(12) Yni=1uivi = 1.P r o o f. From

(12) Yn
i=1
uivi = 1.
P r o o f. From Lemma 1, we infer that functions fi,j have the form (2). For
x = 1 we obtain that di,j = ci,j for i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n and (11)
holds.
By Lemma 2, we obtain (9), and from Lemma 1, we get (3). Using
Lemma 3 and (10) we obtain (12).
Conversely, assume that an operator F of the form (1) is defined by (11)
and the assumptions (8), (9) and (12) are fulfiled.
Let H = [hi,j ] ∈ Mn(F) be an arbitrary matrix. From the definition of
the determinant and (11) we have
det(F(H)) = X
p∈Sn
(−1)Iq Ym
i=1
uivσ(i)hi,σ(i)
,
where Sn denotes the set of all permutations σ = (σ(1), σ(2), . . . , σ(n)) of
the set {1, 2, . . . , n}.
Using properties of the determinants, (12) and the definition of σ it
follows that
det(F(H)) = Ym
i=1
uivσ(i)
X
σ∈Sn
hi,σ(i) = 1 · det(H).

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

(12) Yn
i = 1
uivi = 1.
P รู้ฉ จากบทแทรก 1 เราสรุปว่าสายฟังก์ชั่น, เจมีรูปแบบ (2) สำหรับ
x = 1 เราได้รับดิว่าเจซี = J สำหรับ i = 1, 2, . . , M, J = 1, 2, . . , n และ (11)
ถือ.
โดยบทแทรก 2 เราได้รับ (9) และจากบทแทรก 1 เราได้รับ (3) ใช้
บทแทรกที่ 3 และ (10) เราได้รับ (12).
ตรงกันข้ามสมมติว่าผู้ประกอบการในรูปแบบ F (1) ถูกกำหนดโดย (11)
และการตั้งสมมติฐาน (8) (9) และ (12) จะ fulfiled.
ให้ H = [สวัสดีเจ] ∈ Mn (F) เป็นเมทริกซ์โดยพลการ จากนิยามของ
ปัจจัยและ (11) เรามี
เดชอุดม (F (H)) = X
p∈Sn
(-1) ไอคิว Ym
i = 1
uivσ (i) สวัสดีσ (i)
,
ที่ Sn หมายถึงชุดของ พีชคณิตทั้งหมดσ = (σ (1), σ (2),..., σ (n)) ของ
ชุด {1, 2, . . , n}.
โดยใช้คุณสมบัติของปัจจัย, (12) และความหมายของσมัน
ตามที่
เดชอุดม (F (H)) = Ym
i = 1
uivσ (i)
X
σ∈Sn
สวัสดีσ (i) = 1 · เดชอุดม (H)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

( 12 ) ในที่สุด

uivi = 1 = 1 .
p r o O F . จากการจับมือ 1 เราสรุปได้ว่าฟังก์ชัน FI , J มีรูป ( 2 ) สำหรับ
x = 1 เราได้รับว่าตี้ , J = CI , J i = 1 , 2 , . . . . . . . . , M , j = 1 , 2 , . . . . . . . . , N และ ( 11 )

โดยมี พ 2 ที่เราได้รับ ( 9 ) , และจากการจับมือ 1 เราได้ ( 3 ) ใช้แทรก
3 และ ( 10 ) เราได้รับ ( 12 ) .
ในทางกลับกันสมมติว่าผู้ประกอบการ F ของแบบฟอร์ม ( 1 ) ถูกกำหนดโดย ( 11 )
และสมมติฐาน ( 8 )( 9 ) และ ( 12 ) fulfiled .
ให้ h = [ สวัสดี J ] ∈ Mn ( F ) เป็นเมทริกซ์โดยพลการ จากคำนิยามของปัจจัยและ ( 11 )

คือเราได้ ( F ( H ) = x
P ∈ SN
( − 1 ) = 1

ผมไอคิว ) uiv σ ( ฉัน ) ไง σ ( ผม )

ที่ Sn แสดงชุดเพิ่มเงินทั้งหมดσ = ( σ ( 1 ) σ ( 2 ) . . . . . . . σ , ( n )
เซต { 1 , 2 , . . . . . . . . , n } .
โดยใช้คุณสมบัติของตัวกำหนด ( 12 ) และความหมายของ σค่ะ

คือว่าเดช ( F ( H ) = YM
ฉัน = 1
uiv σ ( I )
x
σ∈ SN
หวัดดี σ ( ฉัน ) = 1 ด้วยเดช ( H )