It is possible to define K(N) when N

It is possible to define K(N) when N ≡ 1 (mod 4).
In this case, the factors d, d1, and d2 in (4) will be pairwise relatively prime if and only
if d is even.

If this is so, we may proceed exactly as above, so that (7) is still true. Otherwise d is odd. Since 2νkN −1 for some ν ≥ 2, we have either 2kd1, 2ν−1kd2, or,2 ν−1kd1, 2kd2. Note that these two cases are identical when 22kN −1. In either case, the equations (5) still hold, and since (d,d1) = (d,d2) = 1, we see that m may be determined uniquely modulo [d1,d2].

Here, dkN −1, and d1 and d2 are each some power of 2 multiplied by an odd unitary divisor of
N −1.

Thus (7) still holds in the case when N ≡ 1 (mod 4).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ไปโดย define K(N) เมื่อ N ≡ 1 (mod 4) ในกรณีนี้ ปัจจัย d ง 1 และ d2 ใน (4) จะเป็น pairwise ค่อนข้างเฉพาะถ้า และเดียว ถ้า d เป็นเลขคู่ ถ้าเป็นดังนั้น เราสามารถดำเนินการตรงตามข้างต้น ให้ (7) จะยังคงเป็นจริง หรือ d เป็นคี่ ตั้งแต่ −1 2νkN สำหรับบาง≥ν 2 เรามี 2kd1, 2ν−1kd2 หรือ 2 ν−1kd1, 2kd2 หมายเหตุกรณีสองเหมือนกันเมื่อ 22kN −1 ใน กรณีอย่างใดอย่างหนึ่ง ค้างนิ่งสมการ (5) และ ตั้งแต่ (d ง 1) = (d, d2) = 1 เราดู m ที่อาจถูกกำหนดโดยเฉพาะ modulo [ง 1, d2] ที่นี่ dkN −1 และง 1 และ d2 มีพลังงานบางละ 2 คูณเป็นหาร unitary คี่ของ N −1 เก็บจึง ยังคง (7) ในกรณีเมื่อ N ≡ 1 (mod 4)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

มันเป็นไปได้ที่จะมีสายตะวันออกเฉียงเหนือ K (N) เมื่อไม่มี≡ 1 (4 สมัย).
ในกรณีนี้ปัจจัย d, d1 และ d2 ใน (4) จะได้รับการ pairwise ความสำคัญถ้าและเพียง
ถ้า d คือแม้. ในกรณีนี้คือ ดังนั้นเราอาจดำเนินการตรงตามที่กล่าวข้างต้นเพื่อที่ว่า (7) ยังคงเป็นความจริง มิฉะนั้น d เป็นเลขคี่ ตั้งแต่2νkN -1 สำหรับบางν≥ 2 เรามีทั้ง 2kd1, 2ν-1kd2 หรือ 2 ν-1kd1, 2kd2 โปรดทราบว่าทั้งสองกรณีเหมือนกันเมื่อ 22kN -1 ในทั้งสองกรณีสมการ (5) ยังคงถือและตั้งแต่ (ง, d1) = (d, d2) = 1 เราจะเห็นว่าม. อาจจะได้รับการพิจารณาไม่ซ้ำแบบโมดูโล [d1, d2]. นี่ DKN -1 และ d1 และ d2 แต่ละอำนาจของบางส่วน 2 คูณหารรวมคี่ของเอ็น -1. ดังนั้น (7) ยังคงถือหุ้นในกรณีที่ยังไม่มี≡ 1 (4 สมัย)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

มันเป็นไปได้ที่จะ เดอ จึงไม่ K ( n ) เมื่อ n ≡ 1 ( mod 4 )
ในกรณีนี้ ตัวแปร D D1 และ D2 ( 4 ) จะเป็นคู่ที่ค่อนข้างเฉพาะ ถ้าและเพียงถ้า D
คือแม้

ถ้าเป็นเช่นนั้นเราอาจดำเนินการตามที่ข้างต้น ดังนั้น ( 7 ) ได้ มิฉะนั้น D เป็นคี่ ตั้งแต่ 2 ν KN − 1 สำหรับν≥ 2 เราได้เหมือนกัน 2kd1 2 ν− 1kd2 หรือ 2 ν− 1kd1 2kd2 , . ทราบว่า 2 เคสนี้เหมือนกัน เมื่อ 22kn − 1ในทั้งสองกรณี , สมการ ( 5 ) ยังค้าง และตั้งแต่ ( D , D1 ) = ( d , D2 ) = 1 เราจะเห็นว่า M อาจจะพิจารณาเฉพาะมอดุโล [ D1 , D2 ]

ที่นี่ dkn − 1 และ D1 และ D2 แต่ละพลังของ 2 คูณเลขคี่ unitary ตัวหารของ
n − 1

ดังนั้น ( 7 ) ยังถือกรณี n ≡ 1 ( mod 4 ) .