In the advanced stages of such a de

In the advanced stages of such a development, certain subtle difficulties occur which mean that advanced mathematical thinking must expunge itself of possible hidden assumptions that occur when visual ideas are verbalised. In the nineteenth century a number of flaws became apparent in Euclidean geometry and theoretical developments in algebra (such as non-commutative quaternions) were over-stretching simple beliefs in the manipulation of symbols. Research mathematics took a new direction using settheoretic definition and logical deduction. Theorems inspired by geometric perception and symbolic manipulation were reformulated to give a new axiomatic approach to mathematics that led on to greater generality.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

อยู่ในขั้นตอนขั้นสูงของการพัฒนาดังกล่าวปัญหาที่ลึกซึ้งบางอย่างเกิดขึ้นซึ่งหมายความว่าความคิดทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงจะต้องลบล้างตัวเองของสมมติฐานซ่อนไปได้ว่าจะเกิดขึ้นเมื่อความคิดของภาพจะ verbalisedในศตวรรษที่สิบเก้าจำนวนของข้อบกพร่องก็เห็นได้ชัดในเรขาคณิต euclidean และการพัฒนาทางทฤษฎีในพีชคณิต (เช่น quaternions ไม่เปลี่ยนแปลง) มีมากกว่าการยืดความเชื่อง่ายในการจัดการของสัญลักษณ์ คณิตศาสตร์การวิจัยจึงเป็นทิศทางใหม่โดยใช้คำนิยาม settheoretic และหักตรรกะทฤษฎีบทแรงบันดาลใจจากการรับรู้ทางเรขาคณิตและการจัดการสัญลักษณ์ถูก reformulated เพื่อให้วิธีการใหม่ซึ่งเป็นจริงกับคณิตศาสตร์ที่นำไปทั่วไปมากขึ้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในขั้นของการพัฒนาขั้นสูง ความยากลำบากบางอย่างลึกซึ้งเกิดขึ้นซึ่งหมายความ ว่า ความคิดทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงต้อง expunge สมมติฐานที่ซ่อนได้ที่เกิดขึ้นเมื่อมี verbalised ความคิดเห็นตัวเอง เริ่มปรากฏในเรขาคณิต Euclidean ในศตวรรษ จำนวนข้อบกพร่อง และพัฒนาทฤษฎีในพีชคณิต (เช่นไม่สลับ quaternions) มากเกินไปถูกยืดความเชื่อง่ายในจัดการสัญลักษณ์ วิจัยคณิตศาสตร์เอาทิศทางใหม่โดยใช้นิยาม settheoretic และตรรกะหัก บันดาลใจรับรู้รูปทรงเรขาคณิตและจัดการสัญลักษณ์ทฤษฎีก็มีเพื่อให้วิธี axiomatic ใหม่คณิตศาสตร์ที่นำในการ generality มากกว่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในขั้นตอนของการพัฒนาขั้นสูงเช่นปัญหาในแบบเรียบง่ายบางอย่างเกิดขึ้นซึ่งหมายความว่าความคิดทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงจะต้องเก็บกวาดในสมมุติฐานที่ซ่อนไว้เป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นเมื่อความคิดจะ verbalisedในศตวรรษที่สิบเก้าจำนวนหนึ่งกลายเป็นปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นของข้อบกพร่องในรูปทรงเรขาคณิตตามแบบยูคลิดและการพัฒนาในเชิงทฤษฎีในพีชคณิต(เช่น quaternions ไม่ใช่ - commutative )เป็นการยืดเหยียดกล้ามเนื้อความเชื่อแบบเรียบง่ายในการจัดการของสัญลักษณ์มากกว่า - คณิตศาสตร์การวิจัยก็ไปในทิศทางตรงกันข้ามกับแนวใหม่โดยใช้ High Definition settheoretic และหักลดหย่อนแบบลอจิกได้รับแรงบันดาลใจจากการรับรู้ ภายใน กรอบรูปทรงเรขาคณิตและการจัดการเป็นสัญลักษณ์เป็นยุคสงครามเย็นในการทำให้การศึกษาที่เห็นได้โดยง่ายใหม่เพื่อนำมาคำนวณว่าไฟ LED ที่ให้ความครอบคลุมมากขึ้น