Plato’s student Eudoxus of Cnidus i

Plato’s student Eudoxus of Cnidus is usually credited with the first implementation of the “method of exhaustion” (later developed by Archimedes), an early method of integration by successive approximations which he used for the calculation of the volume of the pyramid and cone. He also developed a general theory of proportion, which was applicable to incommensurable (irrational) magnitudes that cannot be expressed as a ratio of two whole numbers, as well as to commensurable (rational) magnitudes, thus extending Pythagoras’ incomplete ideas.

Perhaps the most important single contribution of the Greeks, though - and Pythagoras, Plato and Aristotle were all influential in this respect - was the idea of proof, and the deductive method of using logical steps to prove or disprove theorems from initial assumed axioms. Older cultures, like the Egyptians and the Babylonians, had relied on inductive reasoning, that is using repeated observations to establish rules of thumb. It is this concept of proof that give mathematics its power and ensures that proven theories are as true today as they were two thousand years ago, and which laid the foundations for the systematic approach to mathematics of Euclid and those who came after him.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

นักเรียนของเพลโต Eudoxus Cnidus โดยปกติจะถูกเครดิตกับการดำเนินงานแรกของ "วิธีการเกษียณ" (ภายหลังพัฒนา โดยเอส), วิธีการเริ่มต้นการรวม โดยเพียงการประมาณ successive ที่เขาใช้สำหรับการคำนวณปริมาตรของพีระมิดและกรวย เขายังได้พัฒนาทฤษฎีทั่วไปของสัดส่วน ซึ่งถูกใช้ เพื่อ incommensurable magnitudes (จำนวนอตรรกยะ) ที่ไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสอง และ commensurable (เชือด) magnitudes จึง ขยายความคิดสมบูรณ์ของ Pythagorasทีสำคัญเดียวสรร กรีก แม้ว่า - และ Pythagoras เพลโต และอริสโตเติลได้มีอิทธิพลทั้งหมดในนี้ - เป็นความคิดของหลักฐาน และวิธี deductive การใช้ขั้นตอนทางตรรกะในการพิสูจน์ หรือพิสูจน์หักล้างทฤษฎีจากเริ่มต้นสันนิษฐานสัจพจน์ วัฒนธรรมเก่า อียิปต์และ Babylonians ได้อาศัยในการใช้เหตุผลเชิงอุปนัย ที่ใช้สังเกตซ้ำเพื่อสร้างกฎของหัวแม่มือ มันเป็นแนวคิดนี้ของหลักฐานที่ให้อำนาจของคณิตศาสตร์ และใจพิสูจน์แล้วว่าทฤษฎีเป็นจริงวันนี้เป็นพวกปีสองพัน และที่วางรากฐานสำหรับระบบวิธีการคณิตศาสตร์ของยุคลิดและผู้ที่มาหลังจากเขา

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

Eudoxus นักเรียนของเพลโตของซนีดัสมักจะให้เครดิตกับการดำเนินการครั้งแรกของ "วิธีการของความอ่อนล้า" (ต่อมาพัฒนาโดยอาร์คิมี) วิธีการเริ่มต้นของการรวมโดยประมาณต่อเนื่องซึ่งเขาใช้ในการคำนวณปริมาณของพีระมิดและกรวย นอกจากนี้เขายังได้พัฒนาทฤษฎีทั่วไปของสัดส่วนซึ่งใช้บังคับกับการเปรียบเทียบกันไม่ (ไม่มีเหตุผล) เคาะที่ไม่สามารถแสดงความเป็นอัตราส่วนของตัวเลขสองทั้งเช่นเดียวกับที่สมน้ำสมเนื้อ (เหตุผล) เคาะดังนั้นการขยายความคิดที่ไม่สมบูรณ์พีธากอรัส ' บางทีมากที่สุด สนับสนุนที่สำคัญเดียวของชาวกรีกแม้ว่า - และพีธากอรัสเพลโตและอริสโตเติลล้วนมีอิทธิพลในแง่นี้ - เป็นความคิดของการพิสูจน์และวิธีการหักทอนโดยใช้ขั้นตอนตรรกะที่จะพิสูจน์หรือหักล้างทฤษฎีจากหลักการสันนิษฐานเบื้องต้น วัฒนธรรมที่เก่ากว่าเช่นชาวอียิปต์และชาวบาบิโลนได้อาศัยเหตุผลอุปนัยที่ใช้การสังเกตซ้ำแล้วซ้ำอีกในการสร้างกฎของหัวแม่มือ มันเป็นแนวความคิดของการพิสูจน์ที่ให้คณิตศาสตร์อำนาจของตนและทำให้มั่นใจว่าทฤษฎีนี้เป็นจริงที่พิสูจน์แล้วในวันนี้ขณะที่พวกเขาสองพันปีที่ผ่านมานี้และที่วางรากฐานสำหรับวิธีการที่เป็นระบบในคณิตศาสตร์ยุคลิดและบรรดาผู้ที่มาหลังจากที่เขา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ของพลาโต นักเรียน eudoxus แห่งคนิดัสมักจะให้เครดิตกับครั้งแรกที่ใช้ " วิธีการ " ( พัฒนาทีหลังได้ ) วิธีแรกโดยการผสมผสานของการต่อเนื่องซึ่งเขาใช้สำหรับการคำนวณปริมาตรของพีระมิดและกรวย เขายังได้พัฒนาทฤษฎีทั่วไปของสัดส่วนซึ่งสามารถใช้ได้กับที่เปรียบเทียบกันไม่ได้ ( ไม่มีเหตุผล ) ขนาดว่าไม่สามารถแสดงเป็น อัตราส่วนของเลขสองทั้งหมด รวมทั้งที่มีขนาดเท่ากัน ( เชือด ) ขนาดจึงขยายพีทาโกรัสสมบูรณ์ความคิด

บางทีผลงานเดียวที่สำคัญที่สุดของกรีก แม้ว่า และ ปิธากอรัส เพลโตอริสโตเติล , และเป็นผู้มีอิทธิพลในการเคารพ - นี้คือความคิดของหลักฐานและแบบนิรนัยโดยใช้ขั้นตอนทางตรรกะเพื่อพิสูจน์หรือหักล้างทฤษฎีบทเบื้องต้นสันนิษฐานจากสัจพจน์ . วัฒนธรรมเก่า อย่างที่ชาวอียิปต์และชาวบาบิโลนได้อาศัยการให้เหตุผลแบบอุปนัย คือการใช้ซ้ำ สังเกตการสร้างกฎของหัวแม่มือมันคือหลักฐานที่ให้แนวคิดของคณิตศาสตร์ของพลังงานและเพื่อให้แน่ใจว่า ทฤษฎีที่พิสูจน์แล้วจะเป็นจริงในวันนี้เป็นพวกเขาสองพันปีมาแล้วและที่วางรากฐานสำหรับระบบคณิตศาสตร์ของยูคลิดและคนที่มาหลังเขา

.