In Section 1-9 we considered briefl

In Section 1-9 we considered briefly the little that is known concerning that part played by the Hindus in the development of our present positional numeral system. We shall now give some account of Hindu methods of computing with this system. The key to an understanding of the algorisms that were elaborated lies in a realization of the writing materials which were at the disposal of the calculators. According to the German algorisms that were elaborated lies in a realization of the writing materials which were at the disposal of the calculators. According to the German historian H. Hankel, they generally wrote either upon a small blackboard with a cane pen dipped in a thin white paint which could easily be rubbed* It is not certain that the Lilavali and Vijaganita are parts of the Siddhanta Siroman; they may be separate works. off, or, which a stick, upon a white tablet less than a foot square and coated with a sprinkling of red flour. In either case the writing space was small and legibility demanded fairly large figures, but erasures and corrections were very easily effected. The calculation processes accordingly were schemed to conserve the writing space by erasing a digit as soon as it had served its purpose.
Early Hindu addition was perhaps done from left to right, instead of from right to left as we prefer to do it today. As an example consider the addition of 345 and 488. There would probably be written, one under the other, a little below the top of the computing table, as shown in the accompanying illustration. The computer would say 3+4=7, and write the 7 at the head of the left column. Next, 4+8 = 12, which changes the 7 to an 8 followed by a2. The7 is accordingly rubbed off and 82 written down. In our illustration we have, instead, crossed out the 7 and written the 8 above it. Then 5+8 = 13, which changes the 2 to a 3 followed by another 3. Again thing are corrected with a quick rub of the finger, and the final answer 833 appears at the top of the tablet. Now the 345 and 488 can be rubbed off and we have the rest of the tablet clear for further work.
In an undated commentary of Bhaskara’s Lilavali we find another method, by which the addition of 345 and 488 would be effected by the following process:
Sum of units 5+8=13
Sum of tens 4+8=12*
Sum of hundreds 3+4=7**
Sum of sums =833
Several methods were used for multiplication. The written work for the simple multiplication of, say, 569 by 5, might appear as follows, again working from left to right. On the tablet, a little below the top, write down 569 followed, on the same line, by the multiplier 5. Then, since 5x5 = 25,25 is written above the 569 as shown in the accompanying illustration. Next, 5x6 = 30, which changes the 5 in 25 to an 8 followed by a0. A quick erasure fixes this. Again, in the illustration we have, instead, crossed out the 5 and written the 8 above it. Then 5x9 =45, which changes the 0 to a 4 followed by a 5. The final product, 2845, now appears at the top of the computing tablet.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ใน ส่วน 1-9 เราพิจารณาสั้น ๆ เล็กน้อยที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับส่วนที่เล่น โดยชาวฮินดูในการพัฒนาระบบตัวเลขของตำแหน่งปัจจุบัน ตอนนี้เราจะให้บัญชีบางศาสนาฮินดูวิธีการใช้งานกับระบบนี้ คีย์เพื่อความเข้าใจของ algorisms ที่ได้ elaborated อยู่ในสำนึกของวัสดุเขียนซึ่งในการกำจัดการคิดเลข ตาม algorisms เยอรมันที่ได้ elaborated อยู่ในสำนึกของวัสดุเขียนซึ่งในการกำจัดการคิดเลข ตามเยอรมันนักประวัติศาสตร์ H. Hankel พวกเขาโดยทั่วไปเขียนอย่างใดอย่างหนึ่งตามกระดานดำเล็ก ๆ กับปากกาเท้าจุ่มลงในสีขาวบาง ๆ ซึ่งได้ rubbed * ไม่แน่ใจว่า Lilavali และ Vijaganita เป็นส่วนหนึ่งของ Siddhanta Siroman พวกเขาอาจจะทำงานแยกต่างหาก ปิด หรือ ที่ติด ตามสีขาวเป็นแท็บเล็ตต่ำกว่าเท้าสแควร์ และเคลือบ ด้วยแป้งสีแดงเมื่อเป็น การ ในกรณีใด พื้นที่เขียนมีขนาดเล็ก และอ่านแค่ตัวเลขที่ค่อนข้างใหญ่ แต่ erasures และแก้ไขได้ง่ายมากผล กระบวนการคำนวณตามที่ schemed เพื่อสงวนเนื้อที่เขียน โดยลบตัวเลขทันทีที่มันได้รับความไว้เพิ่มช่วงฮินดูถูกทีแล้วจากซ้ายขวา แทนจากขวาไปซ้าย ตามที่เราต้องทำวันนี้ เป็นตัวอย่างให้พิจารณาการเพิ่ม 345 และ 488 มีจะคงสามารถเขียน หนึ่งภายใต้อื่น ๆ เล็กน้อยด้านล่างด้านบนของตารางคำนวณ ดังที่แสดงในภาพประกอบมา คอมพิวเตอร์จะบอกว่า 3 + 4 = 7 และ 7 ในคอลัมน์ด้านซ้ายเขียน ถัดไป 4 + 8 = 12 ซึ่งเปลี่ยนใน 7 8 ตาม ด้วย a2 The7 จะตาม rubbed ปิด และ 82 ลง ในภาพของเรา เรามี แทน ข้ามออก 7 และ 8 นั้นเขียน แล้ว 5 + 8 = 13 การเปลี่ยนแปลง 2 3 ตาม ด้วยอีก 3 อีก สิ่งที่จะแก้ไข ด้วยการถูอย่างรวดเร็วของนิ้ว และ 833 คำตอบสุดท้ายปรากฏที่ด้านบนของแท็บเล็ต ตอนนี้ 345 และ 488 สามารถ rubbed ได้ปิด และเรามีส่วนเหลือของแท็บเล็ตในการล้างในความเห็นความไหวของ Lilavali ของ Bhaskara เราค้นหาวิธีอื่น ที่ 345 และ 488 แห่งที่จะมีผลตามกระบวนการต่อไปนี้:ผลรวมของหน่วย 5 + 8 = 13ผลบวกของหลักสิบ 4 + 8 = 12 *ผลรวมของร้อย 3 + 4 = 7 **ผลรวมของผลรวม = 833หลายวิธีที่ใช้สำหรับการคูณ งานเขียนการคูณอย่างง่ายของ กล่าว 569 โดย 5 อาจปรากฏดังนี้ อีก ทำงานจากซ้ายไปขวา บนแท็บเล็ต น้อยด้านล่างด้านบน จด 569 บนบรรทัดเดียวกัน ตามด้วยตัวคูณ 5 แล้ว ตั้งแต่เขียน 5 x 5 = 25,25 เหนือ 569 เป็น แสดงในภาพประกอบมา ถัดไป 5 x 6 = 30 การเปลี่ยนแปลงใน 5 25 8 ตาม ด้วย a0 ปลอดภัยรวดเร็วแก้ไขนี้ อีก ในภาพ เราได้ แต่ ข้ามออก 5 และเขียน 8 นั้น แล้ว 5 x 9 = 45 ซึ่งเปลี่ยน 0 4 ตามที่มี การ ผลิตภัณฑ์สุดท้าย 2845 ปรากฏที่ด้านบนของแท็บเล็ตคอมพิวเตอร์ตอนนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในมาตรา 1-9 เราถือว่าสั้น ๆ เล็ก ๆ น้อย ๆ ที่เป็นที่รู้จักกันเกี่ยวกับการเป็นส่วนหนึ่งที่เล่นโดยชาวฮินดูในการพัฒนาระบบตัวเลขของเราในปัจจุบันตำแหน่ง ตอนนี้เราต้องให้การในบางส่วนของวิธีการในศาสนาฮินดูของคอมพิวเตอร์กับระบบนี้ กุญแจสำคัญในการเข้าใจของ algorisms ที่ถูกบรรจงอยู่ในสำนึกของวัสดุการเขียนที่มีในการกำจัดของเครื่องคิดเลข ตามที่ algorisms เยอรมันที่ถูกบรรจงตั้งอยู่ในสำนึกของวัสดุการเขียนที่มีในการกำจัดของเครื่องคิดเลข ตามประวัติศาสตร์ชาวเยอรมันเอช Hankel พวกเขาโดยทั่วไปทั้งเขียนเมื่อกระดานดำขนาดเล็กที่มีปากกาอ้อยจุ่มลงในสีขาวบางที่ได้อย่างง่ายดาย * ลูบมันไม่ได้เป็นบางอย่างที่ Lilavali Vijaganita และเป็นส่วนหนึ่งของ Siddhanta Siroman; พวกเขาอาจจะทำงานแยกต่างหาก ปิดหรือซึ่งติดอยู่กับแท็บเล็ตสีขาวน้อยกว่าตารางฟุตและเคลือบด้วยโรยแป้งสีแดง ในทั้งสองกรณีพื้นที่การเขียนมีขนาดเล็กและความชัดเจนเรียกร้องตัวเลขที่ค่อนข้างใหญ่ แต่ตัวหนังสือและการแก้ไขได้รับผลกระทบได้อย่างง่ายดายมาก กระบวนการการคำนวณตามที่ถูกวางแผนเพื่อประหยัดพื้นที่การเขียนโดยการลบหลักทันทีที่มันได้ทำหน้าที่จุดประสงค์ของมัน.
นอกจากนี้ในช่วงต้นของศาสนาฮินดูที่ทำอาจจะเป็นจากซ้ายไปขวาแทนจากขวาไปซ้ายตามที่เราต้องการที่จะทำมันในวันนี้ ตัวอย่างเช่นพิจารณานอกเหนือจาก 345 และ 488. มีอาจจะเขียนเป็นหนึ่งภายใต้อื่น ๆ เล็ก ๆ น้อย ๆ ด้านล่างด้านบนของตารางการคำนวณดังแสดงในภาพประกอบประกอบ คอมพิวเตอร์จะบอกว่า 3 + 4 = 7 และเขียน 7 ที่หัวของคอลัมน์ซ้าย ถัดไป 4 + 8 = 12 ซึ่งการเปลี่ยนแปลงที่ 7 ถึง 8 ตามด้วย a2 The7 ถูตามออกและ 82 เขียนลง ในภาพของเราที่เราได้แทนเดินออก 7 และ 8 ที่เขียนด้านบน จากนั้น 5 + 8 = 13 ซึ่งการเปลี่ยนแปลง 2 ถึง 3 ตามมาด้วยอีก 3 สิ่งที่อีกครั้งได้รับการแก้ไขด้วยการถูอย่างรวดเร็วของนิ้วมือและคำตอบสุดท้าย 833 ปรากฏที่ด้านบนของแท็บเล็ต ตอนนี้ 345 และ 488 สามารถถูไปและเรามีส่วนที่เหลือของแท็บเล็ตที่ชัดเจนสำหรับการทำงานต่อไป.
ในความเห็นลายมือของ Lilavali Bhaskara ของเราพบวิธีอื่นโดยที่การเพิ่มขึ้นของ 345 และ 488 จะได้รับผลกระทบจากกระบวนการต่อไปนี้:
ผลรวมของหน่วย 5 + 8 = 13
นับผลรวมของ 4 + 8 = 12 *
ผลรวมของร้อย 3 + 4 = 7 **
ผลรวมของผลรวม = 833
หลายวิธีที่ใช้สำหรับการคูณ งานเขียนสำหรับการคูณง่ายของการพูด, 569 โดย 5 อาจจะปรากฏดังต่อไปนี้อีกครั้งการทำงานจากซ้ายไปขวา บนแท็บเล็ตเล็ก ๆ น้อย ๆ ด้านล่างด้านบนเขียนลง 569 ตามในบรรทัดเดียวกันโดยคูณ 5. จากนั้นตั้งแต่ 5x5 = 25,25 ถูกเขียนด้านบน 569 ดังแสดงในภาพประกอบประกอบ ถัดไป 5x6 = 30 ซึ่งการเปลี่ยนแปลงที่ 5 ใน 25 ถึง 8 ตามด้วย a0 ลบออกอย่างรวดเร็วแก้ไขนี้ อีกครั้งในภาพที่เรามี แต่เดินออก 5 และเขียน 8 ข้างต้นนั้น จากนั้น 5x9 = 45 ซึ่งการเปลี่ยนแปลง 0 ถึง 4 ตามด้วย 5. ผลิตภัณฑ์สุดท้าย 2845 ตอนนี้จะปรากฏขึ้นที่ด้านบนของแท็บเล็ตคอมพิวเตอร์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในส่วนสุดท้ายที่เราพิจารณาสั้น ๆเล็ก ๆน้อย ๆที่รู้จักกันเกี่ยวกับส่วนหนึ่งที่เล่นโดยชาวฮินดูในการพัฒนาระบบตัวเลขตำแหน่งปัจจุบันของเรา . เอาล่ะ เราจะให้บัญชีของฮินดู วิธีการคำนวณ ด้วยระบบนี้คีย์เพื่อความเข้าใจของ algorisms ที่อธิบายอยู่ในการรับรู้ของการเขียนวัสดุซึ่งอยู่ที่การกำจัดของเครื่องคิดเลข ตามไป algorisms เยอรมันที่ถูกอธิบายอยู่ในการรับรู้ของการเขียนวัสดุซึ่งอยู่ที่การกำจัดของเครื่องคิดเลข ตามที่นักประวัติศาสตร์ . การแปลเยอรมัน ,พวกเขามักจะเขียนให้บนกระดานขนาดเล็กที่มีอ้อยปากกาจุ่มลงในสีขาวบาง ๆสี ซึ่งอาจจะลูบ * ไม่มั่นใจว่า lilavali vijaganita และชิ้นส่วนของ siddhanta siroman พวกเขาอาจจะทำงานแยกจากกัน ปิด หรือที่ติดบนสีขาวเม็ดน้อยกว่าตารางฟุตและเคลือบ ด้วยละอองแป้งสีแดงในทั้งสองกรณีการเขียนพื้นที่ขนาดเล็กและความต้องการตัวเลขที่ค่อนข้างใหญ่ แต่ erasures และกรมราชทัณฑ์มีได้อย่างง่ายดายมากผล การคำนวณกระบวนการตาม กำลังวางแผนเพื่อการอนุรักษ์พื้นที่การเขียนโดยการลบตัวเลขทันทีที่มันได้ทำหน้าที่ของมัน ซึ่งอาจจะเป็นต้นฮินดู
จากซ้ายไปขวาแทนที่จะเป็นจากขวาไปซ้ายเป็น เราต้องการที่จะทำมันวันนี้ เป็นตัวอย่างให้พิจารณาเพิ่มและเพิ่ม . ก็อาจจะเขียนหนึ่งภายใต้อื่น ๆด้านล่างด้านบนของคอมพิวเตอร์ตารางดังแสดงใน มาพร้อมกับภาพประกอบ คอมพิวเตอร์จะบอกว่า 3 4 = 7 และเขียน 7 ที่หัวของคอลัมน์ซ้าย ถัดไป 4 8 = 12 ซึ่งเปลี่ยนแปลง 7 กับ 8 ตามด้วย A2 .the7 ประมาณลูบออกและ 82 เขียนลง ในภาพของเรา เราได้ แทน ขีดฆ่าและเขียน 8 ข้างต้นนั้น แล้ว 5 8 = 13 ซึ่งการเปลี่ยนแปลง 2 3 ตามมาอีก 3 อีกอย่างจะแก้ไขกับถูอย่างรวดเร็วของนิ้ว และสุดท้ายคำตอบจะปรากฏขึ้นที่ด้านบนของแท็บเล็ตตอนนี้และคุณสามารถลูบออก และเรามีส่วนที่เหลือของแท็บเล็ตที่ชัดเจนสำหรับการทำงานเพิ่มเติม .
ในความเห็นของ bhaskara ระบุเป็น lilavali เราหาวิธีอื่น ๆที่นอกเหนือจากและคุณจะมีผลโดยกระบวนการต่อไปนี้ :
ผลรวมของหน่วย 5 8 13
= ผลรวมของหลักสิบ 4 8 = 12 *
ผลรวมร้อย 3 4 = 7 * *

= ผลรวมของผลรวมกันหลายวิธีคือใช้สำหรับการคูณผู้เขียนทำงานง่ายคูณ , กล่าว , หรือ 5 อาจปรากฏดังนี้ อีกครั้ง ทำงานจากซ้ายไปขวา บนแท็บเล็ต นิดหน่อยด้านล่าง ด้านบนเขียนว่าตามในบรรทัดเดียวกัน โดยคูณ 5 งั้น ตั้งแต่ 5x5 = 25,25 เขียนไว้ข้างบนแต่เป็นภาษาอังกฤษประกอบภาพ ถัดไป , 5x6 = 30 , ซึ่งเปลี่ยนแปลง 5 25 8 ตามด้วย A0 .เป็นลบที่รวดเร็วการแก้ไขนี้ อีกครั้ง ในภาพเราแทนขีดฆ่าและเขียน 8 ข้างต้นนั้น แล้ว 5x9 = 45 ซึ่งเปลี่ยน 0 ไป 4 ตามด้วย 5 สุดท้ายผลิตภัณฑ์ 3020 , ตอนนี้จะปรากฏขึ้นที่ด้านบนของคอมพิวเตอร์แท็บเล็ต .