Any general polynomial of degree nP

Any general polynomial of degree n

P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +cdots + a_1 x+ a_0 ,
(with the coefficients being real or complex numbers and an ≠ 0) is known by the fundamental theorem of algebra to have n (not necessarily distinct) complex roots x1, x2, ..., xn. Vieta's formulas relate the polynomial's coefficients { ak } to signed sums and products of its roots { xi } as follows:

egin{cases} x_1 + x_2 + dots + x_{n-1} + x_n = -dfrac{a_{n-1}}{a_{n}} \
(x_1 x_2 + x_1 x_3+cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+cdots + x_2x_n)+cdots + x_{n-1}x_n = dfrac{a_{n-2}}{a_{n}} \
{} quad vdots \ x_1 x_2 dots x_n = (-1)^n dfrac{a_0}{a_n}. end{cases}
Equivalently stated, the (n − k)th coefficient an−k is related to a signed sum of all possible subproducts of roots, taken k-at-a-time:

sum_{1le i_1 < i_2 < cdots < i_kle n} x_{i_1}x_{i_2}cdots x_{i_k}=(-1)^kfrac{a_{n-k}}{a_n}
for k = 1, 2, ..., n (where we wrote the indices ik in increasing order to ensure each subproduct of roots is used exactly once).

The left hand sides of Vieta's formulas are the elementary symmetric functions of the roots.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พหุนามการทั่วไปของ n องศาP (x) = a_nx ^ n + a_ {n-1 } x ^ {n-1 } cdots + a_1 x + a_0 , (มีสัมประสิทธิ์ที่เป็นจริง หรือจำนวนเชิงซ้อน และการ≠ 0) เป็นที่รู้จักกัน โดยทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตมี n (ไม่จำเป็นต้องแตกต่าง) ซับซ้อนราก x1, x2,..., xn สูตรของ Vieta เกี่ยวข้องสัมประสิทธิ์ของพหุนาม {ak } การลงผลรวมและผลิตภัณฑ์ของรากของ {สี} เป็นดังนี้:egin{cases } x_1 + x_2 + dots + x_ {n-1 } + x_n = - dfrac{a_{n-1}}{a_{n } } \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + cdots + x_1x_n) + (x_2x_3 + x_2x_4 + cdots + x_2x_n) + cdots + x_ {n-1 } x_n = dfrac{a_{n-2}}{a_{n } } \quad vdots {} \ x_1 x_2 dots x_n = (-1) ^ n dfrac{a_0}{a_n } end{cases }ระบุ equivalently, an−k ค่าสัมประสิทธิ์ของ th (n − k) เกี่ยวข้องกับผลรวมลายเซ็นของ subproducts เป็นไปได้ทั้งหมดของราก เอา k ที่เวลา:sum_{1le i_1 < i_2 < cdots < i_kle n } x_ {i_1 } x_ {i_2 } cdots x_ {i_k } =(-1) ^ kfrac {a_ {n-k } } {a_n }สำหรับ k = 1, 2,..., n (ที่เราเขียน ik ดัชนีในการเพิ่มสั่งให้แต่ละ subproduct รากใช้เหมือนกัน)สูตรของ Vieta ด้านซ้ายมือมีการทำงานแบบประถมของราก

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ใด ๆ พหุนามทั่วไปของ n ปริญญาP (x) = a_nx ^ N + a_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + A_1 x + a_0 , (ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นตัวเลขจริงหรือซับซ้อนและ≠ 0 ) เป็นที่รู้จักกันโดยทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตจะมี n (ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน) รากที่ซับซ้อน X1, X2, ... , xn สูตร Vieta ของความสัมพันธ์ค่าสัมประสิทธิ์พหุนามของ {AK} เพื่อเงินก้อนลงนามและผลิตภัณฑ์จากรากของมัน {Xi} ดังนี้ begin {กรณี} x_1 + x_2 + dots + x_ {n-1} + x_n = - dfrac {a_ { n-1}} {a_ {n}} \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + cdots + x_1x_n) + (x_2x_3 + x_2x_4 + cdots + x_2x_n) + cdots + x_ {n-1} x_n = dfrac {a_ {n-2}} {a_ {n}} \ {} Quad vdots \ x_1 x_2 dots x_n = (-1) ^ n dfrac {a_0} {} a_n end {กรณี} กล่าวเท่าที่ (n - k) TH ค่าสัมประสิทธิ์การใช้บริการ K เกี่ยวข้องกับผลรวมลงนามของ subproducts เป็นไปได้ทั้งหมดของรากนำมา K-at-เวลา: sum_ {1 le i_1 <I_2 < cdots <i_k le n} x_ {i_1} x_ {I_2} cdots x_ {i_k} = (- 1) ^ k frac {a_ {NK}}} {a_n สำหรับ k = 1, 2, .. ., n (ที่เราเขียนดัชนี IK ในการเพิ่มเพื่อให้มั่นใจว่า subproduct ของรากแต่ละคนจะใช้เพียงครั้งเดียวเท่านั้น). ด้านซ้ายมือของสูตร Vieta มีฟังก์ชั่นสมมาตรประถมศึกษาของราก

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

โดยทั่วไปของการศึกษาระดับปริญญา n ใด ๆp ( x ) = a_nx ^ n + a_ N - 1 } { x ^ { N - 1 } + + + a_0 cdots a_1 x ,( ที่มีค่าเป็นจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนและ≠ 0 ) เป็นที่รู้จักกันโดยทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตมี N ( ไม่แตกต่าง ) ซับซ้อนราก x1 , x2 , . . . , คริสเตียน สถานที่เป็นสูตรที่เกี่ยวข้องของพหุนามค่าสัมประสิทธิ์ { และ } ผลรวมลงนามและผลิตภัณฑ์จากรากของ Xi } { ดังนี้egin } { กรณี x_1 จุด + + + x_2 x_ { } + N - 1 x_n = - dfrac { a_ { N - 1 } } { { n } } a_( x_1 x_2 + x_1 x_3 cdots x_1x_n + + + + + + x_2x_3 x_2x_4 cdots x_2x_n ) + cdots + x_ { N - 1 } x_n = dfrac a_ n-2 } } { { { { n } } a_{ } Quad vdots x_1 x_2 จุด x_n = ( - 1 ) ^ n dfrac a_0 a_n { } { } { } กรณีสิ้นสุดกล่าวก้อง , ( − 1 , − TH K ) ที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของทั้งหมดได้ลงนาม subproducts ราก ถ่าย k-at-a-time :sum_ { 1le i_1 < < < i_kle i_2 cdots x_ i_1 } { n } } { { i_2 x_ cdots x_ i_k } = ( - 1 ) ^ kfrac a_ { } { } { } n-k a_nค่า K = 1 , 2 , . . . , N ( ที่เราเขียนดัชนีอิคในการสั่งซื้อที่เพิ่มขึ้นเพื่อให้แน่ใจว่า แต่ละ subproduct รากถูกใช้เพียงครั้งเดียว )มือซ้ายด้านสถานที่ของสูตรคือสมมาตรฟังก์ชันเบื้องต้นของราก