1. IntroductionCollinearities of tr

1. Introduction
Collinearities of triangle centers which are defined in apparently different ways has been of interest to geometers since it was first noticed that the orthocenter, centroid, and circumcenter are collinear, lying on Euler’s line. Kimberling [3] lists a great many collinearites, including many more points on Euler’s line. The object of this note is to present a three-dimensional graphical summary of 25 threecenter collinearities involving 17 centers, in which the centers are represented as vertices and edge midpoints of nested polyhedra: a tetrahedron circumscribing an octahedron which then circumscribes a cubo-octahedron. Such a symmetric collection of collinearities may be a useful mnemonic. Probably the reason why this has not been recognized before is that two of the vertices of the tetrahedron represent previously undescribed centers. First we describe two new centers, which Kimberling lists as X1276 and X1277 in his Encyclopedia of Triangle Centers [3]. Then we describe the tetrahedron and work inward to the cubo-octahedron

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1. บทนำCollinearities ของศูนย์สามเหลี่ยมซึ่งกำหนดวิธีที่ต่างกันเห็นได้ชัดว่าได้รับสนใจ geometers ตั้งแต่มันแรกสังเกตเห็นว่า orthocenter เซนทรอยด์ และ circumcenter จะ collinear นอนอยู่บนบรรทัดของออยเลอร์ ท่อง [3] รายการดีมาก collinearites รวมทั้งหลายเพิ่มเติมจุดบนเส้นของออยเลอร์ วัตถุประสงค์ของบันทึกนี้คือแสดงข้อสรุปแบบกราฟิกสามมิติของ collinearities threecenter 25 17 ศูนย์ ศูนย์จะแสดงเป็นจุดยอด และขอบ midpoints ของ polyhedra ซ้อนเกี่ยวข้องกับ: เป็นทรงสี่หน้าแปดซึ่งแล้ว circumscribes cubo-แปด circumscribing เช่นชุดสมมาตรของ collinearities อาจจะมีความจำเป็นประโยชน์ คงเหตุผลทำไมนี้ไม่รับก่อนคือ ว่า สองจุดของทรงสี่หน้าเป็นตัวแทนศูนย์ undescribed ก่อนหน้านี้ ครั้งแรก เราอธิบายสองใหม่ศูนย์ ที่ท่องรายการเป็น X1276 และ X1277 ในเขาสารานุกรมของสามเหลี่ยมศูนย์ [3] แล้วเราอธิบายการทรงสี่หน้า และทำงานขาเข้าเพื่อ cubo ทรงแปดหน้า

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1. บทนำ
Collinearities ของศูนย์สามเหลี่ยมซึ่งเป็นนิยามที่แตกต่างกันในรูปแบบที่เห็นได้ชัดว่าได้รับความสนใจของ geometers เพราะมันเป็นแรกสังเกตเห็นว่า orthocenter, เซนและวงล้อมมี collinear นอนอยู่บนเส้นออยเลอร์ Kimberling [3] แสดงรายการ collinearites จำนวนมากรวมทั้งจุดอื่น ๆ อีกมากมายในบรรทัดออยเลอร์ เป้าหมายของหมายเหตุ: นี่คือที่จะนำเสนอสรุปกราฟิกสามมิติของ 25 threecenter collinearities ที่เกี่ยวข้องกับ 17 ศูนย์ซึ่งในศูนย์จะแสดงเป็นจุดและจุดกึ่งกลางขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมซ้อนกัน: จัตุรมุข circumscribing แปดด้านแล้ว circumscribes Cubo-แปดด้าน เช่นคอลเลกชันของสมมาตร collinearities อาจจะเป็นประโยชน์ช่วยในการจำ อาจเป็นเหตุผลที่นี้ยังไม่ได้รับการยอมรับว่าก่อนที่จะเป็นว่าทั้งสองจุดของจัตุรมุขแทนศูนย์ undescribed ก่อนหน้านี้ ครั้งแรกที่เราอธิบายสองศูนย์ใหม่ซึ่ง Kimberling แสดงรายการเป็น X1276 และ X1277 ในสารานุกรมของเขาของศูนย์สามเหลี่ยม [3] จากนั้นเราจะอธิบายจัตุรมุขและการทำงานเข้ากับ Cubo-แปดด้าน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 . แนะนำcollinearities ศูนย์สามเหลี่ยมซึ่งเดอเน็ดในรูปแบบที่แตกต่างกันจึงดูเหมือนจะสนใจ geometers ตั้งแต่มันจึงตัดสินใจเดินทางไปสังเกตว่า อ ์โทเซนเตอร์ไร้ผล และ circumcenter , มี collinear , โกหกในข้อความคาดการณ์ของบรรทัด kimberling [ 3 ] รายการที่ดีมาก collinearites รวมทั้งจุดมากขึ้นมากในข้อความคาดการณ์ของบรรทัด วัตถุประสงค์ของบันทึกนี้นำเสนอสรุปแบบกราฟิกสามมิติ 25 threecenter collinearities เกี่ยวข้องกับ 17 ศูนย์ ซึ่งศูนย์จะแสดงเป็นจุดยอดและขอบ midpoints Name : จัตุรมุขซ้อนกันอยู่ circumscribing เป็นทรงแปดหน้าซึ่ง circumscribes เป็นคิวโบรูปแปดด้าน เช่นคอลเลกชันสมมาตรของ collinearities อาจจะใช้ตัวย่อ น่าจะเป็นเหตุผลนี้ไม่ได้รับการยอมรับก่อนว่า สองจุดของจัตุรมุขเป็นตัวแทนศูนย์ undescribed ก่อนหน้านี้ ครั้งแรกที่เราอธิบายสองศูนย์ใหม่ ซึ่ง kimberling รายการและเป็น x1276 x1277 ในสารานุกรมของเขาศูนย์สามเหลี่ยม [ 3 ] เราก็อธิบายจัตุรมุขและเข้าสู่ประเทศพม่า คิวโบ