In this section, we conduct simulat

In this section, we conduct simulations to evaluate the performance of T3 with the proposed ˜ γ in
(8). The first study is to compare the type I errors of the two methods and check how well they behave
under the nominal level α. The second study is to compare their corresponding powers. Without loss
of generality, we set μ1 = μ2 = 0 and σ1 = 1. We consider three different combinations of (n1, n2):
(6, 6), (20, 6) and (20, 20).
To assess the type I errors under various settings, we consider five different values of the unknown
variance, σ2 = 1/3, 1/2, 1, 2 and 3, to represent different levels of discrepancy, apart from σ1. Then
for each σ2 value, we simulate the data Y11, . . . , Y1n1 from Normal(μ1, σ2
1 ), and Y21, . . . , Y2n2 from
Normal(μ2, σ2
2 ). Finally, to test the following hypothesis, we consider three different significance
levels of α at 0.001, 0.01 or 0.05, respectively:
H0 : μ1 − μ2 = 0 versus H1 : μ1 − μ2 ̸= 0.
We repeat the above procedure 1000,000 times for each setting and report the average type I errors in
Table 1 for (n1, n2) = (6, 6), in Table 2 for (n1, n2) = (20, 6), and in Table 3 for (n1, n2) = (20, 20). As
anticipated in Section 3, the simulated type I errors of Maity and Sherman [2] exceed the nominal level
at α in most settings, especially when n2 is small and/or when σ2 is large. For the new method, the
simulated type I errors are always close to or below the given nominal level. In addition, we observe
that when the sample sizes are large, e.g., when (n1, n2) = (20, 20), the two methods give a similar
performance. Overall, it is evident that the proposed method with ˜ γ provides a more accurate control
than the testing method of Maity and Sherman.
For the power comparisons, we fix μ1 = 0 without loss of generality. We choose μ2 to be nonzero,
ranging from 0 to 3, to represent different levels of effect size. All other settings are the same
as before. Recall that the method of Maity and Sherman is anti-conservative for large σ2 values. To
make the comparison meaningful, we report the power functions only for σ2 = 1/3 in Fig. 1 and for
534 L. Peng, T. Tong / Statistical Methodology 8 (2011) 528–534
Table 2
Average type I errors of Maity and Sherman’s method (M&S) and the new method for n1 = 20 and n2 = 6.
α σ2 = 1/3 σ2 = 1/2 σ2 = 1 σ2 = 2 σ2 = 3
0.001 M&S 0.0011 0.0015 0.0030 0.0031 0.0024
New 0.0007 0.0009 0.0016 0.0019 0.0016
0.01 M&S 0.0101 0.0113 0.0148 0.0143 0.0128
New 0.0081 0.0082 0.0104 0.0111 0.0109
0.05 M&S 0.0501 0.0515 0.0552 0.0547 0.0525
New 0.0450 0.0443 0.0475 0.0500 0.0498
Table 3
Average type I errors of Maity and Sherman’s method (M&S) and the new method for n1 = n2 = 20.
α σ2 = 1/3 σ2 = 1/2 σ2 = 1 σ2 = 2 σ2 = 3
0.001 M&S 0.0010 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011
New 0.0010 0.0010 0.0010 0.0011 0.0011
0.01 M&S 0.0099 0.0100 0.0100 0.0104 0.0102
New 0.0099 0.0099 0.0098 0.0101 0.0100
0.05 M&S 0.0502 0.0500 0.0500 0.0506 0.0502
New 0.0502 0.0499 0.0495 0.0501 0.0499
σ2 = 1/2 in Fig. 2. In both scenarios, the method of Maity and Sherman provides a slightly larger
power than the new method. This is the price that we pay for having a more accurate control of the
type I error.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในส่วนนี้ เราทำแบบจำลองเพื่อประเมินประสิทธิภาพของ T3 กับγเสนอว่าใน(8) . การศึกษาครั้งแรกคือการ เปรียบเทียบชนิดฉันข้อผิดพลาดของสองวิธีและวิธีที่ดีที่พวกเขาทำงานตรวจสอบภายใต้ระดับαน้อย การศึกษาที่สองคือการ เปรียบเทียบอำนาจของพวกเขาที่สอดคล้องกัน โดยไม่สูญเสียของทั่วไป เราตั้ง μ1 = μ2 = 0 และ σ1 = 1 เราพิจารณารวมกันสาม (n1, n2):(6, 6), (20, 6) และ (20, 20)การประเมินชนิดฉันข้อผิดพลาดในการตั้งค่าต่าง ๆ เราพิจารณา 5 แตกต่างกันค่าของไม่รู้จักผลต่าง σ2 = 1/3, 1/2, 1, 2 และ 3 เพื่อแสดงระดับของความขัดแย้ง จาก σ1 จากนั้นสำหรับแต่ละค่า σ2 เราจำลองข้อมูล Y11,..., Y1n1 จากปกติ (μ1, σ21), และ y21-วี โว,..., Y2n2 จากปกติ (μ2, σ22) ในที่สุด การทดสอบสมมติฐานต่อไปนี้ เราพิจารณาความสำคัญแตกต่างกันสามระดับαที่ 0.001, 0.01 หรือ 0.05 ตามลำดับ:H0: μ2 − μ1 = 0 และ H1: μ1 − μ2 ̸ = 0เราทำซ้ำขั้นตอนข้างต้น 1000,000 ครั้งสำหรับแต่ละการตั้งค่ารายงานค่าเฉลี่ยพิมพ์ข้อผิดพลาดในตารางที่ 1 (n1, n2) = (6, 6), ตารางที่ 2 (n1, n2) = (20, 6), และ ในตารางที่ 3 (n1, n2) = (20, 20) เป็นคาดใน 3 ส่วน การจำลองประเภทข้อผิดพลาดของ Maity และเชอร์แมน [2] เกินระดับที่กำหนดαในการตั้งค่าส่วนใหญ่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ n2 เป็นขนาดเล็กหรือเมื่อ σ2 มีขนาดใหญ่สุด สำหรับวิธีการใหม่ การจำลองชนิดฉันข้อผิดพลาดมักใกล้เคียง หรือต่ำ กว่าระดับที่กำหนดให้ นอกจากนี้ เราสังเกตที่เมื่อขนาดตัวอย่างมีขนาดใหญ่ เช่น เมื่อ (n1, n2) = (20, 20), สองวิธีให้เป็นเหมือนกับการทำงาน โดยรวม ก็เห็นได้ชัดว่า วิธีการนำเสนอ ด้วยว่าγให้ตัวควบคุมที่ถูกต้องมากขึ้นกว่าวิธีการทดสอบของ Maity และ Shermanสำหรับการเปรียบเทียบพลังงาน เราแก้ไข μ1 = 0 โดยไม่สูญเสียข้อความต่อไปนี้ เราเลือก μ2 จะค่าตั้งแต่ 0 ถึง 3 ถึงขนาดมีผลในระดับต่าง ๆ การตั้งค่าอื่น ๆ จะเหมือนกันเป็นมาก่อน เรียกว่า วิธี Maity และ Sherman จะอนุรักษ์ป้องกันสำหรับค่าขนาดใหญ่ σ2 ถึงทำการเปรียบเทียบความหมาย เรารายงานฟังก์ชันพลังงานสำหรับ σ2 = 1 ใน 3 ในรูปที่ 1 และเป็ง L. 534 ต.ตอง / สถิติวิธี 8 (2011) 528 – 534ตารางที่ 2ค่าเฉลี่ยพิมพ์ข้อผิดพลาดของวิธี Maity และของ Sherman (M & S) และวิธีการใหม่สำหรับ n1 = 20 และ n2 = 6Α Σ2 = Σ2 1/3 = 1/2 Σ2 = 1 Σ2 = 2 Σ2 = 30.001 M & S 0.0011 0.0015 0.0030 0.0031 0.0024ใหม่ 0.0007 0.0009 0.0016 0.0019 0.00160.01 M & S 0.0101 0.0113 0.0148 0.0143 0.0128ใหม่ 0.0081 0.0082 0.0104 0.0111 0.01090.05 M & S 0.0501 0.0515 0.0552 0.0547 0.0525ใหม่ 0.0450 0.0443 0.0475 0.0500 0.0498ตารางที่ 3ค่าเฉลี่ยพิมพ์ข้อผิดพลาดของวิธี Maity และของ Sherman (M & S) และวิธีการใหม่สำหรับ n1 = n2 = 20Α Σ2 = Σ2 1/3 = 1/2 Σ2 = 1 Σ2 = 2 Σ2 = 30.001 M & S 0.0010 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011ใหม่ 0.0010 0.0010 0.0010 0.0011 0.00110.01 M & S 0.0099 0.0100 0.0100 0.0104 0.0102New 0.0099 0.0099 0.0098 0.0101 0.01000.05 M&S 0.0502 0.0500 0.0500 0.0506 0.0502New 0.0502 0.0499 0.0495 0.0501 0.0499σ2 = 1/2 in Fig. 2. In both scenarios, the method of Maity and Sherman provides a slightly largerpower than the new method. This is the price that we pay for having a more accurate control of thetype I error.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในส่วนนี้เราดำเนินการจำลองเพื่อประเมินประสิทธิภาพการทำงานของ T3 กับγเสนอ ~ ใน
(8) การศึกษาครั้งแรกคือการเปรียบเทียบข้อผิดพลาดประเภทที่ของทั้งสองวิธีการและตรวจสอบวิธีที่ดีที่พวกเขาประพฤติ
ภายใต้αระดับที่กำหนด การศึกษาที่สองคือการเปรียบเทียบอำนาจที่สอดคล้องกันของพวกเขา โดยไม่สูญเสีย
ของทั่วไปเราตั้งμ1 = μ2 = 0 และσ1 = 1 เราพิจารณาสามชุดที่แตกต่างกันของ (N1, N2):
. (6, 6), (20, 6) และ (20, 20)
การประเมิน พิมพ์ฉันข้อผิดพลาดในการตั้งค่าต่างๆที่เราพิจารณาห้าค่าที่แตกต่างของที่ไม่รู้จัก
แปรปรวนσ2 = 1/3, 1/2, 1, 2 และ 3 เพื่อเป็นตัวแทนระดับที่แตกต่างของความแตกต่างนอกเหนือจากσ1 แล้ว
สำหรับค่าσ2แต่ละเราจำลอง Y11 ข้อมูล . . , Y1n1 จากปกติ (μ1, σ2
1) และ Y21, . . , Y2n2 จาก
ปกติ (μ2, σ2
2) สุดท้ายในการทดสอบสมมติฐานดังต่อไปนี้เราจะพิจารณาอย่างมีนัยสำคัญที่แตกต่างกันสาม
ระดับของαที่ 0.001 0.01 หรือ 0.05 ตามลำดับ:
H0: μ1 - μ2 = 0 เมื่อเทียบกับ H1: μ1 - μ2̸ = 0
เราทำซ้ำขั้นตอนข้างต้น 1000.000 ครั้งในแต่ละการตั้งค่าและรายงานประเภทเฉลี่ยฉันข้อผิดพลาดใน
ตารางที่ 1 สำหรับ (N1, N2) = (6, 6) ในตารางที่ 2 (N1, N2) = (20, 6) และในตารางที่ 3 (N1 , N2) = (20, 20) เป็น
ที่คาดการณ์ไว้ในข้อ 3 ประเภทจำลองฉันข้อผิดพลาดของ Maity และเชอร์แมน [2] เกินกว่าระดับที่กำหนด
ที่αในการตั้งค่ามากที่สุดโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ N2 มีขนาดเล็กและ / หรือเมื่อσ2มีขนาดใหญ่ สำหรับวิธีการใหม่ที่
ข้อผิดพลาดประเภทที่จำลองมักจะใกล้เคียงหรือต่ำกว่าระดับที่กำหนดเล็กน้อย นอกจากนี้เราสังเกต
ว่าเมื่อขนาดตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่เช่นเมื่อ (N1, N2) = (20, 20), สองวิธีให้คล้าย
ประสิทธิภาพ โดยรวมก็จะเห็นว่าวิธีที่นำเสนอด้วย ~ γให้การควบคุมที่แม่นยำมากขึ้น
กว่าวิธีการทดสอบ Maity และเชอร์แมน.
สำหรับการเปรียบเทียบอำนาจเราจะแก้ไขปัญหาμ1 = 0 โดยไม่สูญเสียของทั่วไป เราเลือกที่จะเป็นμ2ภัณฑ์
ตั้งแต่ 0-3 เพื่อเป็นตัวแทนระดับที่แตกต่างของขนาดของผล การตั้งค่าอื่น ๆ ทั้งหมดจะเหมือนกัน
เป็นมาก่อน จำได้ว่าวิธีการของ Maity เชอร์แมนและเป็นอนุรักษ์นิยมต่อต้านค่าσ2ขนาดใหญ่ ที่จะ
ทำให้การเปรียบเทียบความหมายที่เรารายงานอำนาจหน้าที่เท่านั้นสำหรับσ2 = 1/3 ในรูป 1 และ
534 ลิตรเป็งตตอง / วิธีการทางสถิติ 8 (2011) 528-534
ตารางที่ 2
ประเภทเฉลี่ยฉันข้อผิดพลาดของ Maity และวิธีการของเชอร์แมน (M & S) และวิธีการใหม่สำหรับ N1 = 20 และ N2 = 6.
ασ2 = 1/3 σ2 = 1/2 σ2 = 1 σ2 = 2 σ2 = 3
0.001 M & S 0.0011 0.0015 0.0030 0.0031 0.0024
ใหม่ 0.0007 0.0009 0.0016 0.0019 0.0016
0.01 M & S 0.0101 0.0113 0.0148 0.0143 0.0128
ใหม่ 0.0081 0.0082 0.0104 0.0111 0.0109
0.05 M & S 0.0501 0.0515 0.0552 0.0547 0.0525
ใหม่ 0.0450 0.0443 0.0475 0.0500 0.0498
ตารางที่ 3
ประเภทเฉลี่ยฉันข้อผิดพลาดของ Maity และวิธีการของเชอร์แมน (M & S) และวิธีการใหม่สำหรับ N1 N2 = = 20.
ασ2 = 1/3 = 1/2 σ2σ2 = 1 = 2 σ2σ2 = 3
0.001 M & S 0.0010 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011
ใหม่ 0.0010 0.0010 0.0010 0.0011 0.0011
0.01 M & S 0.0099 0.0100 0.0100 0.0104 0.0102
ใหม่ 0.0099 0.0099 0.0098 0.0101 0.0100
0.05 M & S 0.0502 0.0500 0.0500 0.0506 0.0502
ใหม่ 0.0502 0.0499 0.0495 0.0501 0.0499
σ2 = 1/2 ในรูป 2. ในสถานการณ์ทั้งสองวิธีการ Maity และเชอร์แมนมีขนาดใหญ่กว่าเล็กน้อย
อำนาจกว่าวิธีการใหม่ นี้เป็นราคาที่เราต้องจ่ายสำหรับการมีการควบคุมที่แม่นยำมากขึ้นของ
ความผิดพลาดประเภท

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในส่วนนี้เราจะทำการจำลองเพื่อประเมินประสิทธิภาพของ T3 กับ˜γในเสนอ( 8 ) การศึกษาแรกเพื่อเปรียบเทียบประเภทข้อผิดพลาดของทั้งสองวิธีการและตรวจสอบวิธีการที่ดีที่พวกเขาประพฤติภายใต้αระดับปกติ การทดลองเพื่อเปรียบเทียบอำนาจที่สอดคล้องกันของพวกเขา โดยไม่มีการสูญเสียของทั่วไป เราตั้งμ 1 = μ 2 = 0 และσ 1 = 1 เราพิจารณาสามที่แตกต่างกัน ( N1 , N2 )( 5 , 6 ) , ( 20 , 6 ) , ( 20 , 20 )เพื่อศึกษาประเภทข้อผิดพลาดภายใต้การตั้งค่าต่าง ๆ เราพิจารณาห้าค่าที่แตกต่างกันของที่ไม่รู้จักความแปรปรวน σ 2 = 1 / 3 , 1 / 2 , 1 , 2 และ 3 เพื่อแสดงระดับของความขัดแย้ง นอกจากσ 1 จากนั้นสำหรับσแต่ละ 2 ค่า เราใช้ข้อมูล y11 , . . . . . . . . y1n1 , จากปกติ ( μ 1 , σ 21 ) และ y21 , . . . . . . . . y2n2 , จากปกติ ( μ 2 , σ 22 ) สุดท้าย ทดสอบสมมติฐาน ต่อไปนี้เราจะพิจารณาสามที่แตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญทางสถิติที่ระดับ . 05ระดับของαที่ 0.001 , 0.01 และ 0.05 ตามลำดับ :H0 : μμ 1 − 2 = 0 และ H1 : μμ̸ 1 − 2 = 0เราทำซ้ำขั้นตอนข้างต้น 1000000 ครั้ง สำหรับแต่ละการตั้งค่า และรายงานข้อผิดพลาดในการเฉลี่ยชนิดตารางที่ 1 ( N1 , N2 ) = ( 5 , 6 ) , ตารางที่ 2 ( N1 , N2 ) = ( 20 , 6 ) , และตารางที่ 3 ( N1 , N2 ) = ( 20 , 20 ) เป็นไว้ในมาตรา 3 โดยประเภทข้อผิดพลาดของไมตี้ และ เชอร์แมน [ 2 ] เกินระดับปกติที่αในการตั้งค่ามากที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่องเล็ก และ / หรือ เมื่อσ 2 ขนาดใหญ่ สำหรับวิธีการใหม่ ๆจำลองประเภทข้อผิดพลาดมักจะใกล้หรือใต้ให้ระบุระดับ นอกจากนี้ เราสังเกตเมื่อขนาดตัวอย่างมีขนาดใหญ่ เช่น เมื่อ ( N1 , N2 ) = ( 20 , 20 ) , สองวิธีที่คล้ายกันผลการปฏิบัติงาน โดยรวมจะเห็นได้ว่าวิธีการที่นำเสนอกับ˜γให้ควบคุมได้อย่างถูกต้องกว่าวิธีการทดสอบของไมตี้ และ เชอร์แมนสำหรับอำนาจการเปรียบเทียบ เราแก้ไขμ 1 = 0 โดยไม่สูญเสียโดยทั่วไป . เราเลือกμเป็น 0 2 ,ตั้งแต่ 0 ถึง 3 เป็นตัวแทนของระดับที่แตกต่างกันของขนาดผล การตั้งค่าอื่น ๆทั้งหมดจะเหมือนกันเช่นเดิม จำได้ว่าวิธีการและต่อต้านอนุลักษณ์สำหรับไมตี้เชอร์แมนσขนาดใหญ่ 2 ค่า เพื่อทำให้การเปรียบเทียบความหมาย เรารายงานพลังงานฟังก์ชันเฉพาะสำหรับσ 2 = 1 / 3 ในรูปที่ 1 และ534 . เพ็ง ต. โต้ง / วิธีการทางสถิติ 8 ( 2011 ) แต่ก็จำกัดตารางที่ 2เฉลี่ยประเภทข้อผิดพลาดของไมตี้และ เชอร์แมน วิธีการ ( M & S ) และวิธีใหม่สำหรับ N1 และ N2 = 20 = 6ασ 2 = 1 / 3 σ 2 = 1 / 2 σ 2 = 1 σ 2 = 2 σ 2 = 30.001 M & S 0.0011 การผลิต 0.0030 0.0031 0.00240.0019 0.0016 0.015 0.0016 ฯใหม่0.01 M & S 0.0101 0.0113 0.0148 0.0143 0.0128ใหม่ 0.0081 0.0082 0.0104 0.0111 0.01090.05 M & S 0.0501 0.0515 0.0552 0.0547 0.0525ใหม่ 0.0450 0.0443 0.0475 0.0500 0.0498ตารางที่ 3เฉลี่ยประเภทข้อผิดพลาดของไมตี้และ เชอร์แมน วิธีการ ( M & S ) และวิธีการใหม่ 1 = 2 = 20ασ 2 = 1 / 3 σ 2 = 1 / 2 σ 2 = 1 σ 2 = 2 σ 2 = 30.001 M & S องค์ประกอบ 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011องค์ประกอบองค์ประกอบ 0.0011 0.0011 องค์ประกอบใหม่0.01 M & S 0.0099 0.0100 0.0100 0.0104 0.0102ใหม่ 0.0099 0.0099 0.0098 0.0101 0.01000.05 M & S 0.0502 0.0500 0.0500 0.0506 0.0502ใหม่ 0.0502 0.0499 0.0495 0.0501 0.0499σ 2 = 1 / 2 ในรูปที่ 2 ในทั้งสองสถานการณ์ วิธีการของไมตี้มีขนาดใหญ่กว่าเล็กน้อยและ เชอร์แมนพลังกว่าแบบใหม่ นี่คือราคาที่เราจ่ายให้มีการควบคุมที่แม่นยำมากขึ้นของความผิดพลาดประเภทที่ 1