Theorem 2.4. [1] Let Sn be the symm

Theorem 2.4. [1] Let Sn be the symmetric Pascal matrix of order n
defined by (1), then Sn is similar to its inverse S
−1
n
.
This result shows the following property of the eigenvalues of Sn.
Corollary 2.5. [1] Let Sn be the symmetric Pascal matrix of order
n defined by (1). Then the eigenvalues of Sn are pairs of reciprocal
numbers.
Proof. Let Sn be the symmetric Pascal matrix of order n defined by
(1) and λ be an eigenvalue of Sn. Since the det(Sn) = 1, we know Sn
is invertible. It follows that λ 6= 0 and, λ
−1
is an eigenvalue of S
−1
n
.
Since Sn and S
−1
n
are similar by Theorem 2.4, then Sn and S
−1
n have
the same eigenvalues. Hence, λ and λ
−1 are eigenvalues of Sn, and the
eigenvalues of Sn are pairs of reciprocal numbers.
Remark 1. If n is odd, since the eigenvalues must come in pairs, one
of the eigenvalues must be equal to 1.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทที่ 2.4 [1] เป็นเมตริกซ์ปาสกาลสมมาตรของลำดับ n Sn ให้กำหนดตาม (1), แล้ว Sn จะคล้ายการผกผันของ S−1n.ผลลัพธ์นี้แสดงคุณสมบัติต่อไปนี้ของเวกเตอร์ของ SnCorollary 2.5 [1] ให้ Sn เป็นเมตริกซ์ปาสกาลสมมาตรของใบสั่งn ที่กำหนดตาม (1) แล้ว เวกเตอร์ของ Sn คู่ซึ่งกันและกันหมายเลขหลักฐานการ ให้ Sn เป็นเมตริกซ์ปาสกาลสมมาตรของ n ใบสั่งที่กำหนดโดย(1) และλ eigenvalue ของ Sn ตั้งแต่ det(Sn) = 1 เรารู้ว่า Snจะสามารถหาอินเวอร์ส ตามที่ 6 = 0 λและ λ−1เป็นการ eigenvalue ของ S−1n.Sn และ S−1nคล้ายทฤษฎีบท 2.4 แล้ว Sn และ S−1มี nเวกเตอร์ที่เดียวกัน ดังนั้น λλและ−1 เป็นเวกเตอร์ของ Sn และเวกเตอร์ของ Sn มีคู่ของตัวเลขซึ่งกันและกันหมายเหตุ 1 ถ้า n เป็นคี่ เนื่องจากเวกเตอร์ต้องมาเป็นคู่ หนึ่งของเวกเตอร์ต้องได้เท่ากับ 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท 2.4 [1] ให้ Sn เป็นเมทริกซ์สมมาตรปาสกาลของคำสั่ง n
กำหนดโดย (1) แล้ว Sn จะคล้ายกับการผกผันของ S
-1 n. ผลที่ได้นี้แสดงให้เห็นว่าสถานที่ดังต่อไปนี้ค่าลักษณะเฉพาะของ Sn ได้. ควันหลง 2.5 [1] ให้ Sn เป็นเมทริกซ์สมมาตรปาสกาลของคำสั่งn กำหนดโดย (1) แล้วค่าลักษณะเฉพาะของ Sn เป็นคู่ซึ่งกันและกันตัวเลข. หลักฐาน ให้ Sn เป็นเมทริกซ์สมมาตรปาสกาลของการสั่งซื้อที่กำหนดโดย n (1) และλเป็นค่าเฉพาะของ Sn ตั้งแต่เดชอุดม (Sn) = 1 เรารู้ Sn คือ invertible มันตามที่λ 6 = 0 และλ -1 เป็นค่าเฉพาะของเอส-1 n. ตั้งแต่ Sn และ S -1 n มีความคล้ายคลึงกันโดยทฤษฎีบท 2.4 แล้ว Sn และ S -1 n มีค่าลักษณะเฉพาะเดียวกัน ดังนั้นλλและ-1 มีค่าลักษณะเฉพาะของ Sn และค่าลักษณะเฉพาะของSn คู่ของตัวเลขซึ่งกันและกัน. หมายเหตุ 1. ถ้า n เป็นเลขคี่ตั้งแต่ค่าลักษณะเฉพาะจะต้องมาเป็นคู่หนึ่งของค่าลักษณะเฉพาะจะต้องมีค่าเท่ากับ1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบท 2.4 . [ 1 ] ขอ SN เป็นเมตริกซ์สมมาตรเพื่อ n ปาสคาลที่กำหนดโดย ( 1 ) แล้ว SN คล้ายกับผกผันของ s− 1n.ผลที่ได้นี้แสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติของค่าของ SN ดังต่อไปนี้ควันหลง 2.5 [ 1 ] ขอ SN เป็นเมตริกซ์สมมาตร คำสั่งของปาสคาล- กำหนดโดย ( 1 ) แล้วแบบคิดเป็นคู่ของกฎแห่งกรรมตัวเลขพิสูจน์ ขอ SN เป็นเมตริกซ์สมมาตรเพื่อ n กำหนดโดยปาสคาล( 1 ) และλเป็นค่าของ SN . ตั้งแต่เดช ( SN ) = 1 , เรารู้ว่าสินีเป็น invertible . มันเป็นไปตามที่λ 6 = 0 และ λ− 1คือ ค่าของของ− 1n.ตั้งแต่ SN และ S− 1nจะคล้ายกันโดยทฤษฎีบท 2.4 , Sn และ s− 1n มีในแบบเดียวกัน ดังนั้น λ และλ− 1 เป็นค่าของ SN และค่าของ SN เป็นคู่แบบตัวเลขหมายเหตุ 1 . ถ้า n เป็นคี่ ตั้งแต่ค่าต้องมาคู่หนึ่งของค่าจะต้องเท่ากับ 1