Proof. In fact, if a is a limit poi

Proof. In fact, if a is a limit point of E, then the base E ∋ x -> a of deleted

neighborhoods UoE{a) — UE{a) a of a is defined.

We recall that UE(a) = E ∩ U(a).

If f is continuous at a, then, by finding a neighborhood UE(a) for
the neighborhood V(f(a)) such that f(UE{a)) ⊂ V(f{a)), we will simultaneously
have f(UE(a)) ⊂ V(f(a)). By definition of limit, therefore,
lim f(x) = f(a).
E∋x->a
Conversely, if we know that lim f(x) = f(a) , then, given a neighborhood
E ∋ x—>a
V{f(a)), we find a deleted neighborhood UE(a) such that f(UE{a)) ⊂
v(f(a)). But since f(a) ∈ V(UE(a)), we then have also f(UE(a)) ⊂ V^(f(a)).
By Definition 1 this means that f is continuous at a ∈ E.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐาน ในความเป็นจริง ถ้าเป็นเป็นจุดจำกัดของ E แล้ว∋ E ฐาน x -> การของลบย่าน UoE { a) — UE { a) เป็นของกำหนดไว้ เราจำได้ที่ UE(a) = E ∩ U(a) ถ้า f ต่อเนื่องที่ a จากนั้น โดยการหาย่าน UE(a) สำหรับย่าน V(f(a)) กล่าวว่า⊂ f(UE{a)) V(f{a)) ที่เราจะไปพร้อม ๆ กันมี f(UE(a)) ⊂ V(f(a)) โดยนิยามของขีดจำกัด ดังนั้น lim f (x) = f(a) E∋x -> เป็น ในทางกลับกัน ถ้าเรารู้ว่า lim f (x) = f(a) จากนั้น ให้เป็นย่าน E ∋ x — >V{f(a)) เราค้นหาการลบย่าน UE(a) ดังกล่าวนั้น f(UE{a)) ⊂ v(f(a)) แต่ ตั้งแต่ f(a) ∈ V(UE(a)) เราแล้วยังมี f(UE(a)) ⊂ V^(f(a))โดย 1 คำนิยาม นี้หมายความ ว่า f ต่อเนื่องที่∈ e

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พิสูจน์ ในความเป็นจริงถ้าเป็นจุดขีด จำกัด ของ E แล้วฐาน E ∋ x -> ของลบ

ละแวกใกล้เคียง UoE {a). - UE {a) ของถูกกำหนดให้

เราจำได้ว่า UE (ก) = E ∩ U (ก).

ถ้า F เป็นอย่างต่อเนื่องที่แล้วโดยการหา UE เขต (ก) สำหรับ
เขตวี (F (ก)) เช่นว่า f (UE {a)) ⊂ V (F {a)) เราพร้อมจะ
มี f (UE (ก)) ⊂ V (F (ก)) ตามคำนิยามของวงเงินจึง
Lim f (x) = f (ก).
E∋x-> a
ตรงกันข้ามถ้าเรารู้ว่า Lim f (x) = f (a) แล้วกำหนดเขต
E ∋ X- > a
V {F (ก)) เราจะพบย่านลบ UE (ก) เช่นว่า f (UE {a)) ⊂
V (F (ก)) แต่เนื่องจาก f (ก) ∈ V (UE (ก)) เราแล้วยังได้ f (UE (ก)) ⊂ V ^ (F (ก)).
โดยมีความหมาย 1 นี้หมายความว่า F อย่างต่อเนื่องที่∈อี

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พิสูจน์ ในความเป็นจริง หากอยู่ในขอบเขตที่จุด E แล้วฐาน e ∋ x - > ของลบย่าน uoe { ) e - { ) ของถูกกำหนดเราจำได้ว่า UE ( ) = E ∩ U ( A )ถ้า f เป็นอย่างต่อเนื่องที่แล้วโดยการหาพื้นที่ใกล้เคียง ( UE )ย่าน V ( f ( a ) f ( UE ) ที่⊂ { ) V ( F ) { ) เราจะไปพร้อมกันมี f ( e ( a ) ) ⊂ V ( f ( a ) ) โดยนิยามของขอบเขต ดังนั้นลิม f ( x ) = f ( A )E ∋ x - >ในทางกลับกัน ถ้าเรารู้ว่า lim f ( x ) = f ( A ) จากนั้นให้ใกล้กับE ∋ x - >V { f ( a ) ) เราหาลบละแวก UE ( ) เช่น F ( e - { ) ⊂V ( f ( a ) ) แต่เนื่องจาก f ( a ) ∈ v ( e ( a ) ) เราก็ยังได้ F ( e ( a ) ) ⊂ V ^ ( f ( a ) )โดยนิยาม 1 หมายความว่า f ต่อเนื่องที่∈ E