It is easy to verify that the sum o

It is easy to verify that the sum of two Franklin squares is a Franklin square and that nonnegative integer multiples of Franklin squares are Franklin squares. Therefore,
the set of Franklin squares is the set of all integral points inside a pointed polyhedral
*»
cone C = {y ; Ay = 0, y > 0} in R" where A is the coefficient matrix of the defin¬ing linear system of equations. In the example of 8 x 8 Franklin squares, there are seven linear relations equating the first row sum to all other row sums and eight more equating the first row sum to column sums. Similarly, equating the eight half-row sums and the eight half-column sums to the first row sum generates sixteen linear equations. Equating the four sets of parallel bent diagonal sums to the first row sum produces another thirty-two equations. We obtain a further sixty-four equations by setting all the 2x2 subsquare sums equal to the first row sum. Thus, there are a total of 127 linear equations that define the cone of 8 x 8 Franklin squares. The coefficient matrix A has rank 54 and therefore the cone C of 8 x 8 Franklin squares has dimension 10 (see [14]).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

มันเป็นเรื่องง่ายเพื่อตรวจสอบว่า ผลรวมของสองแฟรงคลินช่อง ตารางแฟรงคลินและจำนวนเต็มที่ nonnegative คูณของแฟรงคลินมีช่องสี่เหลี่ยมของแฟรงคลิน ดังนั้นชุดของแฟรงคลินเป็นหนึ่งจุดในการชี้ polyhedral*»กรวย C = {y Ay = 0, y > 0 } ใน R " A เป็น เมตริกซ์สัมประสิทธิ์ของ defin¬ing เชิงเส้นของระบบสมการ ในตัวอย่างของแฟรงคลิน 8 x 8 มีความสัมพันธ์เชิงเส้นเจ็ดข้อสันนิษฐานแรกแถวผลรวมผลรวมแถวทั้งหมดและแปดเพิ่มเติมข้อสันนิษฐานผลรวมแถวแรกในการผลรวมคอลัมน์ ในทำนองเดียวกัน ข้อสันนิษฐานผลครึ่งแถวแปดและแปดครึ่งคอลัมน์ผลรวมผลรวมแถวแรกสร้างสมการเชิงเส้นสิบหก ข้อสันนิษฐานขนานโค้งทแยงมุมบวกผลรวมแถวแรก 4 ชุดให้อีกสามสิบสองสมการ เราได้สมการหกสิบสี่เพิ่มเติม โดยการตั้งค่าทั้งหมด 2 x 2 subsquare ผลรวมเท่ากับผลรวมของแถวแรก ดังนั้น มีทั้งหมด 127 สมการเชิงเส้นที่กำหนดกรวยสี่เหลี่ยม 8 x 8 แฟรงคลิน เมตริกซ์สัมประสิทธิ์ A มีอันดับ 54 และกรวย C ของสี่เหลี่ยม 8 x 8 แฟรงคลินมีขนาด 10 (ดู [14])

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

มันเป็นเรื่องง่ายในการตรวจสอบว่าผลรวมของสองสี่เหลี่ยมแฟรงคลินเป็นตารางที่แฟรงคลินและหลายติดลบของสี่เหลี่ยมแฟรงคลินแฟรงคลินเป็นสี่เหลี่ยม ดังนั้น
ชุดของแฟรงคลินสแควร์เป็นที่ตั้งของจุดหนึ่งทั้งหมดภายใน polyhedral แหลม
* »
กรวย C = {y; Ay = 0, y> 0} ใน R " ที่เป็นเมทริกซ์ค่าสัมประสิทธิ์ของระบบเชิงเส้นdefin¬ingของสม. ในตัวอย่างจาก 8 x 8 แฟรงคลินสแควร์ที่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นเจ็ดเท่ากับผลรวมแถวแรกทั้งหมด เงินก้อนอื่น ๆ แถวและอีกแปดเท่าผลรวมแถวแรกที่จะเงินก้อนคอลัมน์. ในทำนองเดียวกันเท่าแปดเงินก้อนครึ่งแถวและผลรวมครึ่งคอลัมน์แปดถึงผลรวมแถวแรกสร้างสิบหกสมการเชิงเส้น. equating สี่ชุดขนานเงินก้อนเส้นทแยงมุมงอ กับผลรวมแถวแรกผลิตอีกสามสิบสองสม. เราได้รับอีกหกสิบสี่สมการโดยการตั้งค่าทั้งหมดเงินก้อน 2x2 subsquare เท่ากับผลรวมแถวแรก. ดังนั้นจึงมีทั้งหมด 127 สมการเชิงเส้นที่กำหนดกรวยของ 8 x 8 แฟรงคลินสแควร์. ค่าสัมประสิทธิ์เมทริกซ์ A มีการจัดอันดับ 54 และดังนั้นจึงกรวย C 8 x 8 แฟรงคลินสแควร์มีขนาด 10 (ดู [14])