It will be observed that these expr

It will be observed that these expressions contain non-axisymmetric terms in sin 26 and cos 28 and therefore it is not generally possible to satisfy the prescribed tangential displacement conditions using a series of the form of eqn. (1). However, it would be possible to do so if these terms could be neglected. This procedure can be justified on the following grounds.

(i) The terms in question are small. For example, in the first of eqns. (11) the term in cos 28 adds at the worst points only + 9% to the corresponding terms in r2, for v = 0.3.

(ii) In certain circumstances the offending terms are self-cancelling. For example, if the incremental problem involves a central stuck region surrounded by an annulus in microslip (as in all the cases treated by Mindlin and Deresiewicz [2] and most of those treated here), the process of neutralising the radius-dependent axisymmetric terms in the stick region conveniently neutralises the non-axisymmetric terms as well.

(iii) The additional stress distribution required for an exact solution would be self-equilibrating and would therefore not affect the trajectory of the sphere except in so far as the change in tangential stress caused a change in the division of stick and slip regions.

(iv) The changes envisaged in (iii) would make the stick-slip boundary non-circular and the problem would become intractable.

We therefore propose to neglect the terms in cos 20 and sin 28 in eqns. (11) and (12).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

จะสังเกตว่า นิพจน์เหล่านี้ประกอบด้วยเงื่อนไขไม่ axisymmetric ในบาป 26 และ cos 28 และดังนั้นมันจะไม่โดยทั่วไปสามารถตอบสนองเงื่อนไขกำหนด tangential แทนโดยใช้ชุดของแบบฟอร์มของ eqn (1) อย่างไรก็ตาม มันจะไปทำถ้าเงื่อนไขเหล่านี้อาจเป็นที่ไม่มีกิจกรรม ขั้นตอนนี้สามารถได้รับการพิสูจน์จากต่อไปนี้ (i เงื่อนไข)ต้องมีขนาดเล็ก ตัวอย่าง ในครั้งแรกของ eqns (11) คำใน cos 28 เพิ่มจุดเท่าเลว + 9% กับเงื่อนไขที่สอดคล้องกันใน r2 สำหรับ v = 0.3 (ii) ในบางสถานการณ์ เงื่อนไขค่าได้ด้วยตนเอง"ยกเลิก" ตัวอย่างเช่น ถ้าส่วนที่เพิ่มปัญหาเกี่ยวข้องกับภาคติดกลางล้อมรอบ ด้วยการ annulus ใน microslip (ในกรณีที่รักษา โดย Mindlin และ Deresiewicz [2] และส่วนใหญ่ของผู้รับการรักษาที่นี่), กระบวนการ neutralising คำ axisymmetric ขึ้นอยู่กับรัศมีในภูมิภาคติดเชิญ neutralises เงื่อนไขไม่ axisymmetric เช่นกัน (iii) การกระจายความเครียดเพิ่มเติมจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาที่แน่นอนจะเป็นตัว equilibrating และจะดังนั้นไม่ส่งผลต่อวิถีของทรงกลมยกเว้นในตราบการเปลี่ยนแปลงความเครียด tangential เกิดการเปลี่ยนแปลงในส่วนของก้านและใบ (iv) การเปลี่ยนแปลง envisaged ใน (iii) จะทำให้ขอบเขตการจัดส่งไม้ไม่กลม และปัญหาจะกลายเป็น intractable เราจึงเสนอการละเลยเงื่อนไขใน cos 20 และบาป 28 ใน eqns (11) และ (12)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ก็จะมีการตั้งข้อสังเกตว่าการแสดงออกเหล่านี้มีคำที่ไม่สมมาตรตามแนวแกนในบาป 26 และ cos 28 และดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้โดยทั่วไปตามเงื่อนไขการกำจัดวงที่กำหนดโดยใช้ชุดรูปแบบของสมการ (1) แต่มันจะเป็นไปได้ที่จะทำเช่นนั้นถ้าเงื่อนไขเหล่านี้อาจจะถูกละเลย ขั้นตอนนี้สามารถเป็นธรรมในพื้นที่ดังต่อไปนี้. (i) เงื่อนไขในคำถามที่มีขนาดเล็ก ยกตัวอย่างเช่นในครั้งแรกของ eqns (11) ในระยะ cos 28 เพิ่มที่จุดที่เลวร้ายที่สุดเท่านั้น + 9% เป็นเงื่อนไขที่สอดคล้องกันใน r2 สำหรับ V = 0.3. (ii) ในบางกรณีข้อตกลงที่กระทำผิดได้ด้วยตนเองยกเลิก ตัวอย่างเช่นถ้าเป็นปัญหาที่เพิ่มขึ้นเกี่ยวข้องกับภูมิภาคติดอยู่กลางล้อมรอบด้วยห่วงใน microslip (ในทุกกรณีรับการรักษาโดย Mindlin และ Deresiewicz [2] และส่วนใหญ่ของผู้ที่ได้รับการรักษาที่นี่) กระบวนการของการ neutralizing เงื่อนไข axisymmetric รัศมีขึ้นอยู่กับ ในภูมิภาคติดสะดวก neutralises เงื่อนไขที่ไม่สมมาตรตามแนวแกนเช่นกัน. (iii) การกระจายความเครียดเพิ่มเติมที่จำเป็นเพื่อแก้ปัญหาที่แน่นอนจะเป็นตัวเองเข้าสู่ดุลยภาพและดังนั้นจึงจะไม่ส่งผลกระทบต่อวิถีของทรงกลมยกเว้นในส่วนที่มีการเปลี่ยนแปลงในวง ความเครียดที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงในส่วนของไม้และภูมิภาคใบ. (iv) การเปลี่ยนแปลงที่เห็นได้ (iii) จะทำให้ลื่นติดเขตแดนที่ไม่ใช่วงกลมและปัญหาที่เกิดขึ้นจะกลายเป็นยาก. ดังนั้นเราจึงเสนอให้ละเลยเงื่อนไขใน cos 20 และความบาป 28 eqns (11) และ (12)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

จะสังเกตได้ว่าสำนวนเหล่านี้ประกอบด้วยไม่ใช่ทางนั้นเงื่อนไขในบาปและคอส 28 และดังนั้นจึงไม่ทั่วไปสามารถตอบสนองเงื่อนไขกำหนดแนวการใช้ชุดรูปแบบของ eqn . ( 1 ) แต่มันจะเป็นไปได้ที่จะทำถ้าเงื่อนไขเหล่านี้อาจจะหลง ขั้นตอนนี้สามารถเป็นธรรมในพื้นที่ต่อไปนี้

( 1 ) เงื่อนไขในคำถามมีขนาดเล็ก ตัวอย่างเช่นในแรกของ eqns . ( 11 ) ระยะเวลาใน 28 คอสเพิ่มในจุดที่เลวร้ายที่สุดเพียง 9% กับเงื่อนไขที่สอดคล้องกันใน R2 , V = 0.3

( II ) ในบางสถานการณ์ เงื่อนไขการยกเลิกการรุกรานด้วยตนเอง . ตัวอย่างเช่นถ้าปัญหาที่เพิ่มขึ้นเกี่ยวข้องกับกลางติดเขตล้อมรอบด้วยวงแหวนใน microslip ( ในกรณีที่ถือว่ามินด์ลิน และ deresiewicz [ 2 ] และส่วนใหญ่ของผู้ปฏิบัติที่นี่ ) , กระบวนการของ neutralising รัศมีขึ้นอยู่กับเงื่อนไขในทางนั้นติดเขตสะดวก neutralises ไม่ใช่ทางนั้นเงื่อนไขเช่นกัน

( 3 ) การกระจายความเครียดเพิ่มเติมที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาที่แน่นอนจะให้ตนเองเดือนก่อนจึงจะไม่มีผลต่อการเคลื่อนที่ของทรงกลมยกเว้นเท่าที่เปลี่ยนความเครียดสัมผัสเกิดจากการเปลี่ยนแปลงในส่วนของก้านและใบภาค

( 4 ) การเปลี่ยนแปลงที่เห็นใน ( 3 ) จะทำให้ติดสลิปไม่เป็นวงกลมขอบเขตและปัญหาจะกลายเป็นแก่นแก้ว

เราจึงเสนอที่จะละเลยเงื่อนไข cos บาป eqns 20 และ 28 . ( 11 ) และ ( 12 )