AbstractCoupled Fibonacci sequences

Abstract
Coupled Fibonacci sequences involve two sequences of integers in which the
elements of one sequence are part of the generalization of the other and vice versa.
K. T. Atanassov was first introduced coupled Fibonacci sequences of second
order in additive form. In this paper, we present multiplicative coupled Fibonacci
sequences of third order under two specific schemes.
Mathematics Subject Classification: 11B39, 11B37
Keywords: Fibonacci sequence, 2-Fibonacci sequence, multiplicative coupled
Fibonacci sequence
1. Introduction
In the resent years coupled Fibonacci sequences are popularized. Much work has
been done in this field but its multiplicative form is less known. The coupled
Fibonacci sequence was first introduced by K. T. Atanassov [5] and also
discussed many curious properties and new direction of generalization of
Fibonacci sequence in [2], [3], [6] and [7]. He was defined and studied about four
1536 G. P. S. Rathore, S. Jain and O. Sikhwal
different ways to generate coupled sequences and called them coupled Fibonacci
sequences (or 2-F sequences). The multiplicative Fibonacci Sequences studied by
P. Glaister [8] and generalized by P. Hope [9]. K. T. Atanassov [4] notifies four
different schemes in multiplicative form for coupled Fibonacci sequences.
Let ∞
=0
{ } αi i
and ∞
=0
{ } βi i
be two infinite sequences and four arbitrary real
numbers a b c , , and d be given. The four different multiplicative schemes for 2-
Fibonacci sequences are as follows:
First scheme 2 1
2 1
. , 0
. , 0.
n n n
n n n
n
n
α α α
β β β
+ +
+ +
= ≥
= ≥
(1.1)
Second scheme 2 1
2 1
. , 0
. , 0.
n n n
n n n
n
n
α β α
β α β
+ +
+ +
= ≥
= ≥
(1.2)
Third scheme 2 1
2 1
. , 0
. , 0.
n n n
n n n
n
n
α α β
β β α
+ +
+ +
= ≥
= ≥
(1.3)
Fourth scheme 2 1
2 1
. , 0
. , 0.
n n n
n n n
n
n
α β β
β α α
+ +
+ +
= ≥
= ≥
(1.4)
B. Singh and O. Sikhwal [1] studied various results of second order.
In this paper, we present some results on multiplicative coupled Fibonacci
sequences of third order under two specific schemes.
2. Multiplicative Coupled Fibonacci Sequences of Third Order
Let ∞
=0
{ } αi i
and ∞
=0
{ } βi i
be two infinite sequences and six arbitrary real numbers
a b c d e , , , , and f be given. Multiplicative coupled Fibonacci sequences of third
order are generated by the following eight different ways:
First scheme 3 2 1
3 2 1
. . , 0
. . , 0.
n n n n
n n n n
n
n
α β β β
β α α α
+ + +
+ + +
= ≥
= ≥
(2.1)
Second scheme 3 2 1
3 2 1
. . , 0
. . , 0.
n n n n
n n n n
n
n
α α α α
β β β β
+ + +
+ + +
= ≥
= ≥
(2.2)
Third scheme 3 2 1
3 2 1
. . , 0
. . , 0.
n n n n
n n n n
n
n
α β β α
β α α β
+ + +
+ + +
= ≥
= ≥
(2.3)
Fourth scheme 3 2 1
3 2 1
. . , 0
. . , 0.
n n n n
n n n n
n
n
α α α β
β β β α
+ + +
+ + +
= ≥
= ≥
(2.4)
Fifth scheme 3 2 1
3 2 1
. . , 0
. . , 0.
n n n n
n n n n
n
n
α β α β
β α β α
+ + +
+ + +
= ≥
= ≥
(2.5)
Multiplicative coupled Fibonacci sequences 1537

Sixth scheme 3 2 1
3 2 1
. . , 0
. . , 0.
n n n n
n n n n
n
n
α α β α
β β α β
+ + +
+ + +
= ≥
= ≥
(2.6)
Seventh scheme 3 2 1
3 2 1
. . , 0
. . , 0.
n n n n
n n n n
n
n
α α β β
β β α α
+ + +
+ + +
= ≥
= ≥
(2.7)
Eighth scheme 3 2 1
3 2 1
. . , 0
. . , 0.
n n n n
n n n n
n
n
α β α α
β α β β
+ + +
+ + +
= ≥
= ≥
(2.8)
The few terms of schemes (2.1) & (2.2) are as below:
First scheme (2.1)
0 0 n a b = = = 0, , ; α β 1 1 n c d = = = 1, , ; α β 2 2 n e f = = = 2, , ; α β 3 3 n bdf ace = = = 3, , ; α β
4 4 n acdef bcdef = = = 4, , ; α β
2 2 2 2 2 2
5 5 n abc de f abcd e f = = = 5, , . α β
Second scheme (2.2)
0 0 n a b = = = 0, , ; α β 1 1 n c d = = = 1, , ; α β 2 2 n e f = = = 2, , ; α β 3 3 n ace bdf = = = 3, , ; α β
2 2 2 2
4 4 n ac e bd f = = = 4, , ; α β
2 3 4 2 3 4
5 5 n a c e b d f = = = 5, , . α β
3. Main Results
Now we present some results under schemes (2.1) & (2.2).
First scheme (2.1)
Theorem (3.1): For every integer n ≥ 0 :
0 4 4 0 4 4 ( ) . . ,
n n
a β α α β + + = 1 4 5 1 4 5 ( ) . . ,
n n
b β α α β + + = 2 4 6 2 4 6 ( ) . . .
n n
c β α α β + + =
Proof: We prove the above results by induction hypothesis.
(a) If n = 0 then 0 4 0 4 β α α β . . = (by scheme2.1)
0 3 2 1 . . . = β β β β (by scheme 2.1)
0 2 1 0 2 1 . . . . . = β α α α β β (by scheme 2.1)
0 1 2 3 . . . =α α α α (by scheme 2.1)
0 4 . =α β (by scheme 2.1)
Thus the result is true for n = 0.
Now assume that the result is true for some integer n ≥ 1. then
0 4 8 0 4 7 4 6 4 5 . . . . β α = β β β β n n n n + + + + (by scheme2.1)
0 4 6 4 5 4 4 6 6 6 5 . . . . . = β α α α β β n n n n n + + + + + (by scheme2.1)
0 4 4 4 5 4 4 4 6 4 5 . . . . . = α β β β α α n n n n n + + + + + (by scheme2.1)
0 4 7 4 6 4 5 . . . = α α α α n n n + + + (by scheme2.1)
0 4 8 . = α β n+
(by scheme2.1)
Hence the result is true for all integers n ≥ 0.
1538 G. P. S. Rathore, S. Jain and O. Sikhwal
Similar proofs can be given for remaining parts (b) and (c).
Theorem (3.2): For every integer n ≥ 0 :
4 3
0
4 4 4
0
( )
n
i
i
n n
i
i
a
α
α
β
+
=
+
=
=
∏
∏

4 3
0
4 4 4
0
( )
n
i
i
n n
i
i
b
β
β
α
+
=
+
=
=
∏
∏
4 4
0 0
4 5 4 1
0
0
( ) .
n
i
i
n n
i
i
c
α
β
α
α
β
+
=
+ +
=
=
∏
∏

4 4
0 0
4 5 4 1
0
0
( ) .
n
i
i
n n
i
i
d
β
α
β
β
α
+
=
+ +
=
=
∏
∏
4 5
0 1 0
4 6 4 2
0 1
0
. ( ) .
.
n
i
i
n n
i
i
e
α
β β
α
α α
β
+
=
+ +
=
=
∏
∏

4 5
0 1 0
4 6 4 2
0 1
0
. ( ) .
.
n
i
i
n n
i
i
f
β
α α
β
β β
α
+
=
+ +
=
=
∏
∏
Theorem (3.3): For every integer n ≥ 0 :
2 3 2
7 5 4 3 2 1 . . . . , α α α α α α n n n n n n + + + + + + =
2 3 2
7 5 4 3 2 1 . . . . . β β β β β β n n n n n n + + + + + + =
Theorems (3.1), (3.2) & (3.3) can be proved by induction method.
Finally we present results for scheme (2.2).
Second scheme (2.2)
Theorem (3.4): For every integer n ≥ 0 :
4 3
0
4 4 4
0
( )
n
i
i
n n
i
i
a
α
α
α
+
=
+
=
=
∏
∏

4 3
0
4 4 4
0
( )
n
i
i
n n
i
i
b
β
β
β
+
=
+
=
=
∏
∏
4 4
0
4 5 4 1
0
( )
n
i
i
n n
i
i
c
α
α
α
+
=
+ +
=
=
∏
∏

4 4
0
4 5 4 1
0
( )
n
i
i
n n
i
i
d
β
β
β
+
=
+ +
=
=
∏
∏
4 5
0
4 6 4 2
0
( )
n
i
i
n n
i
i
e
α
α
α
+
=
+ +
=
=
∏
∏

4 5
0
4 6 4 2
0
( )
n
i
i
n n
i
i
f
β
β
β
+
=
+ +
=
=
∏
∏
Multiplicative coupled Fibonacci sequences 1539
Theorem (3.5): For every integer n ≥ 0 :
2 3 2
7 5 4 3 2 1 . . . . , α α α α α α n n n n n n + + + + + + =
2 3 2
7 5 4 3 2 1 . . . . . β β β β β β n n n n n n + + + + + + =
Theorems (3.4) & (3.5) can also proved by induction method.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทคัดย่อลำดับ Fibonacci ควบคู่ลำดับสองของจำนวนเต็มที่ที่เกี่ยวข้องกับการองค์ประกอบของลำดับที่หนึ่งเป็นส่วนหนึ่งของ generalization อื่น ๆ และในทางกลับกันคุณต. Atanassov ถูกแรกนำควบคู่ฟีโบนัชชีลำดับที่สองของใบสั่งในแบบฟอร์มสามารถ ในเอกสารนี้ เรานำเสนอ Fibonacci ควบคู่เชิงการคูณลำดับที่สามสั่งสองภายใต้แผนงานที่เฉพาะคณิตศาสตร์เรื่องประเภท: 11B39, 11B37คำสำคัญ: ลำดับ Fibonacci ลำดับ 2 Fibonacci เชิงการคูณควบคู่ลำดับ fibonacci1. บทนำปีรวม เป็น popularized ลำดับ Fibonacci ควบคู่ มีงานมากได้ทำในฟิลด์นี้แต่เป็นเชิงการคูณแบบฟอร์มเป็นที่รู้จักกันน้อย การควบคู่ลำดับ fibonacci ถูกนำมาใช้ครั้งแรก โดยคุณต. Atanassov [5] และกล่าวถึงคุณสมบัติที่อยากรู้อยากเห็นและทิศทางใหม่ของ generalization ของหลายลำดับ fibonacci ใน [2], [3], [6] [7] และ เขาถูกกำหนด และศึกษาเกี่ยวกับสี่ 1536 กรัม S. P. ห้องพักทุก S. เจนและโอ Sikhwalวิธีการสร้างลำดับควบคู่ และเรียกพวกเขาว่า Fibonacci ควบคู่ลำดับ (หรือ 2 F ลำดับ) ศึกษาโดยลำดับ Fibonacci ที่เชิงการคูณP. Glaister [8] และตั้งค่าทั่วไป โดยหวังว่า P. [9] แจ้งคุณต. Atanassov [4] 4โครงร่างที่แตกต่างกันในแบบฟอร์มเชิงการคูณการลำดับ Fibonacci ควบคู่ให้∞= 0Αi {}ฉัน ∞และ= 0Βi {}ฉันลำดับอนันต์ที่สองและสี่กำหนดจริงหมายเลข b เป็น c และ d ได้รับ แผนงานเชิงการคูณแตกต่างกันสี่สำหรับ 2ลำดับ Fibonacci มีดังนี้:ร่างแรก 2 12 1. , 0. , 0n n nn n nnnด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพΒΒΒ+ ++ += ≥= ≥ (1.1)โครงร่างที่สอง 2 12 1. , 0. , 0n n nn n nnnด้วยกองทัพด้วยกองทัพΒΒΒด้วยกองทัพ+ ++ += ≥= ≥ (1.2)แผนงานที่ 3 2 12 1. , 0. , 0n n nn n nnnด้วยกองทัพด้วยกองทัพΒด้วยกองทัพΒΒ+ ++ += ≥= ≥ (1.3)โครงร่างสี่ 2 12 1. , 0. , 0n n nn n nnnด้วยกองทัพΒΒด้วยกองทัพด้วยกองทัพของΒ+ ++ += ≥= ≥ (1.4)สิงห์บีและโอ Sikhwal [1] ศึกษาผลลัพธ์ต่าง ๆ ของใบสั่งที่สองในเอกสารนี้ เราแสดงผลบางใน Fibonacci ควบคู่เชิงการคูณลำดับที่สามสั่งสองภายใต้แผนงานที่เฉพาะ2. ลำดับ Fibonacci ควบคู่เชิงการคูณของลำดับที่สามให้∞= 0Αi {}ฉัน ∞และ= 0Βi {}ฉัน สองลำดับอนันต์และจำนวนจริงที่กำหนดหกมี b c d e และ f จะ ตัวควบคู่ลำดับ Fibonacci ของสามสั่งสร้างขึ้น โดยต่อไปนี้แปดวิธีที่แตกต่างกัน:ร่างแรก 3 2 13 2 1. . , 0. . , 0n n n nn n n nnnด้วยกองทัพΒΒΒด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพของΒ+ + ++ + += ≥= ≥ (2.1)โครงร่างที่สอง 3 2 13 2 1. . , 0. . , 0n n n nn n n nnnด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพΒΒΒΒ+ + ++ + += ≥= ≥ (2.2)แผนงานที่ 3 3 2 13 2 1. . , 0. . , 0n n n nn n n nnnด้วยกองทัพΒΒด้วยกองทัพΒΒด้วยกองทัพด้วยกองทัพ+ + ++ + += ≥= ≥ (2.3)ชุดรูปแบบ 4 3 2 13 2 1. . , 0. . , 0n n n nn n n nnnด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพΒΒΒΒด้วยกองทัพ+ + ++ + += ≥= ≥ (2.4)5 แผน 3 2 13 2 1. . , 0. . , 0n n n nn n n nnnด้วยกองทัพΒด้วยกองทัพΒΒΒด้วยกองทัพด้วยกองทัพ+ + ++ + += ≥= ≥ (2.5) 1537 ลำดับ Fibonacci ควบคู่เชิงการคูณโครงร่าง 6 3 2 13 2 1. . , 0. . , 0n n n nn n n nnnΒด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพΒΒΒด้วยกองทัพ+ + ++ + += ≥= ≥ (2.6)โครงร่างเจ็ด 3 2 13 2 1. . , 0. . , 0n n n nn n n nnnด้วยกองทัพด้วยกองทัพΒΒΒΒด้วยกองทัพด้วยกองทัพ+ + ++ + += ≥= ≥ (2.7)โครงร่างแปด 3 2 13 2 1. . , 0. . , 0n n n nn n n nnnด้วยกองทัพΒด้วยกองทัพด้วยกองทัพΒด้วยกองทัพΒΒ+ + ++ + += ≥= ≥ (2.8)เงื่อนไขน้อยของโครงร่าง (2.1) และ (2.2) จะเป็นด้านล่าง:ร่างแรก (2.1)0 0 n b เป็น === 0,,, ด้วยกองทัพβ 1 1 n c d === 1,,, ด้วยกองทัพβ 2 2 n e f === 2,,, ด้วยกองทัพβ 3 3 n bdf เอส === 3,,, ด้วยกองทัพΒ4 bcdef n acdef 4 === 4,,, ด้วยกองทัพΒ2 2 2 2 2 25 5 n abc เด f abcd e f === 5,, ด้วยกองทัพΒแผน 2 (2.2)0 0 n b เป็น === 0,,, ด้วยกองทัพβ 1 1 n c d === 1,,, ด้วยกองทัพβ 2 2 n e f === 2,,, ด้วยกองทัพβ 3 3 n เอ bdf === 3,,, ด้วยกองทัพΒ2 2 2 24 4 n ac e bd f === 4,,, ด้วยกองทัพΒ2 3 4 2 3 45 5 n d b c e f === 5,, ด้วยกองทัพΒ3 ผลลัพธ์หลักตอนนี้ เรานำเสนอผลลัพธ์บางอย่างภายใต้โครงร่าง (2.1) และ (2.2)ร่างแรก (2.1)ทฤษฎีบท (3.1): สำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 0:0 4 4 0 4 4 () . ,n nมีβด้วยกองทัพด้วยกองทัพβ ++ = 1 4 5 1 4 5 () . ,n nโรงแรมบีββด้วยกองทัพด้วยกองทัพ ++ = 2 4 6 2 4 6 ()...n nβ c βด้วยกองทัพด้วยกองทัพ ++ =หลักฐาน: เราพิสูจน์ผลลัพธ์ข้างต้น โดยการเหนี่ยวนำสมมติฐาน(ก) ถ้า n = 0 แล้ว 0 4 0 4 ββด้วยกองทัพด้วยกองทัพ . = (โดย scheme2.1)0 3 2 1... =ββββ (ตามแผนงานที่ 2.1)0 2 1 0 2 1..... =βด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพββ (ตามแผนงานที่ 2.1)0 1 2 3... =ด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพ (ตามแผนงานที่ 2.1)4 0 =Βด้วยกองทัพ (ตามแผนงานที่ 2.1)ดังนั้น ผลลัพธ์เป็นจริงสำหรับ n = 0ตอนนี้ สมมติว่า ผลลัพธ์ที่เป็นจริงสำหรับบางจำนวนเต็ม n ≥ 1 แล้ว0 4 8 0 4 7 4 6 4 5 ... ด้วยกองทัพβββββ n n n n = ++++ (โดย scheme2.1) 0 4 6 4 5 4 4 6 6 6 5..... =βด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพββ n n n n n +++++ (โดย scheme2.1) 0 4 4 4 5 4 4 4 6 4 5.....ด้วยกองทัพβββด้วยกองทัพด้วยกองทัพ n n n n n = +++++ (โดย scheme2.1) 0 4 7 4 6 4 5...ด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพ n n n = +++ (โดย scheme2.1)0 4 8 = N βด้วยกองทัพ + (โดย scheme2.1)ดังนั้น ผลลัพธ์เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 0 ไปรษณีย์ที่: P. S. กรัมห้องพักทุก S. เจนและโอ Sikhwalหลักฐานที่คล้ายกันจะได้รับสำหรับส่วนที่เหลือ (b) และ (c)ทฤษฎีบท (3.2): สำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 0:4 304 4 40( )nฉันฉันn nฉันฉันมีด้วยกองทัพด้วยกองทัพΒ+=+==∏∏4 304 4 40( )nฉันฉันn nฉันฉันบีΒΒด้วยกองทัพ+=+==∏∏4 40 04 5 4 100( ) .nฉันฉันn nฉันฉันcด้วยกองทัพΒด้วยกองทัพด้วยกองทัพΒ+=+ +==∏∏4 40 04 5 4 100( ) .nฉันฉันn nฉันฉันdΒด้วยกองทัพΒΒด้วยกองทัพ+=+ +==∏∏4 50 1 04 6 4 20 10. ( ) ..nฉันฉันn nฉันฉันอีด้วยกองทัพΒΒด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพΒ+=+ +==∏∏4 50 1 04 6 4 20 10. ( ) ..nฉันฉันn nฉันฉันfΒด้วยกองทัพด้วยกองทัพΒΒΒด้วยกองทัพ+=+ +==∏∏ทฤษฎีบท (3.3): สำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 0:2 3 27 5 4 3 2 1 ... ด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพ n n n n n n ++++++ =2 3 27 5 4 3 2 1..... Ββββββ n n n n n n ++++++ =ทฤษฎีบท 3.1), (3.2) และ (3.3) สามารถพิสูจน์ได้ โดยวิธีการเหนี่ยวนำได้สุดท้าย เรานำเสนอผลโครงร่าง (2.2)แผน 2 (2.2)ทฤษฎีบทที่ (3.4): สำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 0:4 304 4 40( )nฉันฉันn nฉันฉันมีด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพ+=+==∏∏4 304 4 40( )nฉันฉันn nฉันฉันบีΒΒΒ+=+==∏∏4 404 5 4 10( )nฉันฉันn nฉันฉันcด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพ+=+ +==∏∏4 404 5 4 10( )nฉันฉันn nฉันฉันdΒΒΒ+=+ +==∏∏4 504 6 4 20( )nฉันฉันn nฉันฉันอีด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพ+=+ +==∏∏4 504 6 4 20( )nฉันฉันn nฉันฉันfΒΒΒ+=+ +==∏∏1539 ลำดับ Fibonacci ควบคู่เชิงการคูณทฤษฎีบทที่ (3.5): สำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 0:2 3 27 5 4 3 2 1 ... ด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพด้วยกองทัพ n n n n n n ++++++ =2 3 27 5 4 3 2 1..... Ββββββ n n n n n n ++++++ =(3.5) และทฤษฎี (3.4) สามารถพิสูจน์ ด้วยวิธีการเหนี่ยวนำ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทคัดย่อ
ควบคู่ลำดับฟีโบนักชีเกี่ยวข้องกับลำดับสองของจำนวนเต็มซึ่ง
องค์ประกอบของลำดับเป็นส่วนหนึ่งของทั่วไปของอื่น ๆ และในทางกลับกัน.
เคที Atanassov เป็นครั้งแรกคู่ลำดับฟีโบนักชีที่สองของ
การสั่งซื้อในรูปแบบสารเติมแต่ง ในบทความนี้เรานำเสนอควบคู่คูณ Fibonacci
ลำดับของคำสั่งที่สามภายใต้สองรูปแบบที่เฉพาะเจาะจง.
คณิตศาสตร์เรื่องการจัดหมวดหมู่: 11B39, 11B37
คำสำคัญ: ลำดับฟีโบนักชีลำดับฟีโบนักชี 2 คู่คูณ
ลำดับฟีโบนักชี
1 บทนำ
ในปีที่ผ่านอีกครั้งคู่ลำดับฟีโบนักชีกำลังนิยม การทำงานมากได้
รับการดำเนินการในด้านนี้ แต่รูปแบบของการคูณเป็นที่รู้จักกันน้อย ควบคู่
ลำดับฟีโบนักชีเป็นครั้งแรกโดย KT Atanassov [5] และยัง
กล่าวถึงคุณสมบัติจำนวนมากและอยากรู้อยากเห็นทิศทางใหม่ของการทั่วไปของ
ลำดับฟีโบนักชีใน [2], [3], [6] [7] เขาได้รับการกำหนดและการศึกษาประมาณสี่
Rathore 1536 จีพีเอสเอสเชนและทุม Sikhwal
วิธีการที่แตกต่างกันในการสร้างลำดับคู่และพวกเขาเรียกว่าคู่ฟีโบนักชี
ลำดับ (หรือ 2-F ลำดับ) ลำดับฟีโบนักชีคูณศึกษาโดย
พี Glaister [8] และโดยทั่วไปพีหวัง [9] KT Atanassov [4] แจ้งสี่
รูปแบบที่แตกต่างกันในรูปแบบคูณสำหรับคู่ลำดับฟีโบนักชี.
ให้∞
= 0
{} αiฉัน
และ∞
= 0
{} βiฉัน
เป็นลำดับสองและสี่ไม่มีที่สิ้นสุดจริงโดยพล
หมายเลข ABC, และ d ได้รับ สี่รูปแบบที่แตกต่างกันสำหรับการคูณ 2
ลำดับฟีโบนักชีมีดังนี้
โครงการแรก 2 1
2 1
, 0.
, 0.
มมมม
มมมม
n
n
อัลฟาอัลฟาอัลฟา
เบต้าเบต้าเบต้า
+ +
+ +
= ≥
≥ =
(1.1)
โครงการที่สอง 2 1
2 1
. 0
. 0
มมมม
มมมม
n
n
อัลฟาเบต้าอัลฟา
เบต้าอัลฟาเบต้า
+ +
+ +
= ≥
≥ =
(1.2)
โครงการที่สาม 2 1
2 1
. 0
. 0
มมมม
มมมม
n
n
α อัลฟาเบต้า
เบต้าเบต้าอัลฟา
+ +
+ +
= ≥
≥ =
(1.3)
โครงการที่สี่ 2 1
2 1
. 0
. 0
มมมม
มมมม
n
n
อัลฟาเบต้าเบต้า
เบต้าอัลฟาอัลฟา
+ +
+ +
= ≥
≥ =
(1.4)
บี ซิงห์และโอ Sikhwal [1] ผลการศึกษาต่างๆของลำดับที่สอง.
ในบทความนี้เรานำเสนอผลบางอย่างเกี่ยวกับการคูณคู่ฟีโบนักชี
ลำดับของคำสั่งที่สามภายใต้สองรูปแบบที่เฉพาะเจาะจง.
2 ควบคู่ไปคูณลำดับฟีโบนักชีที่สามสั่ง
ให้∞
= 0
{} αiฉัน
และ∞
= 0
{} βiฉัน
เป็นลำดับสองอนันต์และหกตัวเลขจริงโดยพล
BCDE,,, และเอฟได้รับ ผลคูณของคู่ลำดับฟีโบนักชีของบุคคลที่สาม
เพื่อที่จะถูกสร้างโดยต่อไปนี้แปดวิธีที่แตกต่างกัน
โครงการแรก 3 2 1
3 2 1
. , 0
. , 0
nnnn
nnnn
n
n
อัลฟาเบต้าเบต้าเบต้า
เบต้าอัลฟาอัลฟาอัลฟา
+ + +
+ + +
= ≥
≥ =
(2.1)
โครงการที่สอง 3 2 1
3 2 1
. , 0
. , 0
nnnn
nnnn
n
n
อัลฟาอัลฟาอัลฟาอัลฟา
เบต้าเบต้าเบต้าเบต้า
+ + +
+ + +
= ≥
≥ =
(2.2)
โครงการที่สาม 3 2 1
3 2 1
. , 0
. , 0
nnnn
nnnn
n
n
อัลฟาเบต้าเบต้าอัลฟา
เบต้าอัลฟาอัลฟาเบต้า
+ + +
+ + +
= ≥
≥ =
(2.3)
โครงการที่สี่ 3 2 1
3 2 1
. , 0
. , 0
nnnn
nnnn
n
n
อัลฟาอัลฟาอัลฟาเบต้า
เบต้าเบต้าเบต้าอัลฟา
+ + +
+ + +
= ≥
≥ =
(2.4)
โครงการที่ห้า 3 2 1
3 2 1
. , 0
. , 0
nnnn
nnnn
n
n
อัลฟาเบต้าอัลฟาเบต้า
เบต้าอัลฟาอัลฟาเบต้า
+ + +
+ + +
= ≥
≥ =
(2.5)
ผลคูณของคู่ลำดับฟีโบนักชี 1537 หกโครงการ 3 2 1 3 2 1 . , 0 . , 0 nnnn nnnn n n อัลฟาอัลฟาเบต้าอัลฟาเบต้าเบต้าอัลฟาเบต้า+ + + + + + = ≥ ≥ = (2.6) โครงการที่เจ็ด 3 2 1 3 2 1 . , 0 . , 0 nnnn nnnn n n อัลฟาอัลฟาเบต้าเบต้าเบต้าเบต้าอัลฟาอัลฟา+ + + + + + = ≥ ≥ = (2.7) โครงการที่แปด 3 2 1 3 2 1 . , 0 . , 0 nnnn nnnn n n อัลฟาเบต้าอัลฟาอัลฟาเบต้าอัลฟาเบต้าเบต้า+ + + + + + = ≥ ≥ = (2.8) ไม่กี่แง่ของรูปแบบ (2.1) และ (2.2) มีดังนี้โครงการแรก (2.1) 0 0 จับ = = 0; αβ 1 1 NCD = = = 1; αβ 2 2 NEF = = = 2; αβ 3 n 3 แต้ม bdf = = = 3; αβ 4 4 n acdef bcdef = = = 4; αβ 2 2 2 2 2 2 5 5 n abc เดอฉ ABCD EF = = = 5, αβ โครงการที่สอง (2.2) 0 0 NAB = = = 0; αβ 1 1 NCD = = = 1; αβ 2 2 NEF = = = 2; αβ 3 3 แต้ม bdf n = = = 3; αβ 2 2 2 2 4 4 n กระแสสลับอี BD f = = = 4; αβ 2 3 4 2 3 4 5 5 nacebdf = = = 5, αβ 3 ผลหลักตอนนี้เรานำเสนอผลบางอย่างภายใต้รูปแบบ (2.1) และ (2.2). โครงการแรก (2.1) ทฤษฎีบท (3.1): สำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 0: 0 0 4 4 4 4 () . , NN βααβ + = 1 4 5 1 4 5 () . , NN b βααβ + = 2 4 6 2 4 6 () . . NN คβααβ + = พิสูจน์:. เราพิสูจน์ผลดังกล่าวข้างต้นโดยสมมติฐานเหนี่ยวนำ(ก) ถ้า n = 0 แล้ว 0 4 0 4 βααβ . = (โดย scheme2.1) 0 3 2 1 . . = ββββ (โดยโครงการ 2.1) 2 0 1 0 2 1 . . . . = βαααββ (โดยโครงการ 2.1) 0 1 2 3 . . = αααα (โดยโครงการ 2.1) 4 0 = αβ (โดยโครงการ 2.1) ดังนั้นผลที่เป็นจริงสำหรับ n = 0 ตอนนี้คิดว่าผลที่เป็นจริงสำหรับบางจำนวนเต็ม n ≥ 1 แล้ว4 8 0 0 4 7 4 6 4 5 . . . βα = ββββ nnnn + + + (โดย scheme2.1) 4 0 6 4 5 4 4 6 6 6 5 . . . . = βαααββ nnnnn + + + + (โดย scheme2.1) 0 4 4 4 5 4 4 4 6 4 5 . . . . = αβββαα nnnnn + + + + (โดย scheme2.1) 0 4 7 4 6 4 5 . . = αααα NNN + + + (โดย scheme2.1) 0 4 8 = αβ + n (โดย scheme2.1) ดังนั้นผลที่เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 0 1538 Rathore จีพีเอสเอสเชนและทุม Sikhwal พิสูจน์ที่คล้ายกันจะได้รับส่วนที่เหลือ (ข) และ (ค). ทฤษฏี (3.2): สำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 0: 4 3 0 ​​4 4 4 0 () n ฉันฉันฝันฉันฉันอัลฟาอัลฟาเบต้า+ = + = = เธเธ4 3 0 ​​4 4 4 0 () n ฉันฉันNN ฉันฉันb เบต้าเบต้าอัลฟา+ = + = = เธเธ4 4 0 0 4 5 4 1 0 0 (). n ฉันฉันฝันฉันฉันคอัลฟาเบต้าอัลฟาอัลฟาเบต้า+ = + = = เธเธ4 4 0 0 4 5 4 1 0 0 (). n ฉันฉันฝันฉันฉันd เบต้าอัลฟาเบต้าเบต้าอัลฟา+ = + = = เธเธ4 5 0 1 0 4 6 4 2 0 1 0 . (). . n ฉันฉันNN ฉันฉันจอัลฟาเบต้าเบต้าอัลฟาอัลฟาอัลฟาเบต้า+ = + = = เธเธ4 5 0 1 0 4 6 4 2 0 1 0 . (). . n ฉันฉันฝันฉันฉันฉเบต้าอัลฟาอัลฟาเบต้าเบต้าเบต้าอัลฟา+ = + = = เธเธทฤษฎีบท (3.3): สำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 0: 2 3 2 7 5 4 3 2 1 . . . , αααααα nnnnnn + + + + + = 2 3 2 7 5 4 3 2 1 . . . . ββββββ nnnnnn + + + + + = ทฤษฎีบท (3.1) (3.2) และ (3.3) สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีเหนี่ยวนำ. ในที่สุดเรานำเสนอผลสำหรับโครงการ (2.2). โครงการที่สอง (2.2) ความเชื่อ ( 3.4): สำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 0: 4 3 0 ​​4 4 4 0 () n ฉันฉันฝันฉันฉันอัลฟาอัลฟาอัลฟา+ = + = = เธเธ4 3 0 ​​4 4 4 0 () n ฉันฉันฝันฉันฉันb เบต้าเบต้าเบต้า+ = + = = เธเธ4 4 0 4 5 4 1 0 () n ฉันฉันฝันฉันฉันคอัลฟาอัลฟาอัลฟา+ = + = = เธเธ4 4 0 4 5 4 1 0 () n ฉันฉันฝันฉันฉันd เบต้าเบต้าเบต้า+ = + = = เธเธ4 5 0 4 6 4 2 0 () n ฉันฉันฝันฉันฉันจอัลฟาอัลฟาอัลฟา+ = + = = เธเธ4 5 0 4 6 4 2 0 () n ฉันฉันฝันฉันฉันฉเบต้าเบต้าเบต้า+ = + = = เธเธคูณคู่ลำดับฟีโบนักชี 1539 ทฤษฎีบท (3.5): สำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 0: 2 3 2 7 5 4 3 2 1 . . . . , αααααα nnnnnn + + + + + = 2 3 2 7 5 4 3 2 1 . . . . ββββββ nnnnnn + + + + + = ทฤษฎีบท (3.4) และ (3.5) จะได้รับการพิสูจน์โดยวิธีการเหนี่ยวนำ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

นามธรรม
คู่ Fibonacci ลำดับสอง ลำดับของจำนวนเต็มซึ่งเกี่ยวข้องกับ
องค์ประกอบหนึ่งลำดับ เป็นส่วนหนึ่งของการของอื่น ๆและในทางกลับกัน .
K . T . atanassov เป็นครั้งแรกคู่ Fibonacci ลำดับลำดับที่สองของ
ในรูปเสริม ในกระดาษนี้เรานำเสนอวิธีลำดับ Fibonacci
คู่ที่สามเพื่อภายใต้รูปแบบเฉพาะ
2คณิตศาสตร์เรื่องหมวดหมู่ : 11b39 11b37
, คำหลัก : Fibonacci ลำดับ ลำดับ 2-fibonacci คูณ , ลำดับเลขฟีโบนัชชีคู่

1 บทนำ
ในไม่พอใจปีคู่ Fibonacci ลำดับเป็นที่นิยม . ทำงานมากได้
ทำในฟิลด์นี้ แต่รูปแบบของอนุกรมเวลา น้อยรู้จัก คู่
ลำดับเลขฟีโบนัชชีเป็นครั้งแรกโดย K . T
atanassov [ 5 ] และยังกล่าวถึงหลายสงสัยคุณสมบัติและทิศทางใหม่ของการแผ่ขยาย
Fibonacci ลำดับใน [ 2 ] , [ 3 ] [ 6 ] [ 7 ] เขาถูกกำหนดไว้ และศึกษาเกี่ยวกับสี่
1536 G PS ราเธอร์ เอสเชนและ o . sikhwal
วิธีที่แตกต่างกันในการสร้างคู่ลําดับและเรียกพวกเขาคู่ลำดับ Fibonacci
( หรือ 2-f ลำดับ ) ลำดับ Fibonacci การคูณการศึกษาโดย
หน้ากลัสเตอร์ [ 8 ] และทั่วไปโดยหวังว่า [ 9 ] K . T . atanassov [ 4 ] แจ้ง 4
โครงร่างที่แตกต่างกันในรูปการคูณสำหรับคู่ลำดับฟิโบนัคชี่ ให้∞

= 0 =
{ }

และαฉัน∞ = 0 =
{ }
2 บีตาฉันเป็นลำดับอนันต์และสี่โดยพลการจริง
ตัวเลข B C และ D ได้รับ แตกต่างกันสี่แบบคูณ 2 -
Fibonacci ลำดับดังนี้
ชุดแรก 2 1
2

0

0 .
n n n
n n n
n
n
αααบีตาบีตา

บีตา

=
=
≥≥ ( 1.1 )
แผนการที่สอง 2 1
2 1

0

0 .
n n n
n n n
n
n

αบีตาαบีตาαบีตา


=
=
≥≥ ( 1.2 ) โครงการที่ 3 2 1
2
1

0

0 .
n n n
n n n
n
n

ααบีตาบีตาบีตาα


=
=
≥≥ ( 1.3 ) โครงการ 4 2 1
2
1

0

0 .
n n n
n n n
n
n
αบีตาบีตาααบีตา



=
=
≥≥ ( 1.4 )
. Singh และ o . sikhwal [ 1 ] ศึกษาผลลัพธ์ต่าง ๆ ของใบที่สอง .
ในกระดาษนี้เรานำเสนอผลลัพธ์บางอย่างบนวิธีลำดับ Fibonacci
คู่ที่สามเพื่อภายใต้แผนการที่เฉพาะเจาะจง 2 .
2 การคูณคู่ Fibonacci ลำดับสาม เพื่อให้∞
=
0
{ }

และαฉัน∞ = 0 =
{ }
2 บีตาฉันเป็นลำดับอนันต์และหกโดยพลการจริงตัวเลข
A B C D E F , , และ ได้รับ คู่ Fibonacci ลำดับของการคูณ 3
สั่งให้สร้างขึ้น โดยวิธีต่าง ๆต่อไปนี้ :
8 ชุดแรก 3 2 1 3 2 1

. 0

. 0 .
n n n n
n n n n
n
n
αบีตาบีตาบีตาαααบีตา




= = ≥≥

( 2.1 ) โครงการ 2 3 2 1 2 3 1

. 0

. 0 .
n n n n
n n n n
n
n
αααα
บีตาบีตาบีตาบีตา


=
=
≥≥ ( 2.2 ) โครงการที่ 3
3 2 1
3 2 1

. 0

. 0 .
n n n n
n n n n
n
n
αบีตาบีตาα
บีตาααบีตา


=
=
≥≥