The family of normal distributions

The family of normal distributions is closed under linear transformations: if X is normally distributed with mean μ and standard deviation σ, then the variable Y = aX + b, for any real numbers a and b, is also normally distributed, with mean aμ + b and standard deviation

Also if X1 and X2 are two independent normal random variables, with means μ1, μ2 and standard deviations σ1, σ2, then their sum X1 + X2 will also be normally distributed,[proof] with mean μ1 + μ2 and variance sigma_1^2 + sigma_2^2.

In particular, if X and Y are independent normal deviates with zero mean and variance σ2, then X + Y and X − Y are also independent and normally distributed, with zero mean and variance 2σ2. This is a special case of the polarization identity.

Also, if X1, X2 are two independent normal deviates with mean μ and deviation σ, and a, b are arbitrary real numbers, then the variable


X_3 = frac{aX_1 + bX_2 - (a+b)mu}{sqrt{a^2+b^2}} + mu

is also normally distributed with mean μ and deviation σ. It follows that the normal distribution is stable (with exponent α = 2).

More generally, any linear combination of independent normal deviates is a normal deviate.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ครอบครัวของการกระจายปกติปิดให้บริการภายใต้การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น: X ถ้ามีการกระจายตามปกติที่มีค่าเฉลี่ยμσและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแล้วตัวแปร Y = ขวาน + B, สำหรับจำนวนจริงใด ๆ และ b นอกจากนี้ยังมีการกระจายตามปกติที่มีค่าเฉลี่ยaμ + ขและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานนอกจากนี้หาก X1 และ X2 สองตัวแปรสุ่มอิสระปกติด้วยวิธีการμ1, μ2และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานσ1, σ2แล้วผลรวมของพวกเขา X1 + X2 ก็จะถูกกระจายตามปกติ [หลักฐาน] ด้วยμ1เฉลี่ย + μ2และความแปรปรวน sigma_1 ^ 2 + sigma_2 ^ 2. โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า X และ Y มีความเบี่ยงเบนปกติอิสระกับศูนย์ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนσ2แล้ว X + Y และ X - Y นอกจากนี้ยังมีอิสระและกระจายตามปกติที่ศูนย์ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน2σ2 นี้เป็นกรณีพิเศษของตัวตนของโพลาไรซ์. นอกจากนี้ถ้า X1, X2 สองเบี่ยงเบนปกติอิสระที่มีค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนμσและมี b เป็นจำนวนจริงโดยพลแล้วตัวแปรX_3 = frac {aX_1 + bX_2 - ( + ข) หมู่} { sqrt {^ 2 + B ^ 2}} + หมู่นอกจากนี้ยังมีการกระจายตามปกติที่มีค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนμσ มันตามที่การกระจายปกติมีเสถียรภาพ (ที่มีสัญลักษณ์α = 2). มากกว่าปกติใด ๆ รวมกันเชิงเส้นของเบี่ยงเบนปกติที่เป็นอิสระเป็นปกติเฉไฉ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ครอบครัวของการแจกแจงปกติปิดภายใต้การแปลงเชิงเส้น : ถ้า x เป็นแบบปกติด้วยค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานμσแล้วตัวแปร y = ax B สำหรับตัวเลขจริง A และ B ก็กระจายปกติ กับหมายถึงμ B

และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ถ้า x1 และ x2 สองอิสระปกติ ตัวแปรสุ่ม ด้วยวิธีการμ 1 , μ 2 และส่วนเบี่ยงเบนσ 1 , σ 2 มาตรฐานแล้วของผลรวม x1 x2 จะปกติกระจาย [ หลักฐาน ] กับหมายถึงμ 1 μ 2 และความแปรปรวน N sigma_1
2 sigma_2
2

โดยเฉพาะถ้า x และ y เป็นอิสระปกติแตกกับศูนย์ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนσ 2 แล้ว x y x y −และยังมีอิสระและปกติ การกระจายศูนย์ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน 2 σ 2 นี่เป็นกรณีพิเศษของโพลาไรเซชันของตัวตน ถ้า x1

ยังX2 สองอิสระปกติแตกด้วยค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และσμ , a , b เป็นจำนวนจริงโดยพลการ แล้วแปร


x_3 = frac { ax_1 bx_2 - ( B ) mu } { SQRT {
2 b
2 } } mu

ยังเป็นแบบปกติกับ ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนσμ . มันเป็นไปตามที่ปกติมีเสถียรภาพ ( ผู้สนับสนุนα = 2 ) .

เพิ่มเติมโดยทั่วไปการรวมกันของอิสระเชิงเส้นใด ๆปกติเบี่ยงเบนไปเป็นปกติธรรมดา .