Computing Volumes of Solids of Revo

Computing Volumes of Solids of Revolution with
Double Integrals
Jorge Mart´ın-Morales ([e-mail]) and Antonio M. Oller-Marcen´
([e-mail]), Centro Universitario de la Defensa–IUMA, Zaragoza, Spain
The computation of the volume of solids of revolution in calculus courses is usually
presented by two methods, namely:
1. The disk method, which consists roughly of decomposing the solid into slices
that are perpendicular to the axis of revolution.
2. The shell method, which considers the solid as a series of concentric cylindrical
shells wrapping the axis.
From a geometrical point of view, these two methods look quite different, and it is
the shape of the solid that motivates the choice between one or another. Nevertheless,
from an analytical point of view, both methods produce the same result, as is shown
using integration by parts [1], inverse functions [3], and even Rolle’s theorem [2].
We wondered if there was an even deeper relation between the above methods, and
we looked at computing the volume of a solid of revolution as a double integral in a
very intuitive way. We show that the classical methods (disks and shells) are recovered
if this double integral is computed by each of the two possible applications of Fubini’s
theorem. Furthermore, we can also obtain Pappus’ volume theorem from the formula.
Let S be a bounded and closed region in the yz-plane, and let ` be any straight
line in the same plane such that ` is exterior to S. For every point P = (x, y) ∈ S, let
d`(x, y) be the distance from P to `. Let us denote by V(S, `) the volume of the solid
obtained by rotating the region S around the line `; see Figure 1.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คำนวณปริมาณของของแข็งของปฏิวัติด้วยปริพันธ์สองJorge Mart´ın-ราเลส ([e-mail]) และ Antonio M. Oller-Marcen´([e-mail]), เซนโทร Universitario de la Defensa – IUMA ซาราโกซา สเปนการคำนวณปริมาตรของการปฏิวัติของของแข็งในคอร์สแคลคูลัสเป็นปกตินำเสนอ โดยวิธีสอง ได้แก่:1.วิธีดิสก์ ซึ่งประกอบด้วยของพืชพันธุ์แข็งเป็นชิ้นหยาบ ๆที่จะตั้งฉากกับแกนของการปฏิวัติ2. เปลือกวิธี การพิจารณาของแข็งที่เป็นชุดของ concentric ทรงกระบอกเปลือกหอยที่ตัดแกนจาก geometrical จุดของมุมมอง วิธีการสองวิธีเหล่านี้ดูแตกต่าง และเป็นรูปร่างของของแข็งที่แรงบันดาลใจทางเลือกระหว่างหนึ่ง หรืออีก อย่างไรก็ตามจากการวิเคราะห์มุมมอง วิธีทั้งผลิตผลลัพธ์เดียวกัน เป็นการแสดงใช้รวมชิ้นส่วน [1], ฟังก์ชันผกผัน [3], และแม้กระทั่ง Rolle ของทฤษฎีบท [2]เราสงสัยว่า ถ้า มีความสัมพันธ์ลึกซึ้งได้ระหว่างวิธีการข้างต้น และเรามองที่คำนวณปริมาตรของการปฏิวัติของของแข็งเป็นทฤษฎีบูรณาการคู่ในตัววิธีที่ง่ายมาก แสดงว่า มีการกู้คืนวิธีคลาสสิก (ดิสก์และหอย)ถ้าทฤษฎีบูรณาการนี้คู่ที่คำนวณ โดยโปรแกรมประยุกต์ได้สองของ Fubini ของแต่ละทฤษฎีบท นอกจากนี้ เราสามารถยังได้รับทฤษฎีบทของปัปปุสปริมาณจากสูตรให้ S เป็นกี่ และปิดพื้นที่ในระนาบ yz และปล่อยให้ ' ถูกตรงได้บรรทัดในระนาบเดียวกันเช่นที่ ' เป็นภายนอกไปยัง s สำหรับทุก ๆ จุด P = (x, y) ∈ S ให้d'(x, y) มีระยะทางจาก P ' เราแสดงโดย V(S, ') ปริมาตรของของแข็งได้ ด้วยการหมุนภาค S รอบบรรทัด '; ดูรูปที่ 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การคำนวณปริมาณของของแข็งของการปฏิวัติที่มี
คู่ปริพันธ์
Jorge Mart'ın-โมราเลส ([e-mail]) และอันโตนิโอเอ็ม Oller-Marcen'
([e-mail]), ยูนิเวอร์ Centro de la-Defensa IUMA, ซาราโกซาประเทศสเปน
การคำนวณปริมาณของของแข็งของการปฏิวัติในหลักสูตรแคลคูลัสมักจะ
นำเสนอโดยสองวิธีคือ:
1 วิธีดิสก์ซึ่งประกอบด้วยประมาณของการย่อยสลายเป็นชิ้นของแข็ง
ที่ตั้งฉากกับแกนของการปฏิวัติ.
2 วิธีเปลือกที่จะพิจารณาเป็นของแข็งเป็นชุดของรูปทรงกระบอกศูนย์กลาง
เปลือกห่อแกน.
จากจุดเรขาคณิตในมุมมองของทั้งสองวิธีมีลักษณะแตกต่างกันมากและมันก็เป็น
รูปของของแข็งที่กระตุ้นทางเลือกระหว่างหนึ่งหรืออีก แต่
จากจุดการวิเคราะห์ในมุมมองของทั้งสองวิธีการผลิตเดียวกันผลเป็นที่แสดงให้เห็น
การใช้บูรณาการโดยส่วน [1], ฟังก์ชั่นผกผัน [3] และแม้กระทั่งทฤษฎีบท Rolle ของ [2].
เราสงสัยว่ามีความสัมพันธ์ลึก ระหว่างวิธีการข้างต้นและ
เรามองที่การคำนวณปริมาณของของแข็งของการปฏิวัติเป็นหนึ่งในสอง
วิธีที่ง่ายมาก เราแสดงให้เห็นว่าวิธีคลาสสิก (ดิสก์และเปลือกหอย) จะกู้คืนได้
ถ้าหนึ่งคู่นี้คำนวณโดยแต่ละของทั้งสองเป็นไปได้ของการใช้งานของ Fubini
ทฤษฎีบท นอกจากนี้เรายังสามารถได้รับปริมาณทฤษฎีบท Pappus จากสูตร.
ให้ S เป็นภูมิภาคที่สิ้นสุดและปิดในระนาบ YZ และให้ `ใด ๆ ตรง
เส้นในระนาบเดียวกันเช่นที่เป็นภายนอก `เอสสำหรับทุกจุด P = (x, y) ∈ S ให้
d` (x, ​​y) เป็นระยะทางจาก P จะ ` ขอให้เราแสดงโดย V (S, `) ปริมาณของแข็ง
ที่ได้จากการหมุน S บริเวณรอบ ๆ เส้น `; ดูรูปที่ 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การคำนวณปริมาตรของของแข็งของการปฏิวัติด้วย

จอร์จ ดับเบิล integrals มาร์ท´ı n-morales ( [e-mail] ) และอันโตนิโอ ม. อัลเลอร์ marcen ใหม่
( อัลเลอร์ @ unizar ES ) universitario Centro de la การป้องกัน iuma Zaragoza , สเปน ) ,
การคำนวณปริมาตรของของแข็งของการปฏิวัติในวิชาแคลคูลัสเป็นปกติ
นำเสนอโดย 2 วิธี 2
1 ดิสก์วิธีซึ่งประกอบด้วยคร่าวๆของการเน่าของของแข็งเป็นชิ้น
ที่ตั้งฉากกับแกนของการปฏิวัติ .
2 เปลือกหอยที่ใช้พิจารณาทึบเป็นชุดแบบทรงกระบอกเปลือกห่อแกน
.
จากจุดทางเรขาคณิตในมุมมองของทั้งสองวิธีนี้ดูแตกต่าง และเป็น
รูปร่างของของแข็งที่ให้เลือกระหว่างหนึ่งหรืออีก โดย
จากจุดวิเคราะห์มุมมอง วิธีทั้งสองให้ผลลัพธ์เดียวกัน เป็นการแสดง
โดยใช้การผสมผสานด้วยส่วน [ 1 ] , ผกผันฟังก์ชัน [ 3 ] และทฤษฎีบทของโรลล์ [ 2 ] .
เราสงสัยว่ามีแม้ลึกความสัมพันธ์ระหว่างวิธีการข้างต้นและ
เราดูการคำนวณปริมาณ ของของแข็งของการปฏิวัติเป็น double integral ใน
ง่ายมากเลยเราแสดงให้เห็นว่าวิธีการคลาสสิก ( ดิสก์และหอย ) จะกู้
ถ้าคู่หนึ่งจะคำนวณโดยแต่ละของทั้งสองโปรแกรมที่เป็นไปได้ของทฤษฎีบทฟิวบีนี่มัน

นอกจากนี้ เรายังสามารถได้รับทฤษฎีบทแพปพัส ' ปริมาณจากสูตร .
Let s เป็นมัดและปิดในภูมิภาค yz เครื่องบินและให้ ` เป็นตรง
เส้นในระนาบเดียวกัน เช่น นั่นคือภายนอก s สำหรับทุกจุด P = ( x ,Y ) ∈ S ให้
D ` ( x , y ) มีระยะห่างจาก P ' ให้เราแสดงโดย V ( S , ` ) ปริมาตรของของแข็ง
ได้โดยการหมุนของภูมิภาครอบบรรทัด ` ; ดู 1 รูป