Then F ⊆ cl*(A) ∩ Ac, since cl*(A)

Then F ⊆ cl*
(A) ∩ Ac
, since cl
*
(A) – A = cl
*
(A) ∩ Ac
.

Therefore F ⊆ cl
*
(A) and F ⊆ Ac
. Since Fc
is a τ
*
-open set and
A is a τ
*
-g-closed, cl
*
(A) ⊆ Fc
.

That is F ⊆ [cl
*
(A)]
c
.

Hence F
⊆ cl
*
(A) ∩ [cl
*
(A)]
c
= φ. That is F = φ, a contradiction. Thus
cl
*
(A) – A contain no non-empty τ
*
-closed set in X.
Conversely, assume that cl
*
(A) – A contains no non-
empty τ
*
-closed set. Let A ⊆ G, G is τ
*
-open. Suppose that
cl
*
(A) is not contained in G, then cl
*
(A) ∩ Gc
is a non-empty
τ
*
-closed set of cl
*
(A) – A which is a contradiction. Therefore
cl
*
(A) ⊆ G and hence A is τ
*
-g-closed.

Corollary 3.11. A subset A of X is τ
*
g-closed if and
only if cl
*
(A) – A contain no non-empty closed set in X.
Proof : The proof follows from the Theorem 3.10. and the
fact that every closed set is τ
*
- closed set in X.

Corollary 3.12. A subset A of X is τ
*
-g-closed if and
only if cl
*
(A) – A contain no non-empty open set in X.
Proof: The proof follows from the Theorem 3.10. and the
fact that every open set is τ
*
-open set in X.

Theorem 3.13. If a subset A of X is τ
*
-g-closed and A
⊆ B ⊆ cl
*
(A), then B is τ
*
-g-closed set in X.
Proof : Let A be a τ
*
-g-closed set such that A ⊆ B ⊆
cl
*
(A). Let U be a τ
*
-open set of X such that B ⊆ U. Since A is
τ
*
-g-closed, we have cl
*
(A) ⊆ U. Now cl
*
(A) ⊆ cl
*
(B) ⊆
cl
*
[ cl
*
(A)] = cl
*
(A) ⊆ U. That is cl
*
(B) ⊆ U, U is τ
*
-open.
Therefore B is τ
*
-g-closed set in X.

The converse of the above theorem need not be true as
seen from the following example..

Example 3.14. Consider the topological space (X, τ),
where X = {a, b, c} and the topology τ = {X, φ,{a},{a, b}} Let
A = {c} and B = {a, c}.Then A and B are τ
*
-g-closed sets in
(X, τ). But A ⊆ B is not a subset of cl
*
(A).

Theorem 3.15. Let A be a τ*-g-closed in (X, τ). Then A
is g-closed if and only if cl
*
(A) – A is τ
*
-open.
Proof : Suppose A is g-closed in X. Then cl
*
(A) = A and
so cl
*
(A) – A = φ which is τ
*
- open in X. Conversely, suppose
cl
*
(A) – A is τ
*
-open in X. Since A is τ
*
-g-closed, by the
Theorem 3.10, cl
*
(A) – A contains no non-empty τ
*
-closed set
in X. Then cl
*
(A) – A = φ Hence A is g-closed.

Theorem 3.16. For x ∈ X, the set X – {x} is τ*-g-closed
or τ
*
-open.
Proof: Suppose X – {x} is not τ
*
-open. Then X is the
only τ
*
-open set containing X – {x}. This implies cl
*
( X –
{x}) ⊆ X. Hence X – {x} is a τ*-g-closed in X.

Remark 3.17. From the above discussion, we obtain the
following implications.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แล้ว F ⊆ cl *(A) กระแสสลับ∩ตั้งแต่ cl*(A) -A = cl*(A) กระแสสลับ∩. ดังนั้น F ⊆ cl*(A) และ F ⊆ Ac. ตั้งแต่ Fc มีτเป็น*-เปิดชุด และ คือ ตัวτ*-g ปิด cl*(A) ⊆ Fc. นั่นคือ F ⊆ [cl*(A)]c. ดังนั้น F ⊆ cl*(A) ∩ [cl*(A)]c =Φ นั่นคือ F =φ ความขัดแย้ง ดังนั้น cl*(A) -A ประกอบด้วยτไม่ว่างไม่*-ปิดการตั้งค่าใน X ในทางกลับกัน สมมติว่า cl*(A) -A ประกอบด้วยไม่มี -τว่าง*-ปิดชุด ให้เป็น⊆ G, G คือ τ*-เปิด สมมติว่า cl*(A) ไม่อยู่ใน G, cl แล้ว*(A) Gc ∩ เป็นไม่ว่างเปล่า Τ*-ปิดชุดของ cl*(A) -A ซึ่งเป็นความขัดแย้ง ดังนั้น cl*(A) ⊆ G และดังนั้น คือ τ*-g ปิด Corollary 3.11 เซตย่อย A ของ X คือ τ* ถ้าปิด g และ ถ้าเฉพาะ cl*(A) -A ประกอบด้วยตั้งไม่ปิดไม่ว่างขนาดนั้น หลักฐาน: การพิสูจน์ดังต่อไปนี้จาก 3.10 ทฤษฎีบท และ ความจริงที่ว่าทุกชุดปิดτ*-ปิดการตั้งค่าใน X Corollary 3.12 เซตย่อย A ของ X คือ τ*ถ้าปิด - g และ ถ้าเฉพาะ cl*(A) -contain ที่เปิดไม่ว่างไม่ตั้งใน X หลักฐาน: การพิสูจน์ดังต่อไปนี้จาก 3.10 ทฤษฎีบท และ ความจริงที่ว่าทุกชุดเปิดτ*-เปิดชุดใน X ทฤษฎีบท 3.13 ถ้าเซตย่อย A ของ X τ*ปิด - g และ Cl ⊆⊆ B*(A) แล้ว B คือ τ*ชุดที่ปิด - g ใน X หลักฐาน: ให้ A จะมีτ*ปิด - g ตั้งเช่น⊆⊆ B ที่ A cl*(A) การให้ U จะเป็นτ*-เปิดชุดของ X ดังกล่าวที่ B ⊆ U. เนื่องจากเป็น Τ*เรา -g ปิด มี cl*(A) สหรัฐ⊆ ตอนนี้ cl*(A) cl ⊆*(B) ⊆ cl*[cl*(A)] = cl*(A) สหรัฐ⊆ นั่นคือ cl*(ข) ⊆ U, U คือ τ*-เปิด ดังนั้น B เป็นτ*ชุดที่ปิด - g ใน X ตรงกันข้ามของทฤษฎีบทข้างต้นไม่จำเป็นต้องเป็นจริง เห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้... ตัวอย่างที่ 3.14 พิจารณาพื้นที่ topological (X τ), ที่ X = {a, b, c } และτโทโพโลยี = { X φ, {a }, {a, b } } ให้ = {C } และ B = {a, c } แล้ว A และ B มีτ*ปิด - g ชุดใน (X Τ) แต่⊆ B ไม่เป็นเซตย่อยของ cl*(A) ทฤษฎีบท 3.15 ให้ A เป็นτเป็น * -g-ปิดใน (X τ) แล้ว A ถ้าปิด g และเฉพาะในกรณี cl*(A) -คือ τ*-เปิด หลักฐาน: สมมติว่า A เป็น g-ปิดใน X แล้ว cl*(A) = A และ ดังนั้น cl*(A) -A =φซึ่งτ*-เปิดใน x. อัพตรงกันข้าม สมมติ cl*(A) -คือ τ*-เปิดใน X เนื่องจากเป็นτ*-g ปิด โดย ทฤษฎีบทที่ 3.10, cl*(A) -A ประกอบด้วยτไม่ว่างไม่*-ปิดชุด ใน X แล้ว cl*(A) -A =φดังนั้น A g-ปิด ทฤษฎีบทที่ 3.16 สำหรับ x ∈ X ชุด X – {x } คือ τ * -g-ปิด หรือτ*-เปิด หลักฐาน: สมมติว่า X – {x } ไม่τ*-เปิด แล้ว X เป็นการ τเท่านั้น*-เปิดตั้งประกอบด้วย X – {x } นี้หมายถึง cl*( X – {x }) ⊆ไฟร์ Hence X – {x } คือ τเป็น * -g-ปิดใน X หมายเหตุที่ 3.17 จากการสนทนาข้างต้น เราได้รับการ ผลต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

จากนั้น F ⊆ CL *
(A) ∩ Ac
ตั้งแต่ CL
*
(A) - A = CL
*
(A) ∩
Ac. ดังนั้น F ⊆ CL * (A) และ F ⊆ Ac ตั้งแต่ Fc เป็นτ * ชุด -open และเป็นτ * -g ปิด, CL * (A) ⊆ Fc. นั่นคือ F ⊆ [CL * (A)] ค. ดังนั้น F ⊆ CL * (A) ∩ [CL * (A)] ค= φ นั่นคือ F = φ, ความขัดแย้ง ดังนั้นCL * (A) - เป็นมีไม่τไม่ว่างเปล่า* -closed ตั้งอยู่ในเอ็กซ์ตรงกันข้ามสมมติว่าเ* (A) - เป็นไม่มีไม่τว่าง* -closed ตั้ง ให้⊆ G A, G เป็นτ * -open สมมติว่าเ* (A) ไม่ได้มีอยู่ใน G แล้ว CL * (A) ∩ Gc เป็นไม่ว่างเปล่าτ * -closed ชุดของ CL * (A) - เป็นซึ่งเป็นความขัดแย้ง ดังนั้นCL * (A) ⊆ G และด้วยเหตุนี้เป็นτ * -g ปิด. ควันหลง 3.11 ส่วนหนึ่งของ X คือτ * กรัมปิดถ้าเฉพาะในกรณีที่เ* (A) - เป็นมีไม่ที่ไม่ว่างเปล่าปิดการตั้งค่าใน X. พิสูจน์: หลักฐานดังต่อไปนี้จากทฤษฎีบท 3.10 และความจริงที่ว่าทุกชุดที่ปิดคือτ * - ปิดการตั้งค่าในเอ็กซ์ควันหลง3.12 ส่วนหนึ่งของ X คือτ * -g ปิดถ้าเฉพาะในกรณีที่เ* (A) - เป็นมีไม่ที่ไม่ว่างเปล่าชุดเปิดใน X. พิสูจน์: หลักฐานดังต่อไปนี้จากทฤษฎีบท 3.10 และความจริงที่ว่าทุกชุดเปิดτ * ชุด -open ในเอ็กซ์ทฤษฎีบท3.13 หากส่วนย่อยของ X คือτ * -g ปิดและ A ⊆ B ⊆ CL * (A) แล้ว B คือτ * ชุด -g ปิดใน X. พิสูจน์: ให้ A เป็นτ * -g ปิดชุด เช่นว่า⊆ B ⊆ CL * (A) Let U เป็นτ * ชุด -open ของ X เช่นที่ B ⊆ U. ตั้งแต่เป็นτ * -g ปิดเรามีเ* (A) ⊆ U. ตอนนี้เ* (A) ⊆ CL * (B) ⊆ CL * [CL * (A)] = CL * (A) ⊆ U. นั่นคือ CL * (B) ⊆ U, U คือτ * เปิด. ดังนั้น B เป็นτ * ชุด -g ปิดในเอ็กซ์สนทนาทฤษฎีบทดังกล่าวข้างต้นไม่จำเป็นต้องเป็นความจริงตามที่เห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้ .. ตัวอย่าง 3.14 พิจารณาพื้นที่ทอพอโลยี (x, τ) ที่ X = {b, c} และโครงสร้างτ = {x, φ, {a}, {A, B}} ให้A = {c} และ B = { A, C} จากนั้น A และ B มีτ * ชุด -g-ปิด(x, τ) แต่⊆ B ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของ CL * (A). ทฤษฎีบท 3.15 ให้ A เป็นτ * -G-ปิด (x, τ) แล้วมีการปิดกรัมถ้าหาก CL * (A) - เป็นτ * -open. พิสูจน์: สมมติว่าเป็น G-ปิดใน X. แล้ว CL * (A) = A และCL ดังนั้น* (A) - A = φซึ่งเป็นτ * - เปิดในเอ็กซ์ตรงกันข้ามสมมติว่าเ* (A) - เป็นτ * เปิดใน X. ตั้งแต่เป็นτ * -g ปิดโดยทฤษฎีบท3.10, CL * (A) - ประกอบด้วยไม่มีτไม่ว่างเปล่า* -closed ตั้งในX. แล้ว CL * (A) -. A = φดังนั้นจะกรัมปิดทฤษฎีบท3.16 สำหรับ x ∈ X ชุด X - {x} เป็นτ * -g ปิดหรือτ * -open. พิสูจน์: สมมติว่า X - {x} ไม่τ * -open จากนั้น X คือτเท่านั้น* ชุด -open มี X - {x} ซึ่งหมายความ CL * (X - {x}) ⊆ X. ดังนั้น X - {x} เป็นτ * -g ปิดใน X. หมายเหตุ 3.17 จากการสนทนาดังกล่าวข้างต้นเราได้รับผลกระทบต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แล้ว F ⊆ CL *
( )
∩ AC ตั้งแต่ C1
*
( )
*
3 = CL ( ) ∩ AC
.

ดังนั้น F ⊆ CL
*
( ) และ F ⊆ AC

เนื่องจาก FC
เป็นτ
*
-
ชุดเปิดและเป็นτ
*
- g-closed , C1
*
( ) ⊆ FC



ที่ F ⊆ [ C1
*
( )
c
.

ดังนั้น F
⊆ CL
*
( ) ∩ [ CL
*
( )
c
= φ . นั่นคือ F = φ , ความขัดแย้ง ดังนั้น

*
( CL ) ซึ่งประกอบด้วยไม่มีว่างτ
*
- ปิดชุด X .
ในทางกลับกันสมมติว่า CL

( ก ) ซึ่งประกอบด้วยไม่มีว่างτ
*
-
- ปิดการตั้งค่า ให้⊆ G , G เป็นτ
*
- เปิด สมมติว่า

*
( CL ) ไม่ได้อยู่ใน G แล้ว CL
*
( )
∩ GC เป็นไม่ใช่เปล่า
τ
*
-
*
ปิดชุดของ CL ( ) ผู้ซึ่งมีความขัดแย้ง ดังนั้น

*
( CL ) ⊆กรัม จึงเป็นτ
*
- g-closed .

ควันหลง 3.11 . เป็นเซตย่อยของ X คือτ
*
g-closed ถ้า
ถ้า CL

( A ) ซึ่งประกอบด้วยไม่มีว่างปิดชุด X
หลักฐาน หลักฐานดังต่อไปนี้จากทฤษฎีบท 3.10 . และข้อเท็จจริงที่ว่า ทุกชุดจะปิด
τ
*
- ปิดการตั้งค่าใน X .

ควันหลง 3.12 . เป็นเซตย่อยของ X คือτ
*
-
g-closed ถ้าและถ้า CL
*
( A ) ซึ่งประกอบด้วยไม่มีตั้งค่าเปิดว่างใน X .
: หลักฐานพิสูจน์ว่าทฤษฎีบท 3.10 . และความจริงที่ว่าทุกเปิด
ชุดτ

- เซตเปิดใน X .

ทฤษฎีบท 3.13 . ถ้าเป็นเซตย่อยของτ
*
x คือ- g-closed และ
⊆ B ⊆ CL
*
( b ) แล้วτ

- g-closed ชุด X .
พิสูจน์ให้เป็นτ
*
- g-closed ชุดดังกล่าวที่⊆ B ⊆

*
( CL ) ให้ u เป็นτ
*
- เปิดชุดของ X เช่น B ⊆สหรัฐอเมริกา ตั้งแต่เป็นτ

*
- g-closed เรามี CL
*
( )
*
⊆ U ตอนนี้ ซีแอล ( CL ) ⊆
*
( b ) ⊆


[ CL ซีแอล
*
( a ) ] = C1
*
( ) ⊆ U ที่ CL
*
( b ) ⊆ U , U คือτ
*
- เปิด
ดังนั้น B τ
*
-
g-closed ชุด Xการสนทนาของทฤษฎีบทข้างต้นไม่ต้องเป็นจริง
เห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้ . .

ตัวอย่าง 3.14 . พิจารณาพื้นที่ทอพอโลยี ( x , τ )
เมื่อ x = { a , b , c } และโครงสร้างτ = { x , φ { A } { a , b } }
{ C } ให้ a = b = { C } แล้ว A และ B τ
*
- g-closed ชุด
( x , τ ) แต่⊆ B ไม่ใช่ย่อยของ C1
*
( A )

ของ 3.15 . ปล่อยให้เป็นτ * - g-closed ( x , τ ) แล้ว
เป็น g-closed ถ้าและเพียงถ้า CL
*
( A ) ซึ่งเป็นτ
*
- เปิด
หลักฐาน : สมมติว่าเป็น g-closed ใน X แล้ว CL
*
( )

= และดังนั้น CL *
( ) ( = φซึ่งเป็นτ
*
- เปิดใน X . ในทางกลับกัน คิดว่า

*
( CL ) ซึ่งเป็นτ
*
- เปิดใน เอ็กซ์ ตั้งแต่เป็นτ
*
-
g-closed โดยทฤษฎีบท 3.10 , C1
*
( A ) ซึ่งประกอบด้วยไม่มีว่างτ
*
-
X CL ในเซตปิดแล้ว

( A ) ) = φจึงเป็น g-closed .

ทฤษฎีบทพิสูจน์ .สำหรับ x ∈ x , x ) { x } เป็นเซตτ * - g-closed
หรือτ
*
- เปิด
หลักฐาน : สมมติว่า X { x } ( ไม่τ
*
- เปิด แล้ว X เป็นτ
*
-
แค่เซตเปิดที่มี x - { x } นี้หมายถึง CL
*
( x )
{ x } ) X ⊆ { x } ดังนั้น X ซึ่งเป็นτ * - g-closed ใน X .

หมายเหตุ 3.17 . จากการสนทนาข้างต้นเราขอรับ
ตามความหมาย .