามเหลี่ยมมุมฉาก. มุมขวาจะปรากฏโดยกล่องเล็ก ๆ . ในมุมเรามักจะรู้θมุมมองอื่น. และเราจะให้ชื่อแต่ละด้าน: •ตั้งอยู่ใกล้เคียงเป็นที่อยู่ติดกัน (ถัดไป) เพื่อมุมθ •ตรงข้ามอยู่ตรงข้ามมุมθ •ด้านที่ยาวที่สุดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก"ซายน์, โคไซน์และ สัมผัส " ตรีโกณมิติเป็นสิ่งที่ดีที่ได้พบกับด้านที่ขาดหายไปหรือมุมในรูปสามเหลี่ยม. ฟังก์ชั่นพิเศษไซน์, โคไซน์และ Tangenthelp เราพวกเขาเป็นเพียงด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากหารด้วยอีก. สำหรับมุมใด ๆ "θ": ฟังก์ชั่นไซน์ : บาป (θ) = ตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉากโคไซน์ฟังก์ชัน: cos (θ) = อยู่ติด / ด้านตรงข้ามมุมฉากสัมผัสฟังก์ชั่น: สีน้ำตาล (θ) = ตรงข้าม / ติดกัน(. ซายน์, โคไซน์และสัมผัสจะยากมักจะทำบาป cos และสีน้ำตาล) พยายามบาป ! Cos Tan และเลื่อนเมาส์ไปรอบ ๆ เพื่อดูว่ามุมที่แตกต่างส่งผลกระทบต่อไซน์โคไซน์และสัมผัสกัน: และคุณยังจะเห็นว่าทำไมตรีโกณมิติยังเกี่ยวกับวงการ! ในการเคลื่อนไหวนี้ด้านตรงข้ามมุมฉาก 1 ทำให้วงกลมหนึ่งหน่วย. ขอให้สังเกตว่าทั้งสามารถเป็นบวกหรือลบตามกฎของพิกัดคาร์ทีเซียน นี้จะทำให้ไซน์โคไซน์และการเปลี่ยนแปลงการสัมผัสกันระหว่างบวกและลบยัง. วงกลมหน่วยสิ่งที่คุณเพียงแค่เล่นกับเป็นวงกลมหน่วย. มันเป็นวงกลมที่มีรัศมี 1 มีศูนย์กลางที่ 0 เพราะรัศมีเป็น 1 เราสามารถ โดยตรงวัดไซน์โคไซน์และสัมผัส. ที่นี่เราเห็นฟังก์ชั่นไซน์ถูกสร้างโดยยูนิทวงกลม: . คุณยังสามารถดูกราฟที่ดีทำโดยไซน์โคไซน์และสัมผัสองศาและเรเดียนมุมที่สามารถอยู่ในองศาหรือเรเดียน นี่คือตัวอย่างบางส่วน: มุมองศาเรเดียนมุมขวา 90 °π / 2 __ ตรงมุม 180 องศาπ เต็มหมุน 360 องศา2π ซ้ำแบบเพราะมุมหมุนไปรอบ ๆ และรอบวงกลมไซน์, โคไซน์และฟังก์ชั่นสัมผัสซ้ำทุกๆหมุนเต็มรูปแบบ (ดูกว้าง, ระยะเวลาและขั้นตอนที่กดปุ่ม Shift ความถี่). เมื่อเราต้องการฟังก์ชั่นในการคำนวณให้ได้มุมมองที่ใหญ่กว่าการหมุนเต็มรูปแบบของ2π (360 องศา) เราลบผลัดเต็มรูปแบบมากที่สุดเท่าที่จำเป็นที่จะนำมันกลับมาด้านล่าง2π (360 ° ): การแก้สามเหลี่ยมส่วนใหญ่ของตรีโกณมิติจะแก้สามเหลี่ยม . "แก้" หมายถึงการหาด้านที่ขาดหายไปและมุมตัวอย่าง: หามุมที่ขาดหายไป "C" มุม C สามารถพบการใช้มุมของรูปสามเหลี่ยมเพิ่มถึง 180 °: ดังนั้น C = 180 ° - 76 ° - 34 ° = 70 องศามันเป็น ยังเป็นไปได้ที่จะหาความยาวด้านที่ขาดหายไปและอื่น ๆ กฎทั่วไปคือเมื่อเรารู้ใด ๆ 3 ด้านหรือมุมที่เราสามารถหาอีก 3 (ยกเว้นกรณีที่สามมุม) . ดูการแก้สามเหลี่ยมสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมฟังก์ชั่นอื่น ๆ (โคแทนเจนต์, ซีแคนต์, โคเซแคนต์) คล้ายกับไซน์, โคไซน์ และสัมผัสมีสามฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ที่จะทำโดยการหารด้านใดด้านหนึ่งโดยอีกโคเซแคนต์ฟังก์ชัน: CSC (θ) = ด้านตรงข้ามมุมฉาก / ตรงข้ามเส้นตัดฟังก์ชั่น: วินาที (θ) = ด้านตรงข้ามมุมฉาก / ติดกันโคแทนเจนต์ฟังก์ชัน: เปล (θ) = ที่อยู่ติดกัน / ตรงข้ามสามเหลี่ยมตรีโกณมิติและอัตลักษณ์และในขณะที่คุณจะได้รับดีกว่าที่ตรีโกณมิติคุณสามารถเรียนรู้เหล่านี้: อัตลักษณ์ตรีโกณมิติเป็นสมการที่เป็นจริงสำหรับทุกรูปสามเหลี่ยมมุมขวา. อัตลักษณ์สามเหลี่ยมเป็นสมการที่เป็นจริงสำหรับทุกรูปสามเหลี่ยม (พวกเขาไม่ได้ จะมีมุมขวา)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติตรีโกณมิติ ( จาก trigonon
" กรีกสามเหลี่ยม " เมทรอน " วัด " )

ตรีโกณมิติ . . . . . . . ทั้งหมดเกี่ยวกับสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมที่มีมุมขวา


รูปที่น่าสนใจที่สุด คือ สามเหลี่ยมที่มีมุมขวา .
มุมขวา แสดงโดย กล่องเล็ก ๆน้อย ๆในมุมที่เรามักจะรู้อีกมุมθ
.
และเราให้ชื่อแต่ละข้าง :
- ประชิดติดกัน ( ข้างๆ ) มุมθ
- ตรงข้ามตรงข้ามมุมθ
- ด้านที่ยาวที่สุดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก
" ไซน์ , โคไซน์และแทนเจนต์ "
ตรีโกณมิติดีหาที่ขาดหายไปด้านข้าง หรือมุมในสามเหลี่ยม
ไซน์โคไซน์และฟังก์ชันพิเศษ tangenthelp เรา !
พวกเขาเป็นเพียงด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมที่มีมุมขวาแบ่งอีก
สำหรับมุมใด " θ " :

ไซน์ฟังก์ชัน : บาป ( θ ) = ข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
ฟังก์ชันโคไซน์ :COS ( θ ) = ติดกัน / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
ฟังก์ชันแทนเจนต์ : Tan ( θ ) = ข้าม / ติดกัน
( ไซน์ , โคไซน์และแทนเจนต์มักจะย่อ sin , cos และ tan )

ลอง cos บาปและตัน !
เลื่อนเมาส์ไปรอบ ๆเพื่อดูว่ามุมที่แตกต่างกันมีผลต่อไซน์ , โคไซน์และแทนเจนต์ :
และคุณจะเห็นว่าทำไมตรีโกณมิติยังเกี่ยวกับวงการ ! ในตัวอย่างด้านคือ 1 . สร้างวงกลมหนึ่งหน่วย .
สังเกตเห็นว่าด้านข้างสามารถบวกหรือลบตามกฎของพิกัด . นี้จะทำให้ไซน์ , โคไซน์และแทนเจนต์เปลี่ยนระหว่างบวกและลบด้วย



อะไรที่คุณกำลังเล่น วงกลมหนึ่งหน่วยคือหน่วยวงกลม
มันเป็นวงกลมที่มีรัศมี 1 กับศูนย์ที่ 0 .
เพราะรัศมี 1 เราโดยตรงสามารถวัดไซน์ , โคไซน์และแทนเจนต์ .
ที่นี่เราจะเห็นฟังก์ชันไซน์ที่ถูกทำโดย วงกลมหนึ่งหน่วย :

คุณยังสามารถดูได้จากกราฟที่ดีไซน์ , โคไซน์และแทนเจนต์ .

มุมและองศาเรเดียนสามารถในองศาหรือเรเดียน . นี่คือตัวอย่าง :
มุมองศาเรเดียน
มุมขวา 90 องศาπ / 2
__ ตรงมุม 180 องศาπ
เต็มหมุน 360 องศา 2 π

เพราะมุมมันซ้ำๆ แบบหมุนๆรอบวงกลมไซน์ ,โคไซน์และแทนเจนต์ฟังก์ชันย้ำทุกครั้ง ( ดูขนาดเต็มรอบระยะเวลาการเปลี่ยนเฟสและความถี่ )
เมื่อเราต้องการคำนวณฟังก์ชันสำหรับมุมที่มีขนาดใหญ่กว่าการหมุนเต็ม 2 π ( 360 องศา ) เราลบเป็นรอบเต็มมากตามที่ต้องการเพื่อนำมันกลับมาด้านล่าง 2 π ( 360 องศา )

แก้สามเหลี่ยมขนาดใหญ่ส่วนหนึ่งของการแก้ปัญหาตรีโกณมิติเป็นรูปสามเหลี่ยม" การแก้ปัญหา " หมายถึงการขาดด้านและมุม .
ตัวอย่าง : หามุม " C "

มุม C สามารถพบได้โดยใช้มุมของรูปสามเหลี่ยมเพิ่ม 180 ° :
c = 180 °− 1 ดังนั้น°− 34 องศา = 70 องศา
นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะหาหายไปข้างความยาวและอื่น ๆ . กฎทั่วไปคือ :
เมื่อเรารู้ใด ๆ 3 ด้าน หรือมุมที่เราสามารถหาอื่น ๆ 3
( ยกเว้นสามมุมกรณี )

เห็นแก้สามเหลี่ยมสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม หน้าที่อื่น ๆ ( Secant โคแทนเจนต์
, ,
คล้ายกับสี่เหลี่ยมคางหมู ) ไซน์ , โคไซน์และแทนเจนต์ , มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ซึ่งทำโดยการแบ่งข้างหนึ่งอีก :

ฟังก์ชันโคเซแคนต์ : CSC ( θ ) = ด้านตรงข้ามมุมฉาก / ตรงข้าม
เซแคนต์ฟังก์ชัน : วินาที ( θ ) = ป่าดึกดำบรรพ์ / ติดกัน
โคแทนเจนต์ฟังก์ชัน : เปล ( θ ) = ที่อยู่ตรงข้าม

ตรีโกณมิติและสามเหลี่ยมเอกลักษณ์
และคุณได้รับดีกว่าที่คุณสามารถเรียนรู้ตรีโกณมิติเหล่านี้ :
เอกลักษณ์ตรีโกณมิติเป็นสมการที่เป็นจริงทั้งหมดขวามุมสามเหลี่ยม
สามเหลี่ยมอัตลักษณ์เป็นสมการที่เป็นจริงสำหรับรูปสามเหลี่ยม ( พวกเขาไม่จำเป็นต้องมีมุมขวา


)