Contributions to non-Euclidean geom

Contributions to non-Euclidean geometry[edit]
In 1868 Beltrami published two memoirs (written in Italian; French translations by J. Hoüel appeared in1869) dealing with consistency and interpretations of non-Euclidean geometry of Bolyai and Lobachevsky. In his "Essay on an interpretation of non-Euclidean geometry", Beltrami proposed that this geometry could be realized on a surface of constant negative curvature, a pseudosphere. For Beltrami's concept, lines of the geometry are represented by geodesics on the pseudosphere and theorems of non-Euclidean geometry can be proved within ordinary three-dimensional Euclidean space, and not derived in an axiomatic fashion, as Lobachevsky and Bolyai had done previously. In 1840, Minding already considered geodesic triangles on the pseudosphere and remarked that the corresponding "trigonometric formulas" are obtained from the corresponding formulas of spherical trigonometry by replacing the usual trigonometric functions with hyperbolic functions; this was further developed by Codazzi in 1857, but apparently neither of them noticed the association with Lobachevsky's work. In this way, Beltrami attempted to demonstrate that two-dimensional non-Euclidean geometry is as valid as the Euclidean geometry of the space, and in particular, that Euclid's parallel postulate could not be derived from the other axioms of Euclidean geometry. It is often stated that this proof was incomplete due to the singularities of the pseudosphere, which means that geodesics could not be extended indefinitely. However, John Stillwell remarks that Beltrami must have been well aware of this difficulty, which is also manifested by the fact that the pseudosphere is topologically a cylinder, and not a plane, and he spent a part of his memoir designing a way around it. By a suitable choice of coordinates, Beltrami showed how the metric on the pseudosphere can be transferred to the unit disk and that the singularity of the pseudosphere corresponds to a horocycle on the non-Euclidean plane. On the other hand, in the introduction to his memoir, Beltrami states that it would be impossible to justify "the rest of Lobachevsky's theory", i.e. the non-Euclidean geometry of space, by this method.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สรรไม่ใช่ Euclidean เรขาคณิต [แก้ไข]ใน 1868 Beltrami เผยแพร่จดหมายเหตุสอง (เขียนในอิตาลี แปลภาษาฝรั่งเศส โดย J. Hoüel ปรากฏ in1869) กับความสอดคล้องและการตีความของเรขาคณิตไม่ใช่ Euclidean Bolyai และ Lobachevsky ในพระองค์ "เรียงความในการตีความของ Euclidean ไม่ใช่เรขาคณิต" Beltrami เสนอว่า เรขาคณิตนี้อาจเกิดขึ้นบนพื้นผิวของคงลบโค้ง pseudosphere เป็นการ สำหรับแนวคิดของ Beltrami แสดง โดย geodesics บน pseudosphere ที่บรรทัดของเรขาคณิต และทฤษฎีของ Euclidean ไม่ใช่เรขาคณิตสามารถพิสูจน์ภายในพื้นที่ Euclidean สามมิติทั่วไป และไม่ได้มาในแฟชั่น axiomatic เป็น Lobachevsky และ Bolyai ทำก่อนหน้านี้ 1840, Minding แล้วพิจารณาสามเหลี่ยม geodesic บนที่ pseudosphere และกล่าวว่า มีรับตรง "ตรีโกณมิติเป็นสูตร" จากสูตรที่สอดคล้องกันของตรีโกณมิติทรงกลม โดยแทนปกติฟังก์ชันตรีโกณมิติฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก นี้เพิ่มเติมถูกพัฒนา โดย Codazzi ในค.ศ. 1857 แต่เห็นได้ชัดว่าพวกเขาไม่สังเกตเห็นความสัมพันธ์กับการทำงานของ Lobachevsky ด้วยวิธีนี้ Beltrami พยายามแสดงให้เห็นว่า ไม่ใช่ Euclidean เรขาคณิตสองมิติถูกต้องที่เรขาคณิต Euclidean พื้นที่ และโดยเฉพาะ postulate ขนานของยุคลิดที่อาจไม่ได้มาจากสัจพจน์ของเรขาคณิต Euclidean มักจะระบุไว้ว่า หลักฐานนี้ไม่สมบูรณ์เนื่องจาก singularities ของ pseudosphere ซึ่งหมายความ ว่า geodesics อาจไม่สามารถขยายโดยไม่จำกัดเวลา อย่างไรก็ตาม จอห์น Stillwell หมายเหตุว่า Beltrami ต้องมีการตระหนักดีถึงความยากนี้ ซึ่งยังได้ประจักษ์ความจริงว่า ที่ pseudosphere topologically ทรงกระบอก และไม่เครื่องบิน และเขาใช้เวลาส่วนหนึ่งของ memoir ของเขาออกแบบรอบ ๆ โดยทางเลือกที่เหมาะสมของพิกัด Beltrami แสดงวิธีการวัดบน pseudosphere ที่สามารถถ่ายโอนลงหน่วยและว่า ภาวะเอกฐานของ pseudosphere ที่สอดคล้องกับ horocycle บนเครื่องบินไม่ใช่ Euclidean บนมืออื่น ๆ ในการแนะนำของเขา memoir, Beltrami ระบุว่า จะไม่ให้ "ส่วนเหลือของทฤษฎีของ Lobachevsky" เช่นเรขาคณิต Euclidean ไม่ใช่พื้นที่ โดยวิธีนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เงินจ่ายสมทบไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิด [แก้ไข]
ใน 1868 Beltrami ตีพิมพ์หนังสือสองบันทึกความทรงจำ (เขียนในอิตาลี; แปลภาษาฝรั่งเศสโดยเจHoüelปรากฏ in1869) ที่เกี่ยวข้องกับความมั่นคงและการตีความไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิดของ Bolyai และ Lobachevsky ใน "เรียงความเกี่ยวกับการตีความไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิด" เขา Beltrami เสนอว่าเรขาคณิตนี้เกิดขึ้นจริงบนพื้นผิวของเส้นโค้งเชิงลบคง pseudosphere สำหรับแนวคิด Beltrami ของเส้นของรูปทรงเรขาคณิตเป็นตัวแทนจาก geodesics บน pseudosphere และทฤษฎีบทของไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิดสามารถพิสูจน์ได้ภายในสามัญปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติและไม่ได้มาในแฟชั่นซึ่งเป็นจริงตามที่ Lobachevsky และ Bolyai เคยทำมาก่อนหน้านี้ ในปี 1840, ระวังพิจารณาแล้วรูปสามเหลี่ยมบนเนื้อที่ pseudosphere และตั้งข้อสังเกตว่าตรงกัน "สูตรตรีโกณมิติ" ได้มาจากสูตรที่สอดคล้องกันของตรีโกณมิติทรงกลมโดยการเปลี่ยนฟังก์ชันตรีโกณมิติปกติกับฟังก์ชั่นการผ่อนชำระ; นี้ได้รับการพัฒนาต่อไปโดย Codazzi ใน 1857 แต่เห็นได้ชัดว่าพวกเขาไม่สังเกตเห็นการเชื่อมโยงกับการทำงานของ Lobachevsky ด้วยวิธีนี้ Beltrami พยายามที่จะแสดงให้เห็นว่าไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิดสองมิติเป็นที่ถูกต้องเป็นรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดของพื้นที่และโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ขนานสมมุติ Euclid 's ไม่สามารถได้มาจากหลักการอื่น ๆ ของรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด มันก็มักจะอ้างว่าหลักฐานนี้ยังไม่สมบูรณ์เนื่องจากเอกของ pseudosphere ซึ่งหมายความว่า geodesics ไม่อาจจะขยายไปเรื่อย ๆ อย่างไรก็ตามจอห์นสติลเวลพูดว่า Beltrami ต้องได้รับการตระหนักดีถึงความยากลำบากนี้ซึ่งเป็นที่ประจักษ์โดยความจริงที่ว่า pseudosphere เป็นทอพอโลยีถังและเครื่องบินไม่ได้และเขาใช้เวลาส่วนหนึ่งของชีวิตประจำวันของเขาออกแบบวิธีรอบ โดยทางเลือกที่เหมาะสมของพิกัด Beltrami แสดงให้เห็นว่าตัวชี้วัดที่ pseudosphere สามารถโอนไปยังดิสก์หน่วยและที่แปลกประหลาดของ pseudosphere สอดคล้องกับ horocycle บนเครื่องบินที่ไม่ใช่ยุคลิด ในทางตรงกันข้ามในเบื้องต้นเกี่ยวกับชีวิตประจำวันของเขา Beltrami ระบุว่ามันจะเป็นไปไม่ได้ที่จะปรับ "ส่วนที่เหลือของทฤษฎี Lobachevsky ของ" กล่าวคือไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิดของพื้นที่โดยวิธีการนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บริจาคเพื่อไม่ใช้เรขาคณิต [ แก้ไข ]
ในปี 1868 Beltrami ตีพิมพ์สองบันทึก ( เขียนในภาษาอิตาลี ; แปลภาษาฝรั่งเศสโดยเจ. โฮüเอลปรากฏ in1869 ) ที่เกี่ยวข้องกับความมั่นคงและการตีความที่ไม่ใช้เรขาคณิตของโบลไย และโลบาชอฟสกี . ในบทความของเขา " ในการตีความที่ไม่ใช้เรขาคณิต "Beltrami เสนอว่าเรขาคณิตนี้สามารถตระหนักบนพื้นผิวของความโค้งลบคงเป็น pseudosphere . สำหรับ Beltrami เป็นแนวคิดเส้นของรูปทรงเรขาคณิตที่แสดงโดยจีโอเดสิกใน pseudosphere ทฤษฎีบทเรขาคณิตและไม่พลาด สามารถพิสูจน์ได้ภายในธรรมดาใช้พื้นที่สามมิติ และไม่ได้เป็นสัจพจน์ แฟชั่น ,เป็นและโลบาชอฟสกีโบลไยทำก่อนหน้านี้ ในปีค.ศ. 1840 ดูแล้วพิจารณาสามเหลี่ยม geodesic บน pseudosphere และเปรยว่า " ตรีโกณมิติสูตร " ที่ได้จากสูตรที่สอดคล้องกันของตรีโกณมิติทรงกลมโดยแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกปกติ ; นี้ถูกพัฒนาต่อโดย อาโน โกดัซซีใน 1857แต่ดูเหมือนพวกเขาไม่ได้สังเกตเห็นความสัมพันธ์กับโลบาชอฟสกีทำงาน ในวิธีนี้พยายามที่จะแสดงให้เห็นว่าสองมิติ Beltrami ไม่ใช้เรขาคณิตเป็นใช้ได้เมื่อใช้เรขาคณิตของอวกาศ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ยูคลิดขนานไม่อาจได้มาจากสัจพจน์ สัจพจน์ของใช้รูปทรงเรขาคณิต