Natural extensions of the study her

Natural extensions of the study here are space curves
which are rational in spherical or cylindrical coordinates, curves which are algebraic, although non-necessarily rational, in
polar coordinates (i.e. fulfilling h(r, θ) = 0, with h algebraic), and similar phenomena for the case of surfaces. It would
be also interesting to analyze the curves defined by (implicit) expressions of the type f (r, sin(θ), cos(θ)) = 0, where f is
algebraic, since this class contains, and in fact extends, the class of algebraic curves; also, it includes the important subclass
of curves defined by equations rn = g(θ), with g(θ) a rational function, which often appear in Geometry and Physics. Some
of these questions will be explored in the future.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ส่วนขยายของธรรมชาติของการศึกษามีพื้นที่โค้งซึ่งมีเหตุผลในพิกัดทรงกลม หรือทรงกระบอก เส้นโค้งซึ่งเป็นพีชคณิต แม้ว่าไม่จำเป็นต้องเชือด ในพิกัดเชิงขั้ว (เช่นทำ h (r ค่าθ) = 0, h ทางพีชคณิต), และปรากฏการณ์คล้ายกรณีของพื้นผิว มันจะมายังการวิเคราะห์เส้นโค้งที่กำหนด โดยนิพจน์ (นัย) ของ f ชนิด (r, sin(θ), cos(θ)) = 0, f อยู่พีชคณิต ตั้งแต่ชั้นนี้ประกอบด้วย และ ขยายในความเป็นจริง ระดับของเส้นโค้งทางพีชคณิต มันมีย่อยสำคัญของเส้นโค้งที่กำหนด โดยสมการ rn = g(θ) กับ g(θ) ฟังก์ชันตรรกยะ ที่มักปรากฏในรูปทรงเรขาคณิตและฟิสิกส์ บางคำถามเหล่านี้จะได้รับการสำรวจในอนาคต

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ส่วนขยายธรรมชาติของการศึกษาที่นี่มีเส้นโค้งพื้นที่
ที่มีเหตุผลในพิกัดทรงกลมหรือทรงกระบอกโค้งซึ่งเป็นพีชคณิตแม้จะไม่ใช่จำเป็นต้องมีเหตุผลใน
พิกัดเชิงขั้ว (เช่นการตอบสนอง h (R, θ) = 0 กับ H พีชคณิต) และ ปรากฏการณ์ที่คล้ายกันสำหรับกรณีของพื้นผิว มันจะ
เป็นที่น่าสนใจในการวิเคราะห์เส้นโค้งที่กำหนดโดย (นัย) การแสดงออกประเภท f (R บาป (θ) cos (θ)) = 0 ที่ F คือ
พีชคณิตตั้งแต่ระดับนี้มีและในความเป็นจริงขยาย ระดับของ curves เกี่ยวกับพีชคณิต; นอกจากนี้ยังรวมถึงคลาสย่อยที่สำคัญ
ของเส้นโค้งที่กำหนดโดยสม rn = G (θ) กับ G (θ) ฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลซึ่งมักจะปรากฏในเรขาคณิตและฟิสิกส์ บางส่วน
ของคำถามเหล่านี้จะได้รับการสำรวจในอนาคต

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ส่วนขยายของธรรมชาติของการศึกษาที่นี่เป็นเส้นโค้งอวกาศซึ่งมีเหตุผลในพิกัดทรงกลมหรือทรงกระบอก ซึ่งเป็นเส้นโค้งพีชคณิต , แม้ว่า ไม่จําเป็นต้องมีเหตุผลในพิกัด ( เช่นการตอบสนอง h ( r , θ ) = 0 มี H พีชคณิต ) , และปรากฏการณ์ที่คล้ายกัน สำหรับกรณีของพื้นผิว มันจะจะยังน่าสนใจที่จะวิเคราะห์เส้นโค้งที่กำหนดโดย ( โดยนัย ) การแสดงออกของประเภท F ( R , บาป ( θ ) cos ( θ ) = 0 , f คือพีชคณิต เนื่องจากชั้นนี้ประกอบด้วยและในความเป็นจริงขยาย ชั้นเรียนของเส้นโค้งทางพีชคณิต นอกจากนี้ก็มีคลาสสำคัญของเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ Rn = g ( θ ) , G ( θ ) ฟังก์ชันเศษส่วน ซึ่งมักปรากฏในเรขาคณิตและฟิสิกส์ บางคำถามเหล่านี้จะได้รับการสำรวจในอนาคต