is the reduced vector of unknows mk

is the reduced vector of unknows mk ðJ Þ, where J is the
Factorized sparse approximate inverse preconditioners are another class of SAI preconditioning techniques devel- oped in [25], [26], [27], [28], [29], [30], [31]. This class of preconditioners are less popular than the kind based on Frobenius norm minimization (1) [4] and can fail due to breakdowns during an incomplete factorization process. A comparative study of various SAI preconditioners is presented in [32]. Sparsification is a method used to diminish the pattern of A when it is relatively full and generate a sparser preconditioner and can be implemented in both adaptive and static SAI preconditioner construction algorithms. Initially introduced by Kolotilina [24] for computing SAI preconditioners for dense matrices, sparsi- fication is also used by Tang [33] to enhance the condition number of anisotropic problems. Costgrov et al. [34] also propose augmenting the pattern of A for constructing sparse approximate inverse preconditioners. SAI precondi- tioner proposed by All’eon et al. [35] and ParaSails [7] introduced by Chow [6] use a priori sparsity patterns based on powers of sparsified matrices for partial differential equation (PDE) problems. Sparsification is also implemen- ted in SPAI 3.2 [21] by eliminating small values in A before computing the preconditioner. The equation used in the proposed GSAI technique (3) also allows for sparsifying A using a tolerance parameter . Applying sparsification to the preconditioner after it has been produced is also studied
m^ k
set of indices j such that mkðjÞ 61⁄4 0. Considering I as a set of indices i such that Aði;JÞ is not zero, A^ is the submatrix AðI; JÞ where all zero rows in Að:; JÞ are deleted. The dimension of A^ is equal to n1 n2 where n1 and n2 are the number of indices in I and J, respectively. Finally, e^k represents ekðIÞ. To construct and solve (4) for each column k of M, the steps in Fig. 1 should be computed for each k (more information on the above implementations and the steps in Fig. 1 can be found in previous work on SAI preconditioners specifically [6], [7], [9], [11], [21]).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เป็นเวกเตอร์ลดของ unknows Þ mk ðJ, J อยู่Factorized ห่างประมาณผกผัน preconditioners เป็นอีกหนึ่งระดับของไซ preconditioning devel เทคนิค-oped [25], [26], [27], [28], [29], [30], [31] คลาสนี้ของ preconditioners ได้รับความนิยมน้อยกว่าชนิดตามมาตรการบรรทัดฐานโฟรเบนีอุส (1) [4] และสามารถล้มเหลวเนื่องจากการแจกในระหว่างกระบวนการแยกตัวประกอบไม่สมบูรณ์ Preconditioners ทรายต่าง ๆ ศึกษาเปรียบเทียบแสดงใน [32] Sparsification เป็นวิธีที่ใช้ในการลดรูปแบบของ A เมื่อเต็มค่อนข้างสร้าง preconditioner ที่ sparser และสามารถนำมาใช้ในปรับตัว และคงทรายก่อสร้าง preconditioner อัลกอริทึม เริ่มแรกนำ โดย Kolotilina [24] สำหรับคอมพิวเตอร์ preconditioners ทรายสำหรับเมทริกซ์หนาแน่น sparsi fication ยังถูกใช้ โดย Tang [33] เพื่อเพิ่มจำนวนเงื่อนไขของปัญหาทางกายภาพ Costgrov et al. [34] นอกจากนี้ยังเสนอการเพิ่มรูปแบบของ A สำหรับสร้างห่างประมาณผกผัน preconditioners ทราย precondi-tioner เสนอโดย All'eon et al. [35] และ ParaSails [7] โดยเชาว์ [6] ใช้รูปแบบ sparsity เป็น priori อิงอำนาจของเมทริกซ์ sparsified ปัญหาสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน (PDE) Sparsification ยังเป็นเท็ด เกี่ยวใน 3.2 SPAI [21] โดยการตัดค่าขนาดเล็กใน A ก่อนคำนวณ preconditioner ที่ สมการที่ใช้ในเทคนิคการนำเสนอของ GSAI (3) ยังช่วยให้ sparsifying ได้โดยใช้พารามิเตอร์ค่าเผื่อ ใช้ sparsification preconditioner ที่หลังจากการผลิตมีศึกษายังm ^ kชุดของดัชนีดังกล่าวว่า 61⁄4 mkðjÞ 0 พิจารณาว่าเป็นชุดของดัชนีดังกล่าวผมว่า Aði JÞ ไม่ใช่ศูนย์ A ^ เป็น submatrix AðI ซึ่งทั้งหมดเป็นศูนย์แถวใน Að JÞ:; JÞ จะถูกลบออก ขนาดของ A ^ เท่ากับ n1 n2 ที่ n1 และ n2 เป็นจำนวนของดัชนีในผมและ J ตามลำดับ ในที่สุด e ^ k แสดงถึง ekðIÞ การสร้าง และแก้ไข (4) สำหรับแต่ละคอลัมน์ k ของ M ขั้นตอนในรูปที่ 1 ควรคำนวณสำหรับแต่ละ k (ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการใช้งานข้างต้นและขั้นตอนในรูปที่ 1 สามารถพบได้ในงานไทร preconditioners ก่อนหน้านี้โดยเฉพาะ [6], [7], [9], [11], [21])

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เป็นเวกเตอร์ที่ลดลงของ unknows MK Dj TH, เจซึ่งเป็น
ตัวประกอบเบาบาง preconditioners ผกผันตัวอย่างเป็นชั้นหนึ่งของ SAI preconditioning เทคนิคการพัฒนาแล้วใน [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] ชั้นเรียนของ preconditioners นี้เป็นที่นิยมน้อยกว่าชนิดขึ้นอยู่กับบรรทัดฐาน Frobenius ลด (1) [4] และสามารถล้มเหลวเนื่องจากความผันผวนในระหว่างขั้นตอนการแยกตัวประกอบไม่สมบูรณ์ การศึกษาเปรียบเทียบ preconditioners SAI ต่างๆจะนำเสนอใน [32] Sparsification เป็นวิธีการที่ใช้ในการลดรูปแบบของเมื่อมันค่อนข้างเต็มรูปแบบและสร้าง preconditioner เบาบางและสามารถนำมาใช้ในการปรับตัวทั้งแบบคงที่และขั้นตอนวิธีการก่อสร้าง SAI preconditioner เปิดตัวครั้งแรกโดย Kolotilina [24] สำหรับการคำนวณ preconditioners SAI สำหรับการฝึกอบรมหนาแน่นการตรวจ sparsi- ยังถูกใช้โดยถัง [33] เพื่อเพิ่มจำนวนสภาพของปัญหา anisotropic Costgrov et al, [34] นอกจากนี้ยังนำเสนอการเพิ่มรูปแบบของสำหรับการก่อสร้างเบาบาง preconditioners ผกผันโดยประมาณ SAI precondi- tioner เสนอโดย All'eon et al, [35] และ ParaSails [7] นำโดยโจว [6] ใช้รูปแบบ sparsity เบื้องต้นขึ้นอยู่กับอำนาจของการฝึกอบรม sparsified สำหรับสมการอนุพันธ์ย่อย (PDE) ปัญหา Sparsification ยัง implemen- เท็ดใน Spai 3.2 [21] โดยการกำจัดค่าเล็ก ๆ ในการคำนวณก่อน preconditioner สมการที่ใช้ในการเทคนิค GSAI เสนอ (3) ยังช่วยให้การ sparsifying โดยใช้พารามิเตอร์ความอดทน การประยุกต์ใช้เพื่อ sparsification preconditioner หลังจากที่มันได้รับการผลิตนอกจากนี้ยังมีการศึกษา
ม. ^ K
ชุดของดัชนีดังกล่าวว่า J mkðjÞ 61/4 0. พิจารณาผมเป็นชุดของดัชนีดังกล่าวที่ผม ADI นั้น jth ไม่เป็นศูนย์, A ^ เป็น submatrix Adi; jth ที่ทุกศูนย์แถวในโฆษณา :; jth จะถูกลบออก มิติของ a ^ เท่ากับ N2 N1 ที่ N1 และ N2 จำนวนของดัชนีใน i และ j ตามลำดับ สุดท้าย E ^ K หมายถึงekðIÞ ในการสร้างและแก้ปัญหา (4) สำหรับแต่ละ K คอลัมน์ M, ขั้นตอนในมะเดื่อ 1 ควรได้รับการคำนวณสำหรับแต่ละ K (ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการใช้งานดังกล่าวข้างต้นและขั้นตอนในรูปที่ 1. สามารถพบได้ในการทำงานก่อนหน้าใน SAI preconditioners เฉพาะ [6] [7] [9] [11], [21] )

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คือลดเวกเตอร์ของ unknows MK ð J Þที่ J คือปัจจัยโปร่งประมาณผกผัน preconditioners เป็นอีกรุ่น preconditioning devel oped สายเทคนิค - [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] ชั้นใช้ตัวปรับสภาพล่วงหน้านี้จะได้รับความนิยมน้อยกว่าชนิดขึ้นอยู่กับกฎเกณฑ์การโฟรเบนีอุส ( 1 ) [ 4 ] และสามารถล้มเหลวเนื่องจากความเสียหายในระหว่างกระบวนการพิจารณาไม่สมบูรณ์ การศึกษาเปรียบเทียบการใช้ตัวปรับสภาพล่วงหน้าไทรต่างๆที่แสดงใน [ 32 ] sparsification เป็นวิธีคลายแบบแผนของเมื่อมันค่อนข้างเต็ม และสร้าง sparser preconditioner และสามารถใช้ทั้งแบบคงที่และไทร preconditioner สร้างอัลกอริธึม ตอนแรกเปิด kolotilina [ 24 ] เพื่อการคำนวณไทร preconditioners สำหรับหนาแน่นเมทริกซ์ sparsi - fication ยังใช้ตัง [ 33 ] เพื่อเพิ่มเงื่อนไขมากมายอุบ . costgrov et al . [ 34 ] ยังเสนอยกระดับรูปแบบของการสร้างขึ้นประมาณ preconditioners ผกผัน . ไทร precondi - tioner เสนอโดย all'eon et al . [ 3 ] และ parasails [ 7 ] นำโดย โจว [ 6 ] ใช้ priori sparsity รูปแบบขึ้นอยู่กับอำนาจของ sparsified เมทริกซ์สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ( PDE ) ปัญหา sparsification ยัง implemen เท็ดใน spai 3.2 [ 21 ] โดยการขจัดค่าขนาดเล็กในก่อนการคำนวณ preconditioner . สมการที่ใช้ในการนำเสนอ gsai เทคนิค ( 3 ) ยังช่วยให้ sparsifying ใช้ความอดทนพารามิเตอร์ ใช้ sparsification กับ preconditioner หลังจากที่มันได้รับการผลิตยังศึกษาM ^ Kตั้งค่าดัชนี J เช่น MK ð J Þ 61 ⁄ 4 0 ผมเป็นชุดของดัชนีที่ฉันแบบนั้น ð I ; J Þไม่ใช่ศูนย์ , ^ เป็น submatrix เป็นð I ; J Þที่ศูนย์แถวในð : J Þจะถูกลบออก มิติของ ^ เท่ากับ N1 N2 N1 และ N2 ที่เป็นหมายเลขของดัชนีในฉันและเค ตามลำดับ ในที่สุด , E ^ k แทนเอกðผมÞ . เพื่อสร้างและแก้ไข ( 4 ) สำหรับแต่ละคอลัมน์ K M , ขั้นตอนในรูปที่ 1 ควรคำนวณสำหรับแต่ละ K ( ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับข้างต้นการดำเนินการและขั้นตอนในรูปที่ 1 สามารถพบได้ในก่อนหน้านี้ทำงานบนทราย preconditioners เฉพาะ [ 6 ] [ 7 ] , [ 9 ] , [ 11 ] [ 21 ] )