For let KG and EG have been joined.

For let KG and EG have been joined. And since angle KEG is a right-angle—on account of KE also being at right-angles to the plane EG, and manifestly also to the straight-line EG [Def. 11.3]—the semi-circle drawn on KG will thus also pass through point E. Again, since GF is at right-angles to each of FL and FE, GF is thus also at right-angles to the plane FK [Prop. 11.4]. Hence, if we also join FK then GF will also be at right-angles to FK. And, again, on account of this, the semi-circle drawn on GK will also pass through point F. Similarly, it will also pass through the remaining (angular) points of the cube. So, if KG remains (fixed), and the semi-circle is carried around, and again established at the same (position) from which it began to be moved, then the cube will have been enclosed by a sphere. So, I say that (it is) also (enclosed) by the given (sphere). For since GF is equal to FE, and the angle at F is a right-angle, the (square) on EG is thus double the (square) on EF [Prop. 1.47].And EF (is) equal to EK. Thus, the (square) on EG is double the (square) on EK. Hence, the (sum of the squares) on GE and EK—that is to say, the (square) on GK [Prop. 1.47]—is three times the (square) on EK. since AB is three times BC, and as AB (is) to BC, so the (square) on AB (is) to the (square) on BD [Prop. 6.8, Def. 5.9], the (square) on AB (is) thus three times the (square) on BD. And the (square) on GK was also shown (to be) three times the (square) on KE. And KE was made equal to DB. Thus, KG (is) also equal to AB. And AB is the radius of the given sphere. Thus, KG is also equal to the diameter of the given sphere. Thus, the cube has been enclosed by the given sphere. And it has simultaneously been shown that the square on the diameter of the sphere is three times the (square) on the side of the cube. (Which is) the very thing it was required to show.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สำหรับให้กก. และ EG ได้ถูกเชื่อมโยง และเนื่องจากมุมเคก มุม ขวา — ในบัญชียัง ถูกขวาทำมุมกับเครื่องบินเช่น และ manifestly ยังให้ EG เส้นตรง [เริ่มต้น 11.3] KE — รูปครึ่งวงกลมใช้ KG จะดังยังผ่านจุดอี อีก GF เป็นที่มุมขวาไป FL และ FE, GF อยู่จึงยังขวาทำมุมกับระนาบ FK [Prop. 11.4] ดังนั้น ถ้าเรารวม FK แล้ว GF จะขวาทำมุมกับ FK และ อีก ในบัญชีนี้ รูปครึ่งวงกลมที่วาดบน GK จะยังผ่านจุดเอฟ ในทำนองเดียวกัน มันจะยังผ่านจุด (แองกูลาร์) ที่เหลือของ cube ดังนั้น ถ้ายังคง KG (ถาวร), และรูปครึ่งวงกลมทำสถาน และก่อตั้งอีก ที่เหมือนกัน (ตำแหน่ง) ซึ่งจะเริ่มย้ายไป แล้ว cube จะถูกล้อมรอบ ด้วยทรงกลม ดังนั้น ฉันบอกว่า (เป็น) ยัง (อยู่) โดยกำหนด (sphere) สำหรับเนื่องจาก GF เท่ากับ FE และมุมที่ F มุม ขวา (ตาราง) บน EG อยู่ดังนั้นคู่ (สี่เหลี่ยม) EF [Prop. 1.47] และ EF () เท่ากับเอก ดังนั้น (ตาราง) บน EG เป็นคู่ (สี่เหลี่ยม) ในเอก ดังนั้น (ผลรวมของสี่เหลี่ยม) GE และเอก — กล่าวคือ (สี่เหลี่ยม) บน GK [Prop. 1.47] — เป็นครั้งที่สาม (สี่เหลี่ยม) ในเอก เนื่องจาก AB BC สามครั้ง และ AB (คือ) ให้ BC เพื่อ (ตาราง) บน AB (จะ) ไป () บน BD [Prop. 6.8 เริ่มต้น 5.9], (ตาราง) บน AB (เป็น) ดังนั้นสามเวลา (สี่เหลี่ยม) BD และยังถูกแสดง (ตาราง) บน GK (จะ) ครั้งที่สาม (สี่เหลี่ยม) บนแหลมเค และ KE จะเท่ากับ DB ดังนั้น กก. (เป็น) ยังเท่ากับ AB. และ AB คือ รัศมีของทรงกลมให้ ดังนั้น กก.ก็เท่ากับเส้นผ่าศูนย์กลางของทรงกลมให้ ดังนั้น cube ได้ถูกล้อมรอบ ด้วยทรงกลมให้ และมันได้กันแล้วแสดงว่า สี่เหลี่ยมบนเส้นผ่าศูนย์กลางของทรงกลมเป็นครั้งที่สาม (สี่เหลี่ยม) ด้านของ cube (ซึ่งอยู่) ในสิ่งที่ถูกต้องแสดงการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สำหรับให้ KG EG และได้รับการเข้าร่วม และเนื่องจากมุมถังเป็นขวามุมในบัญชีของ KE ที่ยังเป็นที่มุมขวากับระนาบ EG และแจ้งไปยัง EG เส้นตรง [Def 11.3] -The ครึ่งวงกลมวาดบน KG จึงยังจะผ่านจุดอีอีกครั้งตั้งแต่ GF อยู่ที่มุมขวาของแต่ละฟลอริด้าและ FE สาวจึงยังอยู่ที่มุมขวากับระนาบ FK [การ Prop 11.4] ดังนั้นหากเรายังเข้าร่วม FK GF แล้วยังจะเป็นที่มุมขวาเพื่อ FK และอีกครั้งในบัญชีของนี้ครึ่งวงกลมวาดบน GK ยังจะผ่านจุดเอฟในทำนองเดียวกันก็จะผ่านส่วนที่เหลือ (มุม) จุดของลูกบาศก์ ดังนั้นถ้ายังคง KG (คงที่) และครึ่งวงกลมจะดำเนินไปรอบ ๆ และเป็นที่ยอมรับอีกครั้งในเวลาเดียวกัน (ตำแหน่ง) จากที่ที่มันเริ่มที่จะถูกย้ายไปแล้วก้อนจะได้รับการล้อมรอบด้วยทรงกลม ดังนั้นผมบอกว่า (เป็น) ยัง (ที่แนบมา) โดยกำหนด (ทรงกลม) ตั้งแต่ GF เท่ากับ FE, และมุมที่ F เป็นมุมขวา (ตาราง) บน EG จึงเป็นสองเท่า (ตาราง) บน EF [Prop 1.47] .and EF (เป็น) เท่ากับ EK ดังนั้น (ตาราง) บน EG เป็นคู่ (ตาราง) บน EK ดังนั้น (ผลรวมของสี่เหลี่ยม) บน GE และ EK-ที่จะพูด (ตาราง) บน GK [Prop 1.47] -is สามครั้ง (ตาราง) บน EK ตั้งแต่ AB เป็นครั้งที่สาม BC และเป็น AB (เป็น) เพื่อ BC ดังนั้น (ตาราง) บน AB (เป็น) กับ (ตาราง) บน BD [Prop 6.8 Def 5.9] ที่ (ตาราง) บน AB (เป็น) จึงสามครั้ง (ตาราง) บน BD และ (ตาราง) บน GK ยังแสดงอยู่ (จะ) สามครั้ง (ตาราง) บน KE และ KE ถูกสร้างขึ้นเท่ากับ DB ดังนั้น KG (เป็น) ก็เท่ากับ AB และ AB เป็นรัศมีของทรงกลมที่กำหนด ดังนั้น KG นอกจากนี้ยังมีค่าเท่ากับเส้นผ่าศูนย์กลางของทรงกลมที่กำหนด ดังนั้นก้อนได้รับการล้อมรอบด้วยรูปทรงกลมที่กำหนด และได้รับการพร้อมกันแสดงให้เห็นว่าตารางมีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางของทรงกลมที่เป็นสามครั้ง (ตาราง) ที่ด้านข้างของก้อน (ซึ่งเป็น) สิ่งที่ดีมันก็ต้องแสดง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เพื่อให้ และเช่นเคยเข้าร่วม และเนื่องจากมุมถังเป็นมุมขวาบนบัญชีผู้ใช้ของเก๋ยังอยู่ที่มุมขวาเพื่อเครื่องบินเช่น และสะท้อนกับเส้นตรงเช่น [ Sample 11.3 ] - กึ่งวงกลมวาดต่อกิโลกรัมจึงจะยังผ่านจุด E อีกครั้ง เนื่องจาก แฟนอยู่ที่มุมขวาเพื่อแต่ละ FL และ Fe , GF จึงยังมุมขวาเพื่อเครื่องบิน FK [ prop 11.4 ] ดังนั้นถ้าเราเข้าร่วมกับ FK แล้ว GF จะอยู่ที่มุมขวาเพื่อ FK . และอีกครั้งในบัญชีนี้ , กึ่งวงกลมที่วาดบน GK จะผ่านจุด F ในทํานองเดียวกัน มันจะผ่านที่เหลือ ( มุม ) จุดของลูกบาศก์ ดังนั้น ถ้ากก. ยังคง ( ถาวร ) และกึ่งวงกลมจะดำเนินการประมาณและอีกครั้งก่อตั้งขึ้นพร้อมกัน ( ตำแหน่ง ) ซึ่งมันก็เริ่มหวั่นไหวแล้วก้อนจะถูกล้อมรอบด้วยวง ฉันพูด ( มัน ) ยัง ( ปิด ) โดยให้ ( ทรงกลม ) เพราะตั้งแต่ GF เท่ากับเหล็ก และมุมที่ F เป็นมุมขวา ( สี่เหลี่ยม ) เช่น จึงเป็นคู่ ( สี่เหลี่ยม ) EF [ prop 1.47 ] และ EF ( ) เท่ากับเอก . ดังนั้น ( สี่เหลี่ยม ) เช่นเป็นสองเท่า ( สี่เหลี่ยม ) เอก . ด้วยเหตุนี้ , ( ผลรวมของสี่เหลี่ยม ) GE และฉันต้องบอกว่า( สี่เหลี่ยม ) GK [ prop 1.47 ] - สามครั้ง ( สี่เหลี่ยม ) เอก . ตั้งแต่ AB เป็นสามก่อนคริสต์ศักราชครั้ง และเป็น AB ( เป็น ) พ.ศ. ดังนั้น ( สี่เหลี่ยม ) AB ( ) ( สี่เหลี่ยม ) บน BD [ prop 6.8 , Syn . 5.9 ] ( สี่เหลี่ยม ) AB ( ) ดังนั้น สามครั้ง ( สี่เหลี่ยม ) และ Bd ( สี่เหลี่ยม ) GK ก็แสดง ( จะ ) สามครั้ง ( สี่เหลี่ยม ) เก . และที่เก๋ได้เท่ากับ dB ดังนั้น กก. ( เป็น ) ก็เท่ากับ ABและ AB คือรัศมีของทรงกลมที่ให้ . ดังนั้น กก. ก็เท่ากับเส้นผ่าศูนย์กลางของให้ทรงกลม ดังนั้น ก้อน ถูกล้อมรอบด้วยให้ทรงกลม และมันได้ถูกแสดงที่ตารางพร้อมกันกับเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลมเป็นสามครั้ง ( สี่เหลี่ยม ) ในด้านของลูกบาศก์ ( ซึ่งเป็น ) สิ่งที่มันต้องการที่จะแสดง