Proof. If P = p : q : r, the circle

Proof. If P = p : q : r, the circle ΦA passing through A,B,C is given by a2yz + b2zx+ c2xy−p(x+ y + z) c2 p+ qy + b2 p + rz=0 , and its inverse in the circumcircle is the circle ΦA given by (a2(p2 −qr)+( b2 −c2)p(q−r))(a2yz + b2zx+ c2xy) − pa2(x+ y + z)(c2(p + r)y + b2(p + q)z)=0 . Since ΦA contains P, its inverse ΦA contains P. Changing (p,q,r) to (x,y,z) gives the locus of P satisfying P ∈ ΦA. Then changing (x,y,z) toa2 x , b2 y , c2 z gives the locus ΦA of the point P∗ such that P ∈ ΦA. By examination,  ΦA = ΓA.  Proposition 5. The pedal and cevian triangles of P are indirectly similar if and only if P is the isogonal conjugate of the Parry reflection point.
Proof. By Lemma 1, the pedal and cevian triangles of P are indirectly similar if and only if P lies on the three circles ABC, BCA, CAB. By Lemma 4, P∗ lies on each of the circles ΓA, ΓB, ΓC. Hence, P∗ = T, and P = T∗.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐาน ถ้า P = p: q: r, ΦA วงที่ผ่าน A, B, C จะได้รับ โดย a2yz + b2zx + c2xy−p (x + y + z) c2 p + qy + b2 p + rz = 0 และความผกผันในการ circumcircle ΦA วงกลมที่กำหนดโดย (a2(p2 −qr) + (b2 −c2)p(q−r)) (a2yz + b2zx + c2xy) − pa2 (x + y + z) (c2(p + r) y + b2 (p + q) z) = 0 ตั้งแต่ ΦA ประกอบด้วย P, ΦA ความผกผันประกอบด้วยเปลี่ยน P. (p, q, r) กับ (x, y, z) ให้ทีของภิรมย์ P ∈ ΦA P แล้วการเปลี่ยนแปลง (x, y, z) การ a2 x, b2 y, c2 z ให้ ΦA ทีของ P∗ จุดดังกล่าวนั้น ΦA ∈ P โดยการตรวจสอบ ΦA = ΓA เรื่องที่ 5 รูปสามเหลี่ยมเหยียบและ cevian ของ P จะคล้ายอ้อมถ้าหาก P เป็น conjugate isogonal ของ Parry reflection จุดหลักฐาน โดยที่ 1 หน่วยการ แป้นเหยียบและ cevian สามเหลี่ยมของ P จะคล้ายอ้อมถ้าหาก P อยู่สามวงกลม AB C, BC A, CA B โดยหน่วยการ 4, P∗ อยู่บนแต่ละวง ΓA, ΓB, ΓC ด้วยเหตุนี้ P∗ = T และ P = T∗

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พิสูจน์ ถ้า P = P: Q: R ที่ΦAวงกลมผ่าน A, B, C? จะได้รับโดย a2yz + + b2zx c2xy-P (X + Y + Z)? C2 + p QY + B2 + p RZ? = 0 และผกผันใน circumcircle เป็นΦAวงกลมที่กำหนดโดย (A2 (P2 -qr) + (-C2 B2) P (Q-R)) (a2yz + b2zx + c2xy) - PA2 (x + Y + Z) (C2 (P + R) Y + B2 (P + Q) z) = 0 ตั้งแต่ΦAมี P, ΦAตรงกันข้ามมีการเปลี่ยนพี (p, q, r) ถึง (X, Y, Z) ให้สถานทีของความพึงพอใจของ P P ∈ΦA แล้วเปลี่ยน (x, y, z) เพื่อ? A2 x, B2 Y, Z C2? ให้สถานที? ΦAของจุด P * เช่นที่ P ∈ΦA โดยการตรวจสอบ? ΦA = ΓA ? 5. ข้อเสนอเหยียบและ cevian สามเหลี่ยมของ P มีทางอ้อมที่คล้ายกันและถ้าหาก P คือผัน isogonal ของ Parry Re ชั้นสะท้อนจุด.
พิสูจน์ โดยบทแทรก 1, เหยียบและสามเหลี่ยม cevian ของ P มีทางอ้อมที่คล้ายกันและถ้าหาก P อยู่บนสามวงกลม AB? C ?, BC หรือไม่ ?, CA? B ?. โดยแทรก 4, p * อยู่บนแต่ละแวดวงΓA, ΓB, ΓC ดังนั้น P * = T และ P = T *

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พิสูจน์ ถ้า P = P : Q : R , วงกลมผ่านΦ A , B , C จะได้รับโดย a2yz + b2zx + c2xy − P ( X + Y + Z ) P + C2 qy + b2 P + RZ = 0 และผกผันใน circumcircle เป็นวงกลมให้Φ ( A2 ( P2 − QR ) + B2 ( − ( − C2 ) P Q R ) ) ( a2yz + b2zx + c2xy ) − pa2 ( X + Y + Z ) ( C2 ( P + R ) y + B2 ( P + Q ) z ) = 0 ตั้งแต่Φเป็นประกอบด้วย P , Φผกผันของประกอบด้วยหน้าเปลี่ยน ( p , q , r ) ( X , Y , Z ) ให้สถานที่ P P ∈น่าพอใจΦ . เปลี่ยนแล้ว ( x , y , z ) toa2 x , B2 Y , C2 Z ให้โลคัสของจุด P Φ∗เช่น P ∈Φก. โดยการตรวจสอบΦ = Γ A ข้อเสนอ 5 การเหยียบและ cevian สามเหลี่ยมของ P เป็นทางอ้อมเหมือนกัน ถ้าและเพียงถ้า P เป็น isogonal คือตอบคำถามอีกครั้งfl ection จุดพิสูจน์ โดยการจับมือ 1 , เหยียบและ cevian สามเหลี่ยมของ P เป็นทางอ้อมเหมือนกัน ถ้าและเพียงถ้า P ตั้งอยู่บนสามวงกลม ABC BCA , Cab . โดยแทรก 4 P ∗อยู่ในแต่ละวงการ Γ , Γ B , Γ C . ดังนั้น , p ∗ = T และ P = T ∗ .