คำศัพท์คณิตศาสตร์Definition 2.4. Defi

คำศัพท์คณิตศาสตร์
Definition 2.4. Define a binary relation ≤ on KK-algebra X by letting x ≤ y if and only if y∗x =0 .
A structure of KK-algebras and its properties 1037
Proposition 2.5. If (X;∗,0) is a KK-algebra, then (X;≤) is a partially order set. Proposition 2.6. If (X;∗,0) be a KK-algebra and x ≤ 0, then x =0 , for any x ∈ X. Moreover, 0 is called a minimal element in X. Proof. Let x ≤ 0, then 0∗x =0 . By KK-2, 0∗x = x, and thus x =0 .  It is easy to show that the following properties are true for a KK-algebra. Theorem 2.7. Let (X;∗,0) be a KK-algebra if and only if it satisfies the following conditions: for all x,y,z ∈ X, (1) ((y∗z)∗(x∗z)) ≤ (x∗y); (2) ((x∗y)∗y)≤ x; (3) x ≤ y if and only if y∗x =0 . Proposition 2.8. Let x,y,z be any element in a KK-algebra X. Then (1) x ≤ y implies y∗z ≤ x∗z. (2) x ≤ y implies z∗x ≤ z∗y. Proposition 2.9. Let x,y,z be any element in a KK-algebra X. Then x∗(y∗ z)=y∗(x∗z). Proof. Since theorem 2.7(2), (x∗z)∗z ≤ x, and by proposition 2.8(1), we get that x∗(y ∗z) ≤ ((x∗z)∗z)∗(y ∗z). Putting x = y and y = x∗z in theorem 2.7(1), it follows that ((x∗z)∗z)∗(y ∗z) ≤ y ∗(x∗z). By the transitivity of ≤ gives x∗(y ∗z) ≤ y ∗(x∗z). And we replacing x by y and y by x, we obtain y ∗(x∗z) ≤ x∗(y ∗z). By the anti-symmetry of ≤, thus x∗(y∗z)=y∗(x∗z) and finishing the proof.  Corollary 2.10. Let x,y,z be any element in a KK-algebra X. Then (1) y∗z ≤ x if and only if x∗z ≤ y. (2) (z∗x)∗(z∗y)≤ x∗y. (3) x ≤ y implies x∗z ≤ y∗z. Proposition 2.11. Let x,y,z be any element in a KK-algebra X. Then (1) ((x∗y)∗y)∗y = x∗y. (2) (x∗y)∗0=( x∗0)∗(y∗0). Proof. (1) From theorem 2.3(2) and theorem 2.7(1) , (((x∗y)∗y)∗y)∗ (x ∗ y) ≤ x ∗((x ∗ y)∗ y)=0 . Thus (((x ∗y)∗ y)∗y)∗ (x ∗ y)=0 . Since (x ∗ y)∗ (((x ∗ y)∗y)∗ y) = (( x ∗ y)∗y)∗ ((x ∗ y)∗y)=0 . So, by KK-3, (x∗y)∗y = x∗y. (2) Since (x∗0)∗(y∗0) = (x∗0)∗(y∗((x∗y)∗(x∗y))) = (x∗0)∗((x∗y)∗(y∗ (x∗y))) = (x∗0)∗((x∗y)∗(x∗(y∗y))) = (x∗y)∗((x∗0)∗(x∗0)) = (x∗y)∗0. The proof is complete. 
In this paper we will denote N for the set of all nonnegative integers, i.e.,
1038 S. Asawasamrit and A. Sudprasert
0,1,2,..., and N∗ for the set of all natural numbers, i.e., 1,2,3,..., and we will also use the following notation in brevity: y0 ∗x = x,y n ∗x = y∗(...∗(y∗(y∗x)))    ntimes , where x,y are any elements in a KK-algebra and n ∈ N∗. Proposition 2.12. Let x,y be any element in a KK-algebra X. Then (1) ((y∗x)∗x)n ∗x = yn ∗x for any n ∈ N. (2) (xn ∗0)∗0=(x∗0)n ∗0 for any n ∈ N. Proof. Let X be a KK-algebra and x,y ∈ X and n,m ∈ N. (1) Proceed by induction on n and defined the statement P(n),((y ∗x)∗x )n∗x = yn∗x. We see that P(0) is true, ((y∗x)∗x)0∗x = x = y0∗x. Assume that P(k) is true for some arbitrary k ≥ 0, that is ((y∗x)∗x)k ∗x = yk ∗x. Since ((y∗x)∗x)k+1∗x = (( y∗x)∗x)∗(((y∗x)∗x)k∗x) = (( y∗x)∗x)∗(yk∗x)= yk∗(((y∗x)∗x)∗x)=yk∗(y∗x)=yk+1∗x. This show that P(k +1) is true and by the principle of mathematical induction, P(n) is true for each n ∈ N∗. (2) Since (xn ∗0)∗0=( x∗(xn−1 ∗0))∗0=( x∗0)∗((xn−1 ∗0)∗0) = (x∗0)∗((x∗(xn−2 ∗0))∗0) = (x∗0)∗((x∗0)∗((xn−2 ∗0)∗0)) = (x∗0)2 ∗ ((xn−2 ∗0)∗0) = ... =( x∗0)n ∗0  Given x ∈ X if it satisfies x∗0=0 , that is 0 ≤ x, the element x is calleda positive element of X. By definition, the zero element 0 of X is positive. Proposition 2.12. Let x be any element in a KK-algebra X. Then ((x∗0)∗ 0)∗x is a positive element of X for every x ∈ X. Proof. Since (((x∗0)∗0)∗x)∗0 = (((x∗0)∗0)∗0))∗(x∗0) = (x∗0)∗(x∗0) = 0. Therefore ((x∗0)∗0)∗x is a positive element of X. 

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คำศัพท์คณิตศาสตร์2.4 ภาษา กลุ่ม≤ความสัมพันธ์ไบนารีบน X KK พีชคณิต โดยให้ x ≤ y ถ้าและเฉพาะในกรณี y∗x = 0โครงสร้างของฉาก KK และคุณสมบัติของ 1037Proposition 2.5. If (X;∗,0) is a KK-algebra, then (X;≤) is a partially order set. Proposition 2.6. If (X;∗,0) be a KK-algebra and x ≤ 0, then x =0 , for any x ∈ X. Moreover, 0 is called a minimal element in X. Proof. Let x ≤ 0, then 0∗x =0 . By KK-2, 0∗x = x, and thus x =0 .  It is easy to show that the following properties are true for a KK-algebra. Theorem 2.7. Let (X;∗,0) be a KK-algebra if and only if it satisfies the following conditions: for all x,y,z ∈ X, (1) ((y∗z)∗(x∗z)) ≤ (x∗y); (2) ((x∗y)∗y)≤ x; (3) x ≤ y if and only if y∗x =0 . Proposition 2.8. Let x,y,z be any element in a KK-algebra X. Then (1) x ≤ y implies y∗z ≤ x∗z. (2) x ≤ y implies z∗x ≤ z∗y. Proposition 2.9. Let x,y,z be any element in a KK-algebra X. Then x∗(y∗ z)=y∗(x∗z). Proof. Since theorem 2.7(2), (x∗z)∗z ≤ x, and by proposition 2.8(1), we get that x∗(y ∗z) ≤ ((x∗z)∗z)∗(y ∗z). Putting x = y and y = x∗z in theorem 2.7(1), it follows that ((x∗z)∗z)∗(y ∗z) ≤ y ∗(x∗z). By the transitivity of ≤ gives x∗(y ∗z) ≤ y ∗(x∗z). And we replacing x by y and y by x, we obtain y ∗(x∗z) ≤ x∗(y ∗z). By the anti-symmetry of ≤, thus x∗(y∗z)=y∗(x∗z) and finishing the proof.  Corollary 2.10. Let x,y,z be any element in a KK-algebra X. Then (1) y∗z ≤ x if and only if x∗z ≤ y. (2) (z∗x)∗(z∗y)≤ x∗y. (3) x ≤ y implies x∗z ≤ y∗z. Proposition 2.11. Let x,y,z be any element in a KK-algebra X. Then (1) ((x∗y)∗y)∗y = x∗y. (2) (x∗y)∗0=( x∗0)∗(y∗0). Proof. (1) From theorem 2.3(2) and theorem 2.7(1) , (((x∗y)∗y)∗y)∗ (x ∗ y) ≤ x ∗((x ∗ y)∗ y)=0 . Thus (((x ∗y)∗ y)∗y)∗ (x ∗ y)=0 . Since (x ∗ y)∗ (((x ∗ y)∗y)∗ y) = (( x ∗ y)∗y)∗ ((x ∗ y)∗y)=0 . So, by KK-3, (x∗y)∗y = x∗y. (2) Since (x∗0)∗(y∗0) = (x∗0)∗(y∗((x∗y)∗(x∗y))) = (x∗0)∗((x∗y)∗(y∗ (x∗y))) = (x∗0)∗((x∗y)∗(x∗(y∗y))) = (x∗y)∗((x∗0)∗(x∗0)) = (x∗y)∗0. The proof is complete. In this paper we will denote N for the set of all nonnegative integers, i.e.,1038 S. Asawasamrit and A. Sudprasert0,1,2,..., and N∗ for the set of all natural numbers, i.e., 1,2,3,..., and we will also use the following notation in brevity: y0 ∗x = x,y n ∗x = y∗(...∗(y∗(y∗x)))    ntimes , where x,y are any elements in a KK-algebra and n ∈ N∗. Proposition 2.12. Let x,y be any element in a KK-algebra X. Then (1) ((y∗x)∗x)n ∗x = yn ∗x for any n ∈ N. (2) (xn ∗0)∗0=(x∗0)n ∗0 for any n ∈ N. Proof. Let X be a KK-algebra and x,y ∈ X and n,m ∈ N. (1) Proceed by induction on n and defined the statement P(n),((y ∗x)∗x )n∗x = yn∗x. We see that P(0) is true, ((y∗x)∗x)0∗x = x = y0∗x. Assume that P(k) is true for some arbitrary k ≥ 0, that is ((y∗x)∗x)k ∗x = yk ∗x. Since ((y∗x)∗x)k+1∗x = (( y∗x)∗x)∗(((y∗x)∗x)k∗x) = (( y∗x)∗x)∗(yk∗x)= yk∗(((y∗x)∗x)∗x)=yk∗(y∗x)=yk+1∗x. This show that P(k +1) is true and by the principle of mathematical induction, P(n) is true for each n ∈ N∗. (2) Since (xn ∗0)∗0=( x∗(xn−1 ∗0))∗0=( x∗0)∗((xn−1 ∗0)∗0) = (x∗0)∗((x∗(xn−2 ∗0))∗0) = (x∗0)∗((x∗0)∗((xn−2 ∗0)∗0)) = (x∗0)2 ∗ ((xn−2 ∗0)∗0) = ... =( x∗0)n ∗0  Given x ∈ X if it satisfies x∗0=0 , that is 0 ≤ x, the element x is calleda positive element of X. By definition, the zero element 0 of X is positive. Proposition 2.12. Let x be any element in a KK-algebra X. Then ((x∗0)∗ 0)∗x is a positive element of X for every x ∈ X. Proof. Since (((x∗0)∗0)∗x)∗0 = (((x∗0)∗0)∗0))∗(x∗0) = (x∗0)∗(x∗0) = 0. Therefore ((x∗0)∗0)∗x is a positive element of X. 

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คำศัพท์คณิตศาสตร์
De Fi nition 2.4 ภาคตะวันออกเฉียงเหนือฐานความสัมพันธ์ De Fi ≤บน KK-X พีชคณิตโดยให้ x ≤ y ถ้าหากว่า Y * x = 0.
โครงสร้างของ KK-จีบและคุณสมบัติของ 1037
โจทย์ 2.5 ถ้า (X *, 0) คือ KK-พีชคณิตแล้ว (X; ≤) เป็นบางส่วนชุดคำสั่ง โจทย์ 2.6 ถ้า (X *, 0) เป็น KK-พีชคณิตและ x ≤ 0 แล้ว x = 0 สำหรับการใด ๆ x ∈เอ็กซ์นอกจากนี้ 0 เรียกว่าเป็นองค์ประกอบที่น้อยที่สุดในเอ็กซ์หลักฐาน ให้ x ≤ 0 แล้ว 0 * x = 0 โดย KK-2, 0 * x = x และทำให้ x = 0 ? มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติดังต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับ KK-พีชคณิต ทฤษฎีบท 2.7 Let (X *, 0) เป็น KK-พีชคณิตและถ้าหากมัน satis Fi ES เงื่อนไขต่อไปนี้สำหรับทุก x, y, z ∈เอ็กซ์ (1) ((y * z) * (x * z)) ≤ (x * y); (2) ((x * y) * y) ≤ x; (3) Y x ≤ถ้าหากว่า Y * x = 0 โจทย์ 2.8 Let X, Y, Z เป็นองค์ประกอบใด ๆ ในเอ็กซ์ KK-พีชคณิตแล้ว (1) x ≤ Y หมายถึง Y * Z ≤ X * Z (2) x ≤ Y หมายถึง Z * x ≤ Z * Y โจทย์ 2.9 Let X, Y, Z เป็นองค์ประกอบใด ๆ ในพีชคณิต KK-X ได้แล้ว X * (y * z) y = * (x * z) พิสูจน์ ตั้งแต่ทฤษฎีบท 2.7 (2), (X * z) * Z ≤ X และข้อเสนอ 2.8 (1) เราได้รับที่ * x (y * z) ≤ ((X * z) * z) * (y * Z ) วาง X = Y และ Y = x * Z ในทฤษฎีบท 2.7 (1) มันตามที่ ((X * z) * z) * (y * z) ≤ Y * (x * z) โดยกริยาของ≤ให้ X * (y * z) ≤ Y * (x * z) และเราแทนที่ X โดย Y และ Y โดย X, Y เราได้รับ * (x * Z) ≤ X * (y * z) โดยป้องกันสมมาตรของ≤จึง X * (y * z) y = * (x * z) และ Fi nishing หลักฐาน ? ควันหลง 2.10 Let X, Y, Z เป็นองค์ประกอบใด ๆ ในพีชคณิต KK-X ได้แล้ว (1) * Y Z ≤ x ถ้าหากว่า X * Z ≤ Y (2) (Z * x) * (Z * y) ≤ X * Y (3) x ≤ Y หมายถึง X * Z ≤ Y * Z โจทย์ 2.11 Let X, Y, Z เป็นองค์ประกอบใด ๆ ในเอ็กซ์ KK-พีชคณิตแล้ว (1) ((x * y) * y) * การ y = x * Y (2) (x * y) * 0 = (x * 0) * (y * 0) พิสูจน์ (1) จากทฤษฎีบท 2.3 (2) และทฤษฎีบท 2.7 (1), (((x * y) * y) * y) * (x * y) ≤ X * ((x * y) * y) = 0 ดังนั้น (((x * y) * y) * y) * (x * y) = 0 ตั้งแต่ (x * y) * (((x * y) * y) * y) = ((x * y) * y) * ((x * y) * y) = 0 ดังนั้นโดย KK-3 (x * y) * การ y = x * Y (2) ตั้งแต่ (x * 0) * (y * 0) = (x * 0) * (y * ((x * y) * (x * y))) = (x * 0) * ((x * Y) * (y * (x * y))) = (x * 0) * ((x * y) * (* x (y * y))) = (x * y) * ((x * 0) * (x * 0)) = (x * y) * 0 หลักฐานเสร็จสมบูรณ์ ?
ในบทความนี้เราจะแสดง N สำหรับชุดของจำนวนเต็มไม่เป็นลบทั้งหมดคือ
1038 เอสเอและ Asawasamrit สุดประเสริฐ
0,1,2, ... , และ N * สำหรับชุดของตัวเลขทั้งหมดจากธรรมชาติคือ 1 , 2,3, ... , และเราจะยังใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้ในระยะเวลาสั้น ๆ : y0 * x = x, yn * x = Y * ( ... * (* Y (Y * x)))? ?? ? ntimes ที่ x, y เป็นองค์ประกอบใด ๆ ใน KK-พีชคณิตและ n ∈ N * โจทย์ 2.12 ให้ x, y เป็นองค์ประกอบใด ๆ ในพีชคณิต KK-X ได้แล้ว (1) ((y * x) * x) n * x = x * yn สำหรับ n ใด ๆ ∈เอ็น (2) (xn * 0) * 0 = (x * 0) n * 0 สำหรับ n ใด ๆ ∈เอ็นหลักฐาน ให้ X เป็น KK-พีชคณิตและ x, y ∈ X และ N, M ∈เอ็น (1) ดำเนินการโดยการเหนี่ยวนำบน n และนิยามคำสั่ง P (n), ((y * x) * x) n * x = yn * x เราจะเห็นว่า P (0) เป็นความจริง ((y * x) * x) 0 * x = x = x * y0 สมมติว่า P (k) เป็นจริงสำหรับบาง K พล≥ 0, ที่อยู่ ((y * x) * x) k * x = x * YK ตั้งแต่ ((y * x) * x) + 1 k * x = ((y * x) * x) * (((y * x) * x) k * x) = ((y * x) * x) * (YK * x) = YK * (((y * x) * x) * x) = YK * (y * x) = YK + 1 * x การแสดงนี้ว่า P (k +1) เป็นความจริงและตามหลักการของการเหนี่ยวนำคณิตศาสตร์, P (n) เป็นจริงสำหรับแต่ละ n ∈ N * (2) ตั้งแต่ (xn * 0) * 0 = (x * (xn-1 * 0)) * 0 = (x * 0) * ((xn-1 * 0) * 0) = (x * 0) * ((x * (xn-2 * 0)) * 0) = (x * 0) * ((x * 0) * ((xn-2 * 0) * 0)) = (x * 0) 2 * ( (xn-2 * 0) * 0) = ... = (x * 0) n * 0? ได้รับ x ∈ X ถ้ามัน satis Fi ES X * 0 = 0 นั่นคือ 0 ≤ x องค์ประกอบ x เป็น calleda องค์ประกอบในเชิงบวกของเอ็กซ์โดย nition de fi, องค์ประกอบศูนย์ 0 ของ X เป็นบวก โจทย์ 2.12 ให้ x เป็นองค์ประกอบใด ๆ ในเอ็กซ์ KK-พีชคณิตแล้ว ((X * 0) * 0) * x เป็นองค์ประกอบในเชิงบวกของ X สำหรับทุก x ∈เอ็กซ์หลักฐาน ตั้งแต่ (((X * 0) * 0) * x) * 0 = (((X * 0) * 0) * 0)) * (x * 0) = (x * 0) * (x * 0) = 0. ดังนั้น ((x * 0) * 0) * x เป็นองค์ประกอบในเชิงบวกของเอ็กซ์?